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判別式（判斷方程實(shí)根個(gè)數的公式）

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判別式

判斷方程實(shí)根個(gè)數的公式

根的判別式是判斷方程實(shí)根個(gè)數的公式，在解題時(shí)應用十分廣泛，涉及到解系數的取值范圍、判斷方程根的個(gè)數及分布情況等。一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判別式是b-4ac，用“△”表示(讀做“delta”)。

基本信息

中文名	判別式
外文名	discriminant
拼音	pàn bié shì
定義	判定方程實(shí)根個(gè)數的公式
功能	判定方程根
包括	一元一次等
所屬科目	數學(xué)

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定義

判別式即判定方程實(shí)根個(gè)數及分布情況的公式。

一元二次方程

任意一個(gè)一元二次方程

均可配成

，因為a≠0，由平方根的意義可知，

的符號可決定一元二次方程根的情況．

叫做一元二次方程

的根的判別式，用“

”表示(讀做“delta”)，即

．

根的情況

方程系數為實(shí)數

在一元二次方程

中

（1）當

時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數根；

（2）當

時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數根；

（3）當

時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數根，方程有兩個(gè)共軛虛根．

（1）和（2）合起來(lái)：當

時(shí)，方程有實(shí)數根．

上面結論反過(guò)來(lái)也成立，可以具體表示為：

在一元二次方程

（

）中，

①當方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數根時(shí)，

；

②當方程有兩個(gè)相等的實(shí)數根時(shí)，

；

③當方程沒(méi)有實(shí)數根時(shí)，

。

（1）和（2）合起來(lái)：當方程有實(shí)數根時(shí)，

．

注意根的判別式是

，而不是

。

一元二次方程求根公式：

當

≥0時(shí)，

，

當

時(shí)，

;

當

<0時(shí)，

(i是虛數單位)

方程系數為虛數

在一元二次方程

（a、b、c是虛數）中

當

時(shí)，此方程有兩個(gè)相等的復根；

當

時(shí)，此方程有兩個(gè)不等的復根。

應用

（1）解方程，判別一元二次方程根的情況．

它有兩種不同層次的類(lèi)型：

①系數都為數字；

②系數中含有字母；

③系數中的字母人為地給出了一定的條件．

（2）根據一元二次方程根的情況，確定方程中字母的取值范圍或字母間關(guān)系．

（3）應用判別式證明方程根的情況（有實(shí)根、無(wú)實(shí)根、有兩不等實(shí)根、有兩相等實(shí)根）

應用

① 解一元二次方程，判斷根的情況。

② 根據方程根的情況，確定待定系數的取值范圍。

③ 證明字母系數方程有實(shí)數根或無(wú)實(shí)數根。

④ 應用根的判別式判斷三角形的形狀。

⑤ 判斷當字母的值為何值時(shí)，二次三項是完全平方式

⑥ 可以判斷拋物線(xiàn)與直線(xiàn)有無(wú)公共點(diǎn)

聯(lián)立方程。

⑦ 可以判斷拋物線(xiàn)與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)

拋物線(xiàn)

與x軸的交點(diǎn)（1）當

時(shí)，即有

，要求x的值，需解一元二次方程

。可見(jiàn)，拋物線(xiàn)

與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數是由對應的一元二次方程

的根的情況確定的，而決定一元二次方程

的根的情況的，是它的判別式的符號，因此拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)有如下三種情形：

1）當

時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，若此時(shí)一元二次方程

的兩根為

，則拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標為

。

2）當

時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有唯一交點(diǎn)，此時(shí)的交點(diǎn)就是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，其坐標是（

，0）。

3）當

時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。

⑧ 利用根的判別式解有關(guān)拋物線(xiàn)

與x軸兩交點(diǎn)間的距離的問(wèn)題。

⑨當

時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，當

時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下。

一元三次方程

在特殊形式的一元三次方程

中，其判別式為

。當

時(shí)，有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)復根；

時(shí)，有三個(gè)實(shí)根，當

時(shí)，有一個(gè)三重零根，

時(shí)，三個(gè)實(shí)根中有兩個(gè)相等；

時(shí)，有三個(gè)不等實(shí)根。

在一般形式的一元三次方程

中，一般采用盛金判別法，即

令

當

時(shí)，方程有一個(gè)三重實(shí)根。

當

時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根和一對共軛虛根。

當

時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)根，其中有一個(gè)二重根。

當

時(shí)，方程有三個(gè)不相等的實(shí)根。

參考資料

[1]

判別式的解釋|判別式的意思|漢典“判別式”詞語(yǔ)的解釋[引用日期2022-05-17 21:34:32]

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