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三棱錐
四個(gè)三角形組成的椎體
定義
什么是三棱錐
幾何體，錐體的一種，由四個(gè)三角形組成，亦稱(chēng)為四面體，它的四個(gè)面（一個(gè)叫底面，其余叫側(cè)面）都是三角形。
平面上的多邊形至少三條邊，空間的幾何體至少四個(gè)面，所以四面體是空間最簡(jiǎn)單的幾何體。四面體又稱(chēng)三棱錐。三棱錐有六條棱長(zhǎng)，四個(gè)頂點(diǎn)，四個(gè)面。底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心的三棱錐稱(chēng)作正三棱錐；而由四個(gè)全等的正三角形組成的四面體稱(chēng)為正四面體。
三棱錐是一種簡(jiǎn)單多面體。指空間兩兩相交且不共線的四個(gè)平面在空間割出的封閉多面體。它有四個(gè)面、四個(gè)頂點(diǎn)、六條棱、四個(gè)三面角、六個(gè)二面角與十二個(gè)面角。若四個(gè)頂點(diǎn)為A，B，C，D.則可記為四面體ABCD，當(dāng)看做以A為頂點(diǎn)的三棱錐時(shí)，也可記為三棱錐A-BCD。四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都有惟一的不通過(guò)它的面，稱(chēng)為該頂點(diǎn)的對(duì)面，原頂點(diǎn)稱(chēng)這個(gè)面的對(duì)頂點(diǎn)。在四面體的六條棱中，沒(méi)有公共端點(diǎn)的兩條稱(chēng)為對(duì)棱。四面體有三雙對(duì)棱。且對(duì)棱的中點(diǎn)連結(jié)的線段(三條)彼此平分于同一點(diǎn)即四面體的重心，亦稱(chēng)四面體的形心。四面體的四個(gè)頂點(diǎn)與所對(duì)面(三角形)的重心連線(四條線段)必相交于同一點(diǎn)，即四面體的重心。若在四面體的四個(gè)頂點(diǎn)處各置重量相同的質(zhì)心，則這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心就在該四面體的重心處?；蛘弋?dāng)四面體由均勻物質(zhì)構(gòu)成時(shí)，它的質(zhì)心就在四面體的重心處。四面體的重心平分四面體的每一雙對(duì)棱中點(diǎn)連線。連結(jié)四面體的頂點(diǎn)與所對(duì)面的重心的線段，被四面體的重心內(nèi)分為3∶1(從頂點(diǎn)量起)。過(guò)四面體的每雙對(duì)棱作一對(duì)平行平面，這三對(duì)平行平面圍成一個(gè)平行六面體，即為原四面體的外接平行六面體，四面體的棱都是其外接平行六面體的面(平行四邊形)上的對(duì)角線。四面體的重心平分其外接平行六面體的每一條對(duì)角線。除重心性質(zhì)外，四面體還有如下的性質(zhì)：
1.四面體的每一條棱與其對(duì)棱的中點(diǎn)確定一個(gè)平面，這樣的六個(gè)平面共點(diǎn)。
2.四面體外接平行六面體的各棱分別平行且等于四面體中連結(jié)各對(duì)棱中點(diǎn)的線段。
舉例
相關(guān)計(jì)算
h為底高（法線長(zhǎng)度），A為底面面積，V為體積，L為斜高，C為棱錐底面周長(zhǎng)有：
S面積三角形AC乘h'除以2
例題
如圖，這是一個(gè)一般的三棱柱ABC-A'B'C'，它的體積可以分為三個(gè)等體積的三棱錐，即三棱錐C-A'AB，三棱錐C-A'B'B，三棱錐A'-CB'C'。
因?yàn)槿庵膫?cè)面A'ABB'是平行四邊形，所以△A'AB的面積=△A'BB'的面積，即其中三棱錐C-A'AB與三棱錐C-A'B'B的底面積相等，它們兩個(gè)的頂點(diǎn)都是C，即C到它們底面的距離都相等，所以三棱錐C-A'AB與三棱錐C-A'B'B的體積相等。而三棱錐C-A'B'B也可以看作是三棱錐A'-BCB'，且三棱等），且它們兩個(gè)的頂點(diǎn)都是A'，即A'到它們底面的距離都相等，所以三棱錐A'-CB'C'與三棱錐A'-BCB'的體積也相等，故三棱錐C-A'AB，三棱錐C-A'B'B，三棱錐A'-CB'C'的體積都相等。
已知三棱錐棱長(zhǎng)求其體積的體積公式。
任意一個(gè)三棱錐或者說(shuō)四面體，其棱為a，b，c，d，e，f，其中a與d，b與e，c與f互為對(duì)邊，那么有三棱錐（四面體）的體積公式為：
正三棱錐內(nèi)切球心在頂點(diǎn)與底面重心的連線的距底面
處。
相關(guān)計(jì)算：因?yàn)檎忮F底面為正三角形，所以高線位于任意頂點(diǎn)與底邊中點(diǎn)連線，又三線合一，所以重心位于高線距頂點(diǎn)
處，即可算出頂點(diǎn)與重心的距離，又知正三棱錐邊長(zhǎng)，即可根據(jù)勾股定理算出圓心所在直線（即頂點(diǎn)與底面重心的連線）的長(zhǎng)度，即可算出底面與球心的距離（即內(nèi)切球半徑）。
一般的三棱錐內(nèi)切球心在四個(gè)面上的射影與四個(gè)面的重心重合，據(jù)此可確定球心位置。
外接球心
正三棱錐外接球心在頂點(diǎn)與底面重心的連線的距底面處。
相關(guān)計(jì)算：和計(jì)算內(nèi)切球心一樣算出圓心所在直線（即頂點(diǎn)與底面重心的連線）的長(zhǎng)度，即可算出頂點(diǎn)與球心的距離（即外接球半徑）。
一般的三棱錐外切球心在四個(gè)面上的射影與四個(gè)面的外心重合，據(jù)此可確定球心位置。
其中R為外接球半徑,a、A、B如圖，
為A、B所在面二面角。
若二面角為90°，即兩面垂直時(shí)公式簡(jiǎn)化為
與棱相切的球心
正三棱錐的與棱相切的球心在頂點(diǎn)與底面重心的連線的距底面1/4處（正三棱錐三心重合）
一般的三棱錐與四條棱都相切的球心在四個(gè)面上的射影與四個(gè)面的內(nèi)心重合，據(jù)此可確定球心位置。
三棱錐頂點(diǎn)射影與底面三角形的“心”
外心
若O是△ABC的外心，則
。由于OP⊥平面ABC（射影的定義），因此OP⊥OA、OP⊥OB、OP⊥OC。勾股定理得PA=PB=PC。又
，
，
，由此可知
。
綜上，可得到以下定理：
- 當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱相等時(shí)，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的外心。
- 當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱與底面所成角相等時(shí)，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的外心。
內(nèi)心
若O是△ABC的內(nèi)心，則O到三邊距離相等，且O在△ABC內(nèi)。設(shè)O到BC、AC、AB的垂線段分別為OD、OE、OF，那么
。由勾股定理得PD=PE=PF。又
，
，
，因此
。且由三垂線定理可知PD⊥BC、PE⊥AC、PF⊥AB，即∠PDO、∠PEO、∠PFO分別是二面角P-BC-A、P-AC-B、P-AB-C的平面角。
綜上，可得到以下定理：
- 當(dāng)三棱錐的頂點(diǎn)到底面三角形三邊距離相等，且頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形的內(nèi)部，那么射影是內(nèi)心。
- 當(dāng)三棱錐的各個(gè)側(cè)面與底面構(gòu)成的二面角相等，且頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形的內(nèi)部，那么射影是內(nèi)心。
旁心
由于旁心和內(nèi)心的性質(zhì)相同，都是到三角形三邊距離相等的點(diǎn)。只不過(guò)內(nèi)心在三角形內(nèi)部而旁心在三角形外部。所以討論的思路和內(nèi)心相同，差異就在O與△ABC的位置關(guān)系而已。因此直接得到以下定理：
- 當(dāng)三棱錐的頂點(diǎn)到底面三角形三邊距離相等，且頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形的外部，那么射影是旁心。
- 當(dāng)三棱錐的各個(gè)側(cè)面與底面構(gòu)成的二面角相等，且頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形的外部，那么射影是旁心。
垂心
若O是△ABC的垂心，則有OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB。又因?yàn)镺是P的射影，由三垂線定理可知PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB。推廣來(lái)看，從PA⊥BC可以聯(lián)想到PA⊥平面PBC，而根據(jù)線面垂直的判定定理，PA⊥平面PBC的條件是PA⊥PB，PA⊥PC。同理，PB⊥PA，PB⊥PC；PC⊥PA，PC⊥PB。即PA、PB、PC兩兩垂直。
綜上，可得到以下定理：
- 當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直（或每條側(cè)棱都與所對(duì)的側(cè)面垂直）時(shí)，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的垂心。
- 當(dāng)三棱錐有兩條側(cè)棱與對(duì)應(yīng)的對(duì)邊垂直時(shí)，第三組側(cè)棱與對(duì)邊也垂直，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的垂心。
重心
定理：
- 當(dāng)三棱錐的任一側(cè)棱的平方的3倍與其對(duì)棱平方之和為定值時(shí)，該三棱錐的頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的重心。
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