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群論
法國數學(xué)家伽羅瓦發(fā)明的理論
基本信息
| 中文名 | 群論 |
| 外文名 | Group Theory |
| 術(shù)語(yǔ)類(lèi)別 | 數學(xué)概念 |
| 提出者 | 埃瓦里斯特·伽羅瓦 |
| 用途 | 數學(xué)、物理、化學(xué) |
| 領(lǐng)域 | 數學(xué) 抽象代數 |
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引言
群的概念引發(fā)自多項式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽羅瓦在19世紀30年代開(kāi)創(chuàng )。在得到來(lái)自其他領(lǐng)域如數論和幾何學(xué)的貢獻之后，群概念在1870年左右形成并牢固建立。現代群論是非常活躍的數學(xué)學(xué)科，它以自己的方式研究群。為了探索群，數學(xué)家發(fā)明了各種概念來(lái)把群分解成更小的、更好理解的部分，比如置換群、子群、商群和單群等。
歷史
群論是法國數學(xué)家伽羅瓦（Galois）的發(fā)明。伽羅瓦是一個(gè)極具傳奇性的人物，年僅21歲就英年早逝于一場(chǎng)近乎自殺的決斗中。
他用該理論，具體來(lái)說(shuō)是伽羅瓦群，解決了五次方程問(wèn)題。在此之前柯西（Augustin-Louis Cauchy)，阿貝爾（Niels Henrik Abel）等人也對群論作出了貢獻。
最先產(chǎn)生的是n個(gè)文字的一些置換所構成的置換群，它是在研究當時(shí)代數學(xué)的中心問(wèn)題即五次以上的一元多項式方程是否可用根式求解的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)由J.-L.拉格朗日、P.魯菲尼、N.H.阿貝爾和E.伽羅瓦引入和發(fā)展，并有成效地用它徹底解決了這個(gè)中心問(wèn)題。某個(gè)數域上一元n次多項式方程，它的根之間的某些置換所構成的置換群被定義作該方程的伽羅瓦群，1832年伽羅瓦證明了：一元 n次多項式方程能用根式求解的一個(gè)充分必要條件是該方程的伽羅瓦群為“可解群”（見(jiàn)有限群）。由于一般的一元n次方程的伽羅瓦群是n個(gè)文字的對稱(chēng)群Sn，而當
時(shí)Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽羅瓦還引入了置換群的同構、正規子群等重要概念。應當指出，A.-L.柯西早在1815年就發(fā)表了有關(guān)置換群的第一篇論文，并在1844～1846年間對置換群又做了很多工作。至于置換群的系統知識和伽羅瓦用于方程理論的研究，由于伽羅瓦的原稿是他在決斗致死前夕趕寫(xiě)成的，直到后來(lái)才在C.若爾當的名著(zhù)“置換和代數方程專(zhuān)論”中得到很好的介紹和進(jìn)一步的發(fā)展。置換群是最終產(chǎn)生和形成抽象群的第一個(gè)最主要的來(lái)源。
在數論中，拉格朗日和C.F.高斯研究過(guò)由具有同一判別式D的二次型類(lèi)，即
，其中a、b、с為整數，x、y 取整數值，且
為固定值，對于兩個(gè)型的"復合"乘法，構成一個(gè)交換群。J.W.R.戴德金于1858年和L.克羅內克于1870年在其代數數論的研究中也引進(jìn)了有限交換群以至有限群。這些是導致抽象群論產(chǎn)生的第二個(gè)主要來(lái)源。
在若爾當的專(zhuān)著(zhù)影響下，（C.）F.克萊因于1872年在其著(zhù)名的埃爾朗根綱領(lǐng)中指出，幾何的分類(lèi)可以通過(guò)無(wú)限連續變換群來(lái)進(jìn)行。克萊因和（J.-）H.龐加萊在對 "自守函數”的研究中曾用到其他類(lèi)型的無(wú)限群（即離散群或不連續群）。在1870年前后，索菲斯·李開(kāi)始研究連續變換群即解析變換李群，用來(lái)闡明微分方程的解，并將它們分類(lèi)。這無(wú)限變換群的理論成為導致抽象群論產(chǎn)生的第三個(gè)主要來(lái)源。
A.凱萊于1849年、 1854年和 1878年發(fā)表的論文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗羅貝尼烏斯于1879年和E.內托于1882年以及W.F.A.von迪克于 1882～1883年的工作也推進(jìn)了這方面認識。19世紀80年代，綜合上述三個(gè)主要來(lái)源，數學(xué)家們終于成功地概括出抽象群論的公理系統，大約在1890年已得到公認。20世紀初，E.V.亨廷頓，E.H.莫爾，L.E.迪克森等都給出過(guò)抽象群的種種獨立公理系統，這些公理系統和現代的定義一致。
在1896～1911年期間，W.伯恩賽德的“有限群論”先后兩版，頗多增益。G.弗羅貝尼烏斯、W.伯恩賽德、I.舒爾建立起有限群的矩陣表示論后，有限群論已然形成。無(wú)限群論在20世紀初，也有專(zhuān)著(zhù)，如1916年Ο.ю.施米特的著(zhù)作。群論的發(fā)展導致20世紀30年代抽象代數學(xué)的興起。尤其是近30年來(lái)，有限群論取得了巨大的進(jìn)展，1981年初，有限單群分類(lèi)問(wèn)題的完全解決是一個(gè)突出的成果。與此同時(shí)，無(wú)限群論也有快速的進(jìn)展。
時(shí)至今日，群的概念已經(jīng)普遍地被認為是數學(xué)及其許多應用中最基本的概念之一。它不但滲透到諸如幾何學(xué)、代數拓撲學(xué)、函數論、泛函分析及其他許多數學(xué)分支中而起著(zhù)重要的作用，還形成了一些新學(xué)科如拓撲群、李群、代數群、算術(shù)群等，它們還具有與群結構相聯(lián)系的其他結構如拓撲、解析流形、代數簇等，并在結晶學(xué)、理論物理、量子化學(xué)以至（代數）編碼學(xué)、自動(dòng)機理論等方面，都有重要的應用。作為推廣“群”的概念的產(chǎn)物：半群和幺半群理論及對計算機科學(xué)和對算子理論的應用，也有很大的發(fā)展。群論的計算機方法和程序的研究，已在迅速地發(fā)展。
就科學(xué)內容而言，群論屬于數學(xué)范疇，在許多數學(xué)分支中都有它的應用。它還被廣泛用于物理、化學(xué)及工程科學(xué)等許多領(lǐng)域，尤其是物理學(xué)成為受惠最多的學(xué)科。從經(jīng)典物理中對稱(chēng)性和守恒律的研究到量子力學(xué)中角動(dòng)量理論及動(dòng)力學(xué)對稱(chēng)性的探索再到同位旋、超荷和SU（3）對稱(chēng)性在現代基本粒子物理中的應用等無(wú)不閃耀著(zhù)群論思想的光輝。粗略地說(shuō)，我們經(jīng)常用群論來(lái)研究對稱(chēng)性，這些對稱(chēng)性能夠反映出在某種變化下的某些變化量的性質(zhì)。它也跟物理方程聯(lián)系在一起。基礎物理中常被提到的李群，就類(lèi)似與伽羅瓦群被用來(lái)解代數方程，與微分方程的解密切相關(guān)。
另外，晶體學(xué)中早期的關(guān)于晶體的各種結構的問(wèn)題中，也是靠群論中的費得洛夫群的研究給出了答案。群論指出，空間中互不相同的晶體結構只有確定的230種。
在研究群時(shí)，使用表象而非群元是較方便的，因為群元一般來(lái)說(shuō)都是抽象的事物。表象可以看成矩陣，而矩陣具有和群元相同的性質(zhì)。不可約表象和單位表象是表象理論中的重要概念。
在許多研究群論的數學(xué)家眼中，也即指在抽象群論中，數學(xué)家關(guān)心的是各元素間的運算關(guān)系，也即群的結構，而不管一個(gè)群的元素的具體含義是什么。舉一個(gè)具體的例子，根據凱萊定理，任何一個(gè)群都同構于由群的元素組成的置換群。于是，特別是對研究有限群來(lái)說(shuō)，研究置換群就是一個(gè)重要的問(wèn)題了。
基本概念
定義
設
是一個(gè)非空集合，是它的一個(gè)二元運算，如果滿(mǎn)足以下條件：
(1) 封閉性：若
，則存在唯一確定的
使得
；
(3) 單位元存在：存在
，對任意
，滿(mǎn)足
。e稱(chēng)為單位元，也稱(chēng)幺元；
則稱(chēng)G 對
構成一個(gè)群。
通常稱(chēng)G 上的二元運算為“乘法”，稱(chēng)
為a 與 b的積，并簡(jiǎn)寫(xiě)為ab。
若群 G中元素個(gè)數是有限的，則G稱(chēng)為有限群。否則稱(chēng)為無(wú)限群。有限群的元素個(gè)數稱(chēng)為有限群的階。
替換定理
若
是群，則對于任一
，
。
子群
若
是群，H是G的非空子集并且 
也是群，那么稱(chēng)H 為G的子群。
這條定理可以判定G 的子集是否為一個(gè)子群：
舉例
..., ?4, ?3, ?2, ?1, 0, 1, 2, 3, 4,...
下列整數加法的性質(zhì)，可以作為抽象的群公理的模型。
- 對于任何兩個(gè)整數a和b，它們的和a+b也是整數。換句話(huà)說(shuō)，在任何時(shí)候，把兩個(gè)整數相加都能得出整數的結果。這個(gè)性質(zhì)叫做在加法下封閉。
- 對于任何整數a,b和c，。用話(huà)語(yǔ)來(lái)表達，先把a加到b，然后把它們的和加到c，所得到的結果與把a加到b與c的和是相等的。這個(gè)性質(zhì)叫做結合律。
- 如果a是任何整數，那么。零叫做加法的單位元，因為把它加到任何整數都得到相同的整數。
- 對于任何整數a，存在另一個(gè)整數b使得。整數b叫做整數a的逆元，記為?a。
全體非零實(shí)數的乘法構成一個(gè)群
對三個(gè)互不相同的有序對象的6種不同順序間的改變（包括不變的情況）構成一個(gè)六階的群（這是一個(gè)有限的置換群的例子），它由此被標記為S3
應用
數學(xué)
群論在數學(xué)上被廣泛地運用，通常以自同構群的形式體現某些結構的內部對稱(chēng)性。結構的內部對稱(chēng)性常常和一種不變式性質(zhì)同時(shí)存在。如果在一類(lèi)操作中存在不變式，那這些操作轉換的組合和不變式統稱(chēng)為一個(gè)對稱(chēng)群。
阿貝爾群概括了另外幾種抽象集合研究的結構，例如環(huán)、域、模。
在代數拓撲中，群用于描述拓撲空間轉換中不變的性質(zhì)，例如基本群和透射群。
在組合數學(xué)中，交換群和群作用常用來(lái)簡(jiǎn)化在某些集合內的元素的計算。
物理
幾何晶體學(xué)的發(fā)展：
晶體點(diǎn)陣、點(diǎn)群、空間群這些概念的誕生以及他們在晶體學(xué)中的應用。這個(gè)主要發(fā)展時(shí)間是 19 世紀末，20 世紀初，代表人物是熊夫利（Sch?neflies，德國猶太人）、赫爾曼（Hermann，德國人）、毛古因（Mauguin，法國人）。)
對稱(chēng)性與守恒量之間的關(guān)系：
代表人物是諾特（Noether，女士，德裔猶太人）。她沒(méi)得諾獎，不過(guò)這個(gè)不影響她本身的偉大。諾特定理的基本內容是“any differentiable symmetry of the action of a physical system has a corresponding conservation law”，也可以說(shuō)是任何一個(gè)保持拉格朗日量不變的微分算符，都對應一個(gè)守恒的物理量。
量子力學(xué)：
代表人物是維格納（Wigner，匈牙利猶太人）。他也因為這方面的研究獲得了1963年的諾貝爾物理獎。他的獲獎原因，原話(huà)是“for his contributions to the theory of the atomic nucleus and the elementary particles, particularly through the discovery and application of fundamental symmetry principles”。Wigner 有一本書(shū)，叫《Group theory and its applications to the quantum mechanics of atomic spectra》，1931 年寫(xiě)的。也就是在這個(gè)之后，在物理學(xué)問(wèn)題的研究中使用對稱(chēng)性的知識徹底地成為了一種思維。
化學(xué)
最具代表性的領(lǐng)域是理論化學(xué)，很關(guān)鍵的一個(gè)人物是鮑林（Pauling）。他是第一個(gè)將量子力學(xué)基本原理、分子軌道、分子設計這些概念引入到化學(xué)研究中的人。也是我們現在公認的量子化學(xué)、分子生物學(xué)的開(kāi)創(chuàng )人。
化學(xué)領(lǐng)域中，比如晶體學(xué)、空間群和點(diǎn)群描述分子對稱(chēng)性和晶體對稱(chēng)性。這些對稱(chēng)性位于這些系統的化學(xué)和物理表現的底層，而群論使簡(jiǎn)化對這些性質(zhì)的量子力學(xué)分析成為可能。例如，群論被用來(lái)證實(shí)在特定量子級別間不出現光學(xué)躍遷簡(jiǎn)單的因為涉及到了狀態(tài)的對稱(chēng)性。
群不只對評定在分子中蘊含的對稱(chēng)性有用，而且令人驚奇的它們還可以預測出分子的對稱(chēng)性有時(shí)候可以改變。姜-泰勒效應是高對稱(chēng)的分子的變形，此時(shí)，在通過(guò)分子的對稱(chēng)運算相互關(guān)聯(lián)的一組可能基態(tài)中，該分子將采納一個(gè)特定的低對稱(chēng)的基態(tài)。
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這家伙太懶了，什么都沒(méi)寫(xiě)！
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