五次方程是未知項總次數最高為5的整式方程。一般的五次方程沒(méi)有統一的公式解存在。

中文名

五次方程

釋義

未知項總次數最高為5的整式方程

相關(guān)解釋

群論

特點(diǎn)

一般的五次方程沒(méi)有統一的根式解

概述

陶平生先生認為：群論

是解決該問(wèn)題的一種很好的方法。

其實(shí)，在我們的人教B版高中數學(xué)課本《選修3-4對稱(chēng)與群》里，已經(jīng)說(shuō)明：

第一，1824年：挪威的一位年輕人阿貝爾證明了：五次代數方程通用的求根公式是不存在的；

第二，伽羅瓦證得了5次及其以上方程沒(méi)有統一的求根公式；

第三，伽羅瓦能給出恰好有H=S的方程，而在群論里面很容易證明當n≥5時(shí)，S不是一個(gè)可解群。

歷史

第一個(gè)版本

二次、三次、四次方程的根都可以用它的系數的代數式(即只含有限項的加、減、乘、除和開(kāi)方五種代數運算的表達式)來(lái)表示，五次及五次以上方程到底是否也行，這個(gè)問(wèn)題吸引了眾多的著(zhù)名數學(xué)家，在300多年的時(shí)間里，人們的各種嘗試都失敗了。

后來(lái)在18世紀初，保羅·拉尼爾證明了五次方程沒(méi)有代數解。過(guò)了10年左右，阿貝爾同意相信他的理論并給出了證明。

到了18世紀下半葉，法國數學(xué)家拉格朗日總結分析了別人失敗的教訓，也意識到這種用代數方法求解五次方程的公式可能不存在，設想了一種理論上的利用根式求解方程的步驟，但還是碰了壁。

利用一些超越函數，如theta function或Dedekind eta function即可找到五次方程的公式解。另外，若我們只需要求得數值解，可以利用數值方法（如牛頓迭代法）得到相當理想的解答。

拉格朗日的工作啟發(fā)了年輕的阿貝爾(挪威數學(xué)家)，中學(xué)時(shí)期就自學(xué)了許多名家的數學(xué)著(zhù)作，進(jìn)大學(xué)后，開(kāi)始研究五次方程的代數解問(wèn)題。1824年，他嚴格地證明了高于四次的一般代數方程不可能有一般形式的代數解，這時(shí)他才22歲，尚未大學(xué)畢業(yè)，但沒(méi)有得到別人理解，將論文寄給高斯，也未引起注意，1826年才得以公開(kāi)發(fā)表論文。阿貝爾只是證明了高于四次方程的一般代數方程不可能有一般形式的代數解，沒(méi)有指出哪些特殊的方程存在代數解。這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被法國年輕數學(xué)家伽羅瓦所解決，伽羅瓦創(chuàng )設的理論給出了可解性判別準則，并因此而開(kāi)辟了數學(xué)的新領(lǐng)域——

群論

。

第二個(gè)版本

1770年：拉格朗日詳細考察了人們求解2、3、4次方程的方法，首次意識到5次及其以上方程求根公式可能不存在，雖然他未能證明自己的斷言，但是，他提出的根的置換理論揭示了問(wèn)題的本質(zhì)，也是這個(gè)問(wèn)題最后解決所出現的曙光。

1801年：高斯證明分圓多項式

（p為素數）可以用根式求解，這使得人們意識到，至少有一部分高次方程是可以根式求解的。

1824年：挪威的一位年輕人阿貝爾證明了：五次代數方程通用的求根公式是不存在的。當然，結合高斯關(guān)于分圓多項式的結論，我們知道，接下來(lái)的問(wèn)題是解決，如何判定具體的代數方程是否可根式解。這個(gè)問(wèn)題阿貝爾并沒(méi)有回答。

1830年：法國數學(xué)天才伽羅瓦徹底解決了5次方程何時(shí)可以根式解的問(wèn)題。可是他的結果已知沒(méi)有能夠發(fā)表。

1846年：伽羅瓦死后14年，他的這一偉大成果發(fā)表，其中首次提出了群的概念，并最終利用群論解決了這個(gè)世界難題。

1870年：法國數學(xué)家若爾當（C.Jordan，1838～1922）根據伽羅瓦的思想撰寫(xiě)了《論置換與代數方程》一書(shū)，人們才真正領(lǐng)略了伽羅瓦的偉大思想。

源引：《普通高中課程標準實(shí)驗教科書(shū)數學(xué)選修3-4對稱(chēng)與群》，人教B版。

4.4群與代數方程根式可解性。