百科首頁(yè) > 正文

二面角（數學(xué)術(shù)語(yǔ)之一）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-22

來(lái)源：網(wǎng)絡(luò )整理

精選百科

本文由作者推薦

二面角

數學(xué)術(shù)語(yǔ)之一

二面角，數學(xué)術(shù)語(yǔ)，拼音是èr miàn jiǎo，從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。

基本信息

中文名	二面角
外文名	dihedral angle
特點(diǎn)	平面有角度
度量工具	平面角
學(xué)科	數學(xué)

展開(kāi)

相關(guān)概念

1.半平面：平面的一條直線(xiàn)把平面分成兩部分，其中每一部分都叫做一個(gè)半平面。

2.平面角：以二面角的公共直線(xiàn)上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內分別作垂直于公共直線(xiàn)的兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。

3.直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。互相垂直的平面：相交成直角的兩個(gè)平面叫做互相垂直的平面。

簡(jiǎn)述

平面內的一條直線(xiàn)，把這個(gè)平面分為兩部分，每一部分都叫作半平面。從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角。這條直線(xiàn)叫作二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫作二面角的面。二面角的大小，可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是幾度，就說(shuō)這個(gè)二面角是幾度。二面角也可以看作是從一條直線(xiàn)出發(fā)的一個(gè)半平面繞著(zhù)這條直線(xiàn)旋轉，它的最初位置和最終位置組成的圖形。

二面角的平面角的大小，與其頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān)。如果兩個(gè)二面角能夠完全重合，則說(shuō)它們是相等的．如果兩個(gè)二面角的平面角相等，那么這兩個(gè)二面角相等。反之，相等二面角的平面角相等。

性質(zhì)

關(guān)于二面角的性質(zhì)為：

(1)同一二面角的任意兩個(gè)平面角相等，較大二面角的平面角較大。

(2)兩個(gè)二面角的和或差所對應的平面角，是原來(lái)兩個(gè)二面角所對應的平面角的和或差。

(3)二面角可以平分，且平分面是唯一的。

(4)對棱二面角相等。

平面角做法

作二面角的平面角的常用方法有以下幾種：

1、定義法：在棱上取一點(diǎn)A，然后在兩個(gè)平面內分別作過(guò)棱上A點(diǎn)的垂線(xiàn)。有時(shí)也可以在兩個(gè)平面內分別作棱的垂線(xiàn)，再過(guò)其中的一個(gè)垂足作另一條垂線(xiàn)的平行線(xiàn)。

2、垂面法：作與棱垂直的平面，則垂面與二面角兩個(gè)面的交線(xiàn)所成的角就是二面角的平面角

3、面積射影定理：二面角的余弦值等于某一個(gè)半平面在另一個(gè)半平面的射影的面積和該平面自己本身的面積的比值。即公式

（S'為射影面積，S為斜面面積）。運用這一方法的關(guān)鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關(guān)平面上的射影，而且它們的面積容易求得。

4、三垂線(xiàn)定理及其逆定理法：先找到一個(gè)平面的垂線(xiàn)，再過(guò)垂足作棱的垂線(xiàn)，連接兩個(gè)垂足即得二面角的平面角。

5、向量法：分別作出兩個(gè)半平面的法向量，由向量夾角公式求得。二面角就是該夾角或其補角。

6、轉化法：在二面角

其中一個(gè)半平面α上找一點(diǎn)P，求出P到β的距離h和P到l的距離d，那么

（二面角為銳角）或

（二面角為鈍角）就是二面角的大小。

7、異面直線(xiàn)的距離法：設二面角為

，其中AC和BD互為異面直線(xiàn)且

（即AB是異面直線(xiàn)AC和BD的公垂線(xiàn)）。設

，根據

來(lái)求異面直線(xiàn)所成角θ。利用該方法求θ必須先由圖像判斷二面角是銳角還是鈍角。如果是銳角，那么取正號；鈍角，那么取負號。待求出θ以后，如果二面角是銳角，那么二面角的大小就是θ；鈍角，那么二面角的大小就是

。

其中，（1）、（2）點(diǎn)主要是根據定義來(lái)找二面角的平面角。

二面角一般都是在兩個(gè)平面的相交線(xiàn)上，取恰當的點(diǎn)，經(jīng)常是端點(diǎn)和中點(diǎn)。過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩平面做相交線(xiàn)的垂線(xiàn)，然后把兩條垂線(xiàn)放到一個(gè)三角形中考慮。有時(shí)也經(jīng)常做兩條垂線(xiàn)的平行線(xiàn)，使他們在一個(gè)更理想的三角形中。

求解方法

幾何法

（1）作出二面角的平面角

A：利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點(diǎn)作平面角；

B：利用面的垂線(xiàn)（三垂線(xiàn)定理或其逆定理）作平面角；

C：利用與棱垂直的直線(xiàn)，通過(guò)作棱的垂面作平面角；

D：利用無(wú)棱二面角的兩條平行線(xiàn)作平面角。

（2）證明該角為平面角

（3）歸納到三角形求角

向量法

1）先建立直角坐標系，求出各點(diǎn)坐標；

2）設面

的法向量為

，面

的法向量為

；

3）然后求

和

的夾角θ的余弦

4）根據圖像觀(guān)察

和

的方向。如果兩個(gè)法向量一個(gè)指向二面角內部另一個(gè)指向二面角外部，則二面角的大小就是θ。如果兩個(gè)法向量同時(shí)指向二面角內部或外部，則二面角的大小為

。

相關(guān)視頻

全部

9515次播放03:00

高中數學(xué)立體幾何重要考點(diǎn)：求二面角，重點(diǎn)掌握

二面角相關(guān)的文章

腦動(dòng)脈瘤

腦動(dòng)脈瘤是常見(jiàn)血管性疾病，是自發(fā)性蛛網(wǎng)膜下腔出血最常見(jiàn)的原因。腦動(dòng)脈瘤可見(jiàn)于任何年齡，但50～69歲患者居多，約占總發(fā)病率的2/3。動(dòng)脈瘤病因不明，其發(fā)生是多種因素、多種機制并存導致。未破裂動(dòng)脈瘤可無(wú)癥狀，較大的動(dòng)脈瘤可壓迫鄰近腦組織或腦神經(jīng)出現相應的局灶癥狀，如癲癇、偏癱、失語(yǔ)、視力和視野障礙等。

三氯甲烷（有機合成原料）

三氯甲烷，分子式為CHCl3，為無(wú)色透明液體，有特殊氣味，味甜，高折光，不燃，質(zhì)重，易揮發(fā)。對光敏感，遇光照會(huì )與空氣中的氧作用，逐漸分解而生成劇毒的光氣（碳酰氯）和氯化氫。可加入0.6%～1%的乙醇作穩定劑。能與乙醇、苯、乙醚、石油醚、四氯化碳、二硫化碳和油類(lèi)等混溶、25℃時(shí)1mL溶于200mL水。

拿破侖·波拿巴（法蘭西第一帝國建立者）

拿破侖·波拿巴（Napoléon Bonaparte，1769年8月15日-1821年5月5日），拿破侖一世，出生于科西嘉島，創(chuàng )立法蘭西第一帝國，是十九世紀法國偉大的軍事家、政治家、法學(xué)家，執政期間被稱(chēng)為“法國人的皇帝”。

麥芽糖（碳水化合物的一種）

麥芽糖是一種由兩個(gè)葡萄糖分子以α-1，4糖苷鍵連接而成的淀粉糖產(chǎn)品，也稱(chēng)為麥芽二糖。根據麥芽糖含量的不同，麥芽糖漿可分為普通麥芽糖漿、高麥芽糖漿和超高麥芽糖漿。麥芽糖是一種碳水化合物，由含淀粉酶的麥芽作用于淀粉而制得，可用作營(yíng)養劑和培養基的配制。此外，麥芽糖也是一種中國傳統懷舊小食。

羅塞塔（埃及海港城市）

羅塞塔（英語(yǔ)：Rosetta），亦稱(chēng)拉希德（阿拉伯語(yǔ)：?????，Rashid），為埃及的海港都市。位于尼羅河三角洲西北部，距羅塞塔河口約13公里，人口約4萬(wàn)人。建于九世紀，是地中海地區與印度貿易的重要中繼站。

科幻電視作品（科幻電視作品）

科幻電視作品科幻電視作品是指將具科學(xué)幻想的內容以電視節目呈現，其最早上映源自于科幻小說(shuō)黃金時(shí)代。電視科幻作品主要透過(guò)特殊效果等制作技術(shù)，讓創(chuàng )作者的發(fā)想不必被現實(shí)社會(huì )拘束，而得以重新呈現出幻想的世界。