純粹數學(xué)（專(zhuān)門(mén)研究數學(xué)本身規律的學(xué)科）
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純粹數學(xué)
專(zhuān)門(mén)研究數學(xué)本身規律的學(xué)科
純粹數學(xué)也叫基礎數學(xué)，是一門(mén)專(zhuān)門(mén)研究數學(xué)本身，不以實(shí)際應用為目的的學(xué)問(wèn)，研究從客觀(guān)世界中抽象出來(lái)的數學(xué)規律的內在聯(lián)系，也可以說(shuō)是研究數學(xué)本身的規律。相對于應用數學(xué)而言，和其它一些不以應用為目的的理論科學(xué)(例如理論物理、理論化學(xué))有密切的關(guān)系。純粹數學(xué)以其嚴格、抽象和美麗著(zhù)稱(chēng)。自18世紀以來(lái)，純粹數學(xué)成為數學(xué)研究的一個(gè)特定種類(lèi)，并隨著(zhù)探險、天文學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等的發(fā)展而發(fā)展。
分類(lèi)
純粹數學(xué)研究從客觀(guān)世界中抽象出來(lái)的數學(xué)規律的內在聯(lián)系，也可以說(shuō)是研究數學(xué)本身的規律。它大體上分為三大類(lèi)，即
研究空間形式的幾何類(lèi)，研究離散系統的代數類(lèi)，研究連續現象的分析類(lèi)
研究空間形式的幾何類(lèi)
屬于第一類(lèi)的如微分幾何、拓撲學(xué)。微分幾何是研究 光滑曲線(xiàn)、曲面等，它以數學(xué)分析、微分幾何為研究工具。在力學(xué)和一些 工程問(wèn)題（如彈性殼結構、齒輪等方面）中有廣泛的應用。拓撲學(xué)是研究幾何圖形在一對一的雙方連續變換下不變的性質(zhì)，這種性質(zhì)稱(chēng)為“拓撲性質(zhì)”。如畫(huà)在橡皮膜上的圖形當橡皮膜受到變形但不破裂或折疊時(shí)，曲線(xiàn)的閉合性、兩曲線(xiàn)的相交性等都是保持不變的。
研究連續現象的分析類(lèi)
屬于第三類(lèi)的如微分方程、函數論、泛函分析。微分方程是含有未知 函數的 導數或 偏導數的方程。如未知函數是 一元函數，則稱(chēng)為常微分方程，如未知函數是多元函數，則稱(chēng)為偏微分方程。函數論是實(shí)函數論（研究 實(shí)數范圍上的實(shí)值函數）和復變函數（研究在 復數平面上的 函數性質(zhì)）的總稱(chēng)。泛函分析是綜合運用 函數論、幾何學(xué)、代數學(xué)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)研究無(wú)限維向量空間（如 函數空間）上的函數、算子和 極限理論，它研究的不是單個(gè)函數，而是具有某種共同性質(zhì)的函數集合。它在數學(xué)和物理中有廣泛的應用。
歷史
19世紀
“純粹數學(xué)”這個(gè)詞是從Sadleirian Chair（en:Sadleirian Chair）這個(gè)
19世紀中期建立的
教授職位的全名而來(lái)的。“純粹”數學(xué)作為一門(mén)獨立的學(xué)科的想法可能就是從那個(gè)時(shí)候發(fā)展起來(lái)的。
高斯一代的數學(xué)家沒(méi)有徹底地區分過(guò)“純粹”和“應用”。之后，專(zhuān)門(mén)化和專(zhuān)業(yè)化，特別是魏爾施特拉斯研究
數學(xué)分析的方法，使得兩者的區別越來(lái)越大。
20世紀
進(jìn)入
20世紀，數學(xué)家們受到
希爾伯特的影響，開(kāi)始使用
公理系統。
羅素建立了“純粹數學(xué)”的邏輯公式，以
量化的
命題為形式。隨著(zhù)數學(xué)的公理化，這些公式變得越來(lái)越抽象了，“嚴格證明”成為的簡(jiǎn)單的標準。實(shí)際上，“嚴格”在“證明”中沒(méi)有任何新意。以
布爾巴基小組的觀(guān)點(diǎn)，純粹數學(xué)就是被證明了的。
# 純粹數學(xué)基本理論的深刻變革
（作者：奇東，單位：齊東）
一、緒言（《
》書(shū)中的道白與評論）：
《
古今數學(xué)思想》書(shū)中 [第四冊324頁(yè)] 指出：“對于數學(xué)基礎的根本問(wèn)題所提出的解答——經(jīng)典
集合論公理化、
邏輯主義，
形式主義，
直覺(jué)主義——都沒(méi)有達到目的，沒(méi)有對數學(xué)提供一個(gè)可以普遍接受的途徑。在哥德?tīng)?931年的工作以后的發(fā)展，也沒(méi)有在實(shí)質(zhì)上改變這種狀況，…；該書(shū)中又指出：韋爾對數學(xué)的現狀作了恰當的描述：關(guān)于數學(xué)最終基礎和最終意義的問(wèn)題還是沒(méi)有解決，我們不知道向哪里去找它的最后解答，…”,這就是純粹數學(xué)的基本現狀，…。《古今數學(xué)思想》[第四冊313頁(yè)]書(shū)中還指出：“…，數學(xué)中最重要的進(jìn)展都不是由于要把邏輯形式完美化而得到的，而是由于基本理論本身的變革，是邏輯依靠數學(xué)，而不是數學(xué)依靠邏輯。”事實(shí)上邏輯與數學(xué)相互依賴(lài)，數學(xué)基本理論自身變革怎樣變革、如何變革、從哪里作為起點(diǎn)開(kāi)始變革至關(guān)重要，追根溯源，還是要上溯到2500多年前
畢達哥拉斯時(shí)期，從最簡(jiǎn)單的算術(shù)談起，無(wú)容置疑，潛無(wú)限數學(xué)理論依然是純粹數學(xué)、應用數學(xué)的根基，因為無(wú)理數都取近似值，堅決突破玄學(xué)數學(xué)自然觀(guān)的束縛、徹底打破純粹數學(xué)（
數學(xué)基礎）的“
三大數學(xué)流派”與“門(mén)戶(hù)”之見(jiàn)，承認接受實(shí)無(wú)限數學(xué)理論千萬(wàn)不能排斥丟掉了潛無(wú)限數學(xué)真理，…。向為數學(xué)以及為純粹數學(xué)做出過(guò)貢獻的歷代
數學(xué)家致以崇高敬意！…。
二、建立起數學(xué)數值
辯證邏輯
公理
系統
（的雛形）：
究竟是到數值邏輯系統外部探尋系統運算規律與深刻內涵？還是在數值邏輯系統內部探尋系統運算規律與深刻內涵？很顯然，要在數值邏輯系統內部探尋系統運算規律以及深刻內涵、建立起數學(xué)辯證數值邏輯公理系統（的雛形），使數學(xué)理論形成完整的理性認識，事實(shí)證明，數理邏輯亦不是萬(wàn)能邏輯，數理邏輯與實(shí)無(wú)限并未完全揭示出辯證數值邏輯公理系統運算規律與其深刻內涵，初等數學(xué)與純粹數學(xué)的基本理論尚有諸多不足之處，這就是數學(xué)實(shí)無(wú)限理論和數理邏輯無(wú)法解決的數學(xué)矛盾與問(wèn)題，關(guān)于數學(xué)的無(wú)限矛盾，實(shí)無(wú)限、數理邏輯不能解決的數學(xué)矛盾與問(wèn)題，運用潛無(wú)限數學(xué)理論與潛無(wú)限的科學(xué)方法深化提升對有理數系統的認識，未嘗不可，…，用那10個(gè)
阿拉伯數字演繹數學(xué)真諦，1生2、2生3、“10”個(gè)阿拉伯數字派生無(wú)限，確切地說(shuō)正整數數列： 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……如果從數學(xué)的
數論、
集合論、
算術(shù)與
哲學(xué)角度出發(fā)，運用算術(shù)的方法分別選取：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……，…分別地建立起最基本最原始的幼稚可笑的有理數
數列群與
子集合（為了節省版面本文分數線(xiàn)用斜線(xiàn)表示，敬請諒解）：
第1子系列：
第2子系列：
第3子系列：
第4子系列：
第5子系列：
第6子系列：
第7子系列：
第8子系列：
第9子系列：
第10子系列：
……，……
如果再去分別探索在何范疇內系統的各個(gè)子系列各基數間存在著(zhù)運算規律2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……的（公理）倍數關(guān)系時(shí)、即分別探索在何范疇內各基數間存在著(zhù)2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……的算術(shù)（數學(xué)）公理——辯證數值邏輯公理系統運算規律：
第1子系列：
第2子系列、第2環(huán)節：
第3環(huán)節：
第4環(huán)節：
第5環(huán)節：
第6環(huán)節：
第3子系列、第2環(huán)節：
第3環(huán)節：
第4環(huán)節：
第5環(huán)節：
第6環(huán)節：
第4子系列、第2環(huán)節：
第3環(huán)節：
第4環(huán)節：
第5環(huán)節：
第6環(huán)節：
第5子系列、第2環(huán)節：
第3環(huán)節：
第4 環(huán)節：
第5環(huán)節：
第6環(huán)節：
第6子系列、第2環(huán)節：
第3環(huán)節：
第4環(huán)節：
第5環(huán)節：
第6環(huán)節：
第7子系列、第2環(huán)節：
第3環(huán)節：
第4環(huán)節：
第5環(huán)節：
第6環(huán)節：
（一）、數學(xué)數值
辯證邏輯
公理
系統
（以下簡(jiǎn)稱(chēng)為數值邏輯公理系統或
系統
）：
關(guān)于上述初等數學(xué)與純粹數學(xué)的起點(diǎn)，即最簡(jiǎn)單、最原始幼稚可笑的未被引起人們足夠重視的數值運算我們無(wú)法將其一一列出，上述運算是否蘊涵著(zhù)數學(xué)數值邏輯系統運算
規律和深刻的內涵？單憑直覺(jué)無(wú)法正確回答，…，目前，只能實(shí)事求是，實(shí)話(huà)實(shí)說(shuō)，常言道，最簡(jiǎn)單的、最質(zhì)樸的恰恰是最深奧的、最難以理解接受的，數學(xué)是被應驗了，我們將上述運用
亞里士多德潛無(wú)限數學(xué)理性認識和在自然辯證法（哲學(xué)）指導下、在
數論、
集合論內涵條件下形成的特殊運算規律與普遍運算規律以及深刻內涵辯證地概括地歸納為：總之，數學(xué)辯證數值邏輯系統的各個(gè)子系列除了第1系列
例外，上述辯證數值邏輯公理系統運算
規律，系統的各個(gè)子系列無(wú)論是在奇數子系列、還是在偶數子系列范疇內均派生
子集合，派生子集合是指（既約分數）
從系統發(fā)展變化的過(guò)程中產(chǎn)生分化出來(lái)占據整數的位置充分地十足地體現其半整性質(zhì)，因為
是最大的分數單位，所以分數擁有半整性質(zhì)；換言之，小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,…在系統在各個(gè)子系列發(fā)展變化的過(guò)程中紛紛產(chǎn)生分化出來(lái)、均占據整數的位置，揭示著(zhù)它們的絕對值比其他小數的絕對值相對整裝，小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,…充分地十足地體現其半整性質(zhì)，蘊涵著(zhù)完整的算術(shù)（數學(xué)）
公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的倍數關(guān)系，2是數學(xué)（算術(shù)）的首要
公理，
當系統子系列在
10
，
100
，
1000
，
10000
，
…
的范疇內：
均派生子集合，不僅揭示著(zhù)小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，…擁有半整性質(zhì)，而且在向縱深發(fā)展地潛無(wú)限的過(guò)程中有太多太多的基數是超越數數值的有限形式、甚至與其相吻合，形成有限不循環(huán)小數或潛無(wú)限不循環(huán)小數（例如
等等），
是超
超越數的有限形式，是十進(jìn)制小數的典型代表，在此基礎上引進(jìn)有限·不循環(huán)小數（潛無(wú)限·不循環(huán)小數）的概念與定義，有限·不循環(huán)小數（潛無(wú)限·不循環(huán)小數）是數學(xué)真理最新發(fā)現之一，譬如：
圓周率π=3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，…等等就是有限·不循環(huán)小數（潛無(wú)限·不循環(huán)小數），具有替代無(wú)理數數值的數學(xué)實(shí)際意義與應用價(jià)值（無(wú)理數的近似值），…；現將數學(xué)數值
辯證邏輯公理系統各個(gè)子系列籠統的、通項的表達為（僅以正的為代表，符號↓：意指系統的各個(gè)子系列均相互派生子集合）：
或者表達為：
或者表達為：
第1環(huán)節：
，第2環(huán)節：
第3環(huán)節：
第4環(huán)節：
第5環(huán)節：
，第6環(huán)節：
第7環(huán)節：
第8環(huán)節：
第9環(huán)節：
第10環(huán)節：
……，…；或者表達為：系統中的
意指系統各個(gè)子系列1，3，5，7，9，11，13，…奇數環(huán)節上的基數的和，
意指系統各個(gè)子系列2，4，6，8，10，12，…偶數環(huán)節上的基數之和，
亦是系統的子集合，
它們是集合族、有無(wú)窮個(gè)子集合或有無(wú)窮個(gè)數組，其他依次類(lèi)推，很顯然，假如說(shuō)
的基數是實(shí)無(wú)限，那么它的基數有理數與無(wú)理數一下子就會(huì )全部冒出來(lái)，究竟具體有多少、是多少？實(shí)無(wú)限無(wú)人無(wú)法具體知曉、如果采納實(shí)無(wú)限手段依然會(huì )遇到我們的前人所遭遇的結果，因此務(wù)必突破傳統數學(xué)思維觀(guān)念實(shí)無(wú)限與傳統經(jīng)典
數論、
集合論的束縛，本文并不否定實(shí)無(wú)限的科學(xué)性、亦不否定無(wú)理數的客觀(guān)存在，亦不否認數理邏輯比數值邏輯的無(wú)比優(yōu)越性，只是希望承認接受實(shí)無(wú)限的人們與專(zhuān)家，千萬(wàn)莫否定、排斥掉了潛無(wú)限數學(xué)理論，
均為有科學(xué)秩序的有理數，并非一堆毫無(wú)秩序的有理數，式中的
因此務(wù)必運用科學(xué)的潛無(wú)限數學(xué)理論來(lái)認識、解決數學(xué)矛盾與問(wèn)題，再次強調說(shuō)明，符號↓意指（相互）派生子集合，在數值邏輯公理系統各個(gè)子系列從第2系列起各個(gè)子系列均（相互）派生子集合，具有普遍意義，（相互）派生子集合是指在數學(xué)辯證數值邏輯公理系統運算過(guò)程中，分數（半整數）
從系統發(fā)展變化的過(guò)程中產(chǎn)生分化出來(lái)占據整數的位置充分地十足地體現其半整性質(zhì)，因為是最大的分數單位，所以擁有半整性質(zhì)（實(shí)際上無(wú)論是在奇數系列還是在偶數系列范疇內系統均派生分數形式的子集合，為了節省版面本文沒(méi)有反復提出，敬請諒解），換言之，小數
從系統發(fā)展變化過(guò)程中產(chǎn)生分化出來(lái)，占據整數位置，充分地十足地體現其小數的半整性質(zhì)，為奇數
能被2半整除提供科學(xué)的理論依據，系統相互派生子集合，也包涵著(zhù)整數
由系統發(fā)展變化的過(guò)程中從系統的有理數中分化出來(lái)占據整數位置體現整數性質(zhì)，為偶數
能被2整除提供科學(xué)依據，因此說(shuō)在數值邏輯公理系統中相互派生子集合，公理系統蘊涵著(zhù)完整的辯證數值邏輯運算規律、系統蘊涵著(zhù)完整的數學(xué)（
算術(shù)）公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的倍數關(guān)系、或者說(shuō)2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…均是數值邏輯公理系統的
算術(shù)（數學(xué)）
公理，2是數學(xué)公理系統的首要公理，系統具有無(wú)窮個(gè)子系列、用符號n表示，
采納潛無(wú)限的方法去把握，系統的各個(gè)子系列具有無(wú)窮個(gè)自然連鎖環(huán)節、用符號a表示，
采納潛無(wú)限的方法去把握，構成永不枯竭的無(wú)限的連鎖群體和統一體，是數值邏輯對立統一規律的真實(shí)體現，是我們人類(lèi)從數學(xué)的必然王國邁向自由王國的有效途徑，是我們人類(lèi)集體智慧的一大體現與結晶，數學(xué)數值辯證邏輯公理系統是無(wú)限開(kāi)放著(zhù)的公理體系，縱、橫向上只有起點(diǎn)而無(wú)終點(diǎn)！它永遠傾聽(tīng)人類(lèi)實(shí)踐的呼聲、滿(mǎn)足人類(lèi)實(shí)踐的需求，我們人類(lèi)實(shí)踐永遠不可能達到實(shí)無(wú)限的程度；很顯然，在數學(xué)辯證數值邏輯公理系統中的各個(gè)子系列無(wú)論是在偶數還是在奇數環(huán)節上均相互派生子集合，尤其分數形式的半整數
或者說(shuō)小數形式的半整數自告奮勇勢不可擋、在發(fā)展變化的過(guò)程中紛紛產(chǎn)生分化出來(lái)?yè)撈鸢胝再|(zhì)的重任，盡管這樣的分數與其對應著(zhù)的小數極其簡(jiǎn)單、分數形式的半整數（小數形式的半整數）然而其基本原理與哲理卻深刻、深奧的難以理解與接受、甚至不可理喻，只有運用辯證邏輯進(jìn)行辯證認識、辯證分析、辯證推理，才能夠判斷推理出半整數的半整性質(zhì)，…；概括而言，偶數能被2整除，奇數不能被2整除、奇數（包括素數）卻能被2半整除，奇數與偶數（整數與半整數）相反相成對立統一，蘊涵著(zhù)哲學(xué)的對立統一規律，數值邏輯公理系統為其提供完整地科學(xué)依據，這是數學(xué)自然觀(guān)、科學(xué)觀(guān)的重大發(fā)現與認識問(wèn)題，要做出正確選擇，要突破傳統數學(xué)實(shí)無(wú)限、傳統經(jīng)典數論與集合論的束縛，顯然，
廣義內涵的
數論、
廣義內涵的
集合論、廣義內涵的
算術(shù)、
哲學(xué)（自然
辯證法）四位一體、辯證統一，自然辯證法（現代哲學(xué)）以對立統一規律為切入點(diǎn)注入初等數學(xué)、純粹數學(xué)，為數學(xué)真理指明了正確的前進(jìn)方向，至此，數學(xué)（算術(shù)）已有科學(xué)根據，需要引入數學(xué)新概念與定義：譬如分數的半整性質(zhì)、小數的半整性質(zhì)、單位小數（小數單位）、最大的單位小數是0.5等等諸多數學(xué)概念與定義，有理數屬于離散量的范疇，盡管如此，在數軸上、坐標系、在數值邏輯公理系統中得以體現，廣義內涵的整數與無(wú)理數一樣均客觀(guān)存在、擁有客觀(guān)存在性，問(wèn)題的關(guān)鍵所在就是如果理解接受了派生子集合、特殊分數與特殊小數的半整性質(zhì)，其他數學(xué)矛盾與問(wèn)題便會(huì )迎刃而解，或者說(shuō)難度會(huì )大大縮減，…；集合
，
其他依次類(lèi)推 ,公理系統蘊涵著(zhù)算術(shù)的基本法則，關(guān)于無(wú)理數需要具體問(wèn)題具體分析、具體對待、具體構造無(wú)理數數值，引進(jìn)實(shí)數、實(shí)數系千萬(wàn)莫排斥掉了潛無(wú)限數學(xué)理論，…。
（二）、數學(xué)數值辯證邏輯公理系統（以下簡(jiǎn)稱(chēng)為數值邏輯公理系統或系統）揭示出豐富深刻內涵、數學(xué)概念與問(wèn)題：
1
、傳統經(jīng)典的數論與集合論的公理系統凸顯巨大的局限性：
很顯然，依照傳統經(jīng)典的數論與集合論的理性意識，系統的各個(gè)子系列運算規律只有
即只有奇數3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，…是
算術(shù)（
數學(xué)）
公理，沒(méi)有偶數倍數的統一體，經(jīng)典的數論與集合論無(wú)法回答偶數2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，…是否也是系統的
算術(shù)（數學(xué)）
公理，傳統經(jīng)典的數論與集論公理的公理系統凸顯巨大的局限性，即系統沒(méi)有偶數倍數的
算術(shù)（
數學(xué)）
公理，
皮亞諾公理并非算術(shù)的全部，如何探索尋求數值邏輯公理系統成為算術(shù)（數學(xué)）的首要問(wèn)題，提升到哲學(xué)與數學(xué)的高度，它涉及到人們數學(xué)觀(guān)的認識問(wèn)題，需要艱難地突破傳統經(jīng)典的數論與集合論的重大束縛，
認識、發(fā)現數學(xué)真理是艱難曲折的，承認接受數學(xué)真理更加艱難曲折，因為
認識接受真理不僅存在著(zhù)難度，而且還存在著(zhù)數學(xué)的
辯證
自然觀(guān)與樸素的數學(xué)自然觀(guān)的思想矛盾與相互排斥及摩擦，…；
2
、雙
素數
：
除了能被1和自身整除外，還僅能被2和一個(gè)素數互為整除的（僅以正的為代表）偶數，把具有這樣性質(zhì)的
偶數稱(chēng)之為雙素數，雙
素數無(wú)窮無(wú)盡，例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示為兩個(gè)等值的素數之和，即
雙素數星星點(diǎn)點(diǎn)揭示著(zhù)哥德巴赫猜想擁有客觀(guān)存在性，雙素數與素數相互對應：
6，10，14，22，26，34，38，46，58，……
3， 5， 7，11，13，17，19，23，29，……（上下相互對應）
3
、偶數意義的
素數
與素數：
2既是一個(gè)素數又是一個(gè)偶數，將2稱(chēng)之為偶數意義的素數，偶數意義的素數2具有唯一性，那么就可以將奇素數3，5，7，11，13，17，19，...簡(jiǎn)稱(chēng)為素數，簡(jiǎn)化奇素數的名稱(chēng)。
4
、關(guān)于
哥德巴赫猜想
理論上如何認識？在數值邏輯公理系統中也是不可能回避的數學(xué)矛盾與問(wèn)題：
或者表達為：
第1環(huán)節：
第2環(huán)節：
第3環(huán)節：第4環(huán)節:
第5環(huán)節：
第6環(huán)節：
第7環(huán)節：第8環(huán)節：
第9環(huán)節：第10環(huán)節：
，
……，…；
2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……均為
數學(xué)（
算術(shù)）
公理，2是公理系統首要公理，…，如果將它們展開(kāi)為數值邏輯公理的另一種表達形式：
第2環(huán)節：
第3環(huán)節：
第4環(huán)節：
第5環(huán)節：
第6環(huán)節：
第7環(huán)節：
第8環(huán)節：
第9環(huán)節：
第10環(huán)節：
第11環(huán)節：
第12環(huán)節：
第13環(huán)節：
第14環(huán)節：
第15環(huán)節：
…，…在
向
的轉換過(guò)程中總是蘊涵著(zhù)
哥德巴赫猜想，運算規律不僅具有算術(shù)公理
的數學(xué)意義，也蘊涵著(zhù)經(jīng)典數論“
”的重大意義，我們無(wú)法否定它的客觀(guān)存在性，算術(shù)公理與數論的“”二者相輔相成，一脈相承，數論的“”其實(shí)它就是數值邏輯公理系統中各個(gè)子系列偶環(huán)節上的特殊算術(shù)公理，數論的“”是數值邏輯公理系統中各個(gè)子系列偶數環(huán)節上的運算規律，一定要在數值邏輯公理系統中辯證地認識、正確地看待它，數值邏輯公理系統不可能回避如此重大數學(xué)矛盾——
哥德巴赫猜想：
（
1
）、
哥德巴赫
偶數猜想：大于等于
6
的偶數
=
（一個(gè)
素數
+
另一個(gè)
素數
）
數論的“”與算術(shù)的在數值邏輯公理系統中一脈相承，在算術(shù)公理1+1=2的數值邏輯公理系統中蘊涵著(zhù)數論的“”，數論的“”是數值邏輯公理系統各個(gè)子系列偶數環(huán)節上的算術(shù)
公理、是數值邏輯公理系統中偶數環(huán)節上的運算規律：譬如：
無(wú)窮無(wú)盡，擁有客觀(guān)存在性（當然是辯證推理），既不肯定也不否定其真實(shí)性、模棱兩可、不置可否，這背離了數學(xué)（邏輯）
排中律，很顯然，傳統經(jīng)典的數論要證明的“”亦是算術(shù)公理，依然屬于算術(shù)的范疇與算術(shù)問(wèn)題，經(jīng)典的數論要證明的“”是完美地，…，弄一個(gè)足夠多的素數表意義非凡、其意義不亞于證明了“”真實(shí)性；
（
2
）、
哥德巴赫
奇數猜想：大于等于
9
的奇數
=
（一個(gè)
素數
+
一個(gè)雙
素數
）
=3
個(gè)
素數
之和：
譬如：
很顯然，哥德巴赫奇數猜想亦是辯證數值邏輯公理系統中奇數環(huán)節上的算術(shù)公理，是系統奇數環(huán)節上的運算規律但屬于特殊運算規律，擁有客觀(guān)存在性，這當然是運用邏輯辯證推理；
哥德巴赫猜想——數論的“”所證明的真實(shí)性、以及邏輯上所要摘取的是十分完美地！…。
5
、
分數
單位：
簡(jiǎn)言之，分子是1、分母是等于、大于2的正整數的分數就是分數單位，譬如
就是分數單位，最大的分數單位是，在
數軸上、
坐標系、數值邏輯公理系統中得以體現，分數單位、最大的分數單位是一個(gè)基本單位與相對整體；
6
、單位
小數（小數單位）
：
什么是單位小數目前尚未形成統一
認識，如果將分數單位
對應下的小數0.5，0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，…界定為單位小數（小數單位），那么就可以將小數0.5，0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，…統稱(chēng)為單位小數（小數單位）·，單位小數涵蓋著(zhù)小數計數單位，單位小數的意義比小數計數單位的意義更廣泛，很顯然，最大的單位小數是0.5，單位小數與最大的單位小數是0.5是數學(xué)真理最新發(fā)現之一；單位小數、最大的單位小數0.5的數學(xué)與哲學(xué)意義，就是最大的單位小數0.5為小數形式的半整數擁有半整性質(zhì)提供科學(xué)理論根據與支持，小數形式的半整數擁有半整性質(zhì)又為奇數（含素數）能被2半整除提供科學(xué)理論根據與支持，這就是單位小數、最大的單位小數0.5的數學(xué)與哲學(xué)意義！因此，引進(jìn)單位小數、最大的單位小數0.5是正確的、科學(xué)的、切合實(shí)際的、是非常必要的！單位小數、最大的單位小數是0.5擁有客觀(guān)存在性，在數軸上、坐標系中、數值邏輯公理系統中得以體現，是不可分割的相對整體。
7
、
小數
計數單位：
小數計數單位是指小數計數方法中，小數點(diǎn)右邊十分位、百分位、千分位、…上的最具代表性的小數單位，分別為：
因為最大的小數計數單位0.1小于最大的單位小數0.5與最大的分數單位，所以不能夠揭示出小數的半整性質(zhì)，導致數學(xué)真理復雜化與更加抽象化，這就是小數計數單位的局限性，因此務(wù)必引入單位小數、最大的單位小數0.5，小數計數單位屬于單位小數的范疇，很顯然，單位小數涵蓋著(zhù)小數計數單位，單位小數的意義比小數計數單位的含義更廣泛.
8
、
分數
的
內涵
：
所謂分數的內涵地地道道、千真萬(wàn)確包括著(zhù)分數的絕對值（數值）、分數單位、分數單位的個(gè)數（份數）、最大的分數單位是、半整性質(zhì)（相對整性質(zhì)）等等概念，因此分數的絕對值（數值）僅僅是分數內涵的一部分，分數的絕對值包含著(zhù)分數單位與分數單位的個(gè)數、這是至關(guān)重要的，要充分運用好分數單位、最大的分數單位、分數單位的個(gè)數（份數）等等概念進(jìn)行辯證認識、辯證分析分數的深刻內涵，深化提升對有理數的理性認識，有必要剖析分數的內涵，…。
9
、
分數的半
整性質(zhì)（相對整性質(zhì)）：
其他分數的絕對值對比分數
的
絕對值更零散，換言之，分數對比其他分數的
絕對值而言相對整裝，在數值邏輯公理系統中，把這一相比較而得到的相對整性質(zhì)統稱(chēng)為分數的半整性質(zhì)，簡(jiǎn)稱(chēng)為半整性質(zhì)（相對整性質(zhì)），為什么會(huì )擁有分數的半整性質(zhì)、因為分數
]的
絕對值的分數單位均是最大的分數單位，最大的分數單位決定著(zhù)它們的絕對值擁有分數的半整性質(zhì)，可以一次全部確定下來(lái)，因為這是規律，無(wú)需逐一驗證，其他分數不具備半整性質(zhì)——因為其他分數的分數單位
均小于最大的分數單位，所以其他分數的絕對值更零散，因此可以一次徹底排除，無(wú)需逐一驗證，這也是規律，千萬(wàn)莫產(chǎn)生誤解，并非所有的分數都具有半整性質(zhì)、更不是分數的絕對值越大才越具有半整性質(zhì)，只有分數形式的半整數
的絕對值擁有半整性質(zhì)，這是由最大的分數單位決定著(zhù)分數
的絕對值擁有半整性質(zhì)，分數的半整性質(zhì)是數學(xué)真理最新發(fā)現之一，在數值邏輯公理系統中占據整數的位置充分地十足地體現其分數的半整性質(zhì)，
分數的半整
性質(zhì)的
內涵
與
外延
僅僅適用于
分數的范疇，不能超越了此范疇，否則就是對分數的半整性質(zhì)（相對整性質(zhì)）的誤讀、誤解，…；分數的半整性質(zhì)是一部分分數的特殊性質(zhì)、特殊規律，是最抽象、最深奧、最為“彎彎繞”的算術(shù)（數學(xué)）真理；務(wù)必需要說(shuō)明，分數的半整性質(zhì)與整數（分數形式的整數）的性質(zhì)是具有差異性、它們是異中之同、差異中的共性與同一性，并非等同的共性，因此既要認識到分數的半整性質(zhì)與整數性質(zhì)的差異性、又要認識到分數的半整性質(zhì)與整數性質(zhì)的差異中的共性與同一性，分數的半整性質(zhì)（相對整性質(zhì)）是數學(xué)真理最新發(fā)現之一；…。
10
、
分數形式的
半整數
（半整性質(zhì)的分數）：
將分數以及其絕對值所擁有的半整·性質(zhì)統稱(chēng)為
分數形式的半整數（半整性質(zhì)的分數），也就是把正分數形式的半整與負分數形式的半整統稱(chēng)為分數形式的半整數（半整性質(zhì)的分數），分數形式的半整數擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，其一是分數性質(zhì)，其二是半整性質(zhì)，…。
11
、
小數
的
內涵
：
所謂小數的內涵地地道道、千真萬(wàn)確包涵著(zhù)小數的
絕對值、單位小數、單位小數的個(gè)數、最大的單位小數是0.5、半整性質(zhì)、小數計數單位、小數計數單位的個(gè)數、最大的小數計數單位是0.1等等概念，因此小數的絕對值（數值）僅僅是小數內涵的一部分，需要了解理解消化單位小數、單位小數的個(gè)數、最大的單位小數是0.5等等概念與含義，小數的絕對值不僅包含著(zhù)小數計數單位與小數計數單位的個(gè)數，最大的小數計數單位是0.1，而且小數的絕對值還包含著(zhù)單位小數與單位小數的個(gè)數、最大的單位小數是0.5，這是至關(guān)重要的，要充分運用好單位小數、單位小數的個(gè)數、最大的單位小數0.5等等概念辯證認識、辯證分析小數的深刻內涵，深化提升對有理數的理性認識，有必要深度剖析小數的深刻內涵，…。
12
、
小數形式的半整
性質(zhì)：
先舉例說(shuō)明，例如（以
十進(jìn)制小數為例）：為了便于理解接受在舉例之前先以小數計數單位為例：譬如小數0.9、0.87、0.988、0.7778888、…,小數
，即小數0.9包含9個(gè)0.1，小數
即0.87包含87個(gè)0.01，小數
即0.988包含988個(gè)0.001，小數
即0.7778888包括7778888個(gè)0.0000001，…這些小數的小數計數單位分別是0.1、0.01、0.001、0.0000001、…,最大的小數計數單位是0.1；以分數單位與單位小數舉例說(shuō)明（與小數計數單位以及小數計數單位的個(gè)數相類(lèi)似）即：
…很顯然，單位小數0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，……均小于最大的單位小數0.5，所以小數0.6…，0.75，0.6，0.8333…，0.428571…，0.625，0.7…,0.9，…的絕對值均比的
絕對值更零散，換言之，小數的絕對值均比其他小數的絕對值相對整裝，在數值邏輯公理系統中將這一相比較而言得到的相對整性質(zhì)統稱(chēng)為小數的絕對值的半整性質(zhì)，為什么它們會(huì )擁有半整性質(zhì)，因為小數的
絕對值的單位小數均是最大的單位小數0.5，最大的單位小數0.5決定著(zhù)小數的絕對值擁有半整性質(zhì)，半整性質(zhì)的小數可以一次全部確定下來(lái)，無(wú)需逐一驗證，這是
規律，其他小數不具備半整性質(zhì)、因為其他小數的單位小數0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，…均小于最大的單位小數0.5，可以一次徹底排除，無(wú)需逐一驗證，這也是
規律，本文為了便于人們理解，在前面才如此舉例如此說(shuō)明的，因此，小數的內涵不僅包括小數的絕對值還包含著(zhù)單位小數、單位小數的個(gè)數、最大的單位小數是0.5，而且單位小數與分數單位相互對應、最大的單位小數0.5與最大的分數單位互相對應（因為
所以最大的單位小數0.5并非憑空而來(lái)的，需要形成理性認識）、單位小數的個(gè)數與分數單位個(gè)數（份數）相互對應，最大的單位小數0.5以及公理系統為小數的絕對值擁有半整性質(zhì)提供理論依據與支持，因為0.5是最大的單位小數無(wú)與倫比，小數
絕對值的半整性質(zhì)又為奇數
能被2半整除提供理論依據與支持，再次說(shuō)明，并非所有的小數也不是小數的絕對值越大越體現小數的半整性質(zhì)，
小數的半整性質(zhì)的
內涵與
外延僅僅適用于
小數的范疇，否則就是對
小數的半整性質(zhì)（相對整性質(zhì)）的誤讀、誤解，…。
13
、
小數形式的
半整數
（半整性質(zhì)的小數）：
將小數
以及其
絕對值所擁有的半整性質(zhì)統稱(chēng)為
小數形式的半整數（半整性質(zhì)的小數），也就是將正小數形式的半整與負小數形式的半整數統稱(chēng)為小數形式的半整數（半整性質(zhì)的小數），
小數形式的半整數其絕對值具有相互矛盾的雙重性質(zhì)，一是半整性質(zhì)，二是普通小數性質(zhì)，…。
14
、
廣義
整數：
將整數與分數形式的半整數統稱(chēng)為廣義整數，即本文將
統稱(chēng)為·廣義整數；亦可以將整數和小數形式的半整數統稱(chēng)為廣義整數，換言之，即本文將
統稱(chēng)為廣義整數；廣義整數蘊涵著(zhù)整數與正、負分數形式的半整數，正、負小數形式的半整數的意義；廣義整數、廣義數學(xué)真理為
量子力學(xué)奠定堅實(shí)基礎、揭示著(zhù)大宇宙中
微觀(guān)世界的
原子、
中子、
質(zhì)子、核外
電子，
費米子、
玻色子等等粒子的某些運動(dòng)（
自旋）規律，...；在
量子力學(xué)中將分數或者說(shuō)小數
統稱(chēng)為
半整數或者叫作
量子數，實(shí)際上它們就是離散量的有理數，因此說(shuō)：半整數與分數形式的相對整數或小數形式的相對整數
內涵
與
外延是完全
等價(jià)的，沒(méi)有什么差異，就如同質(zhì)數就是素數、素數就是質(zhì)數其內涵完全等價(jià)相類(lèi)同，因此半整數就是分數形式的半整數或小數形式的半整數，分數形式的半整數或小數形式的半整數就是量子力學(xué)中的半整數，…，
費米子
的
自旋
規律分別遵循
，
，
，
，
，
，
…
、
玻色子
的
自旋
規律分別遵循
0
，
±1
，
±2
，
±3
，
±4
，
±5
，
…
，因此
量子力學(xué)證明
將
統稱(chēng)為廣義整數是切合實(shí)際的、是完全正確的。
15
、
1+1=2
所蘊含著(zhù)的基本原理與對立統一規律：
偶數能被2在抽象意義下自然整除，
奇數不能被2在抽象意義下自然整除、
奇數（包括素數）卻能被2在抽象意義下半整除，因為小數形式的半整數（半整數）擁有半整性質(zhì)，為
奇數（包括素數）能被2半整除提供科學(xué)的理論依據，或者說(shuō)2是數學(xué)首要公理，哥德巴赫猜想——數論的“”是數值邏輯公理系統中偶環(huán)節上的算術(shù)公理?yè)碛锌陀^(guān)存在性，既不肯定也不否定模棱兩可，不置可否，這不符合排中律；其
哲學(xué)意義（哲理）：偶數能被2在抽象意義下自然整除，奇數不能被2在抽象意義下自然整除、奇數（含素數）卻著(zhù)實(shí)能被2在抽象意義下半整除，傳統意義的偶數能被2整除、奇數不能被2整除是指奇數與偶數二者的排斥性、對立性、差異性，偶數能被2整除、奇數不能被2整除、
奇數卻能被2在抽象意義下半整除是指
奇數和
偶數的異中之同、差異中的共性與同一性，恰好與哲學(xué)的對立統一規律相吻合，因此說(shuō)，奇數與偶數（整數與分數形式的半整數或整數與小數形式的半整數、整數與半整數）相反相成
對立統一， 蘊涵著(zhù)極其深刻的數值邏輯對立統一規律，換言之奇數與偶數（整數與半整數）蘊涵著(zhù)哲學(xué)的
對立統一規律，以上所談就是算術(shù)公理蘊涵著(zhù)的基本原理與哲理，
哲學(xué)（自然
辯證法）以對立統一規律為切入點(diǎn)注入純粹數學(xué)、注入初等數學(xué)，為算術(shù)（數學(xué)）公理與數論的“”指明了正確的前進(jìn)方向！為什么，并非質(zhì)疑算術(shù)（數學(xué)）公理的正確性，而是科學(xué)地回答算術(shù)（數學(xué)）公理蘊涵著(zhù)的基本
原理與哲理；
應用數學(xué)順應了的客觀(guān)規律，并得到人類(lèi)無(wú)數次實(shí)踐的檢驗與證明，早已被實(shí)踐證明了是正確的自然科學(xué)真理，純粹數學(xué)（數學(xué)基礎）的理論依然處于探索之中，這就是純粹數學(xué)（數學(xué)基礎）的基本現狀，…；常言道，最簡(jiǎn)單的、最質(zhì)樸恰恰是最深奧的，數學(xué)被應驗了，為什么，一個(gè)最簡(jiǎn)單的數值邏輯，蘊涵著(zhù)最深刻的真理對立統一規律、廣義整數、廣義數學(xué)真理。
數學(xué)中的整數擁有科學(xué)抽象的廣義單位“1”，分數形式的半整數（半整數）擁有廣義的科學(xué)抽象最大的分數單位
、小數形式的半整數（半整數）擁有廣義的科學(xué)抽象最大的單位小數“0.5”，這就是數學(xué)（算術(shù)）的最為抽象的數學(xué)意義，依照邏輯、概念、定義分數就是分數、擁有分數性質(zhì)、小數就是小數、擁有小數性質(zhì)，然而卻偏偏冒出一個(gè)半整數的半整性質(zhì)（相對整性質(zhì)）來(lái)，考驗人類(lèi)科學(xué)的智慧與勇氣！…。
16
、
狹義·
數學(xué)
真理
：
偶數能被2整除、奇數不能被2整除、實(shí)無(wú)限、實(shí)數系、數理邏輯高等數學(xué)、經(jīng)典的數論與集合論等等統稱(chēng)為狹義數學(xué)真理，狹義數學(xué)真理很有必要突破傳統經(jīng)典數論、集合論的束縛！發(fā)展成為廣義整數、廣義數學(xué)真理，...。
17
、
廣義·
數學(xué)
真理
：
偶數能被2整除，奇數不能被2整除、奇數（包括素數）卻能被2半整除、奇數與偶數（整數與半整數）相反相成、對立統一，蘊涵著(zhù)對立統一規律，為什么
潛無(wú)限理性認識、實(shí)無(wú)限理性認識、廣義整數、數值辯證邏輯、數理邏輯等等內涵的數學(xué)真理統稱(chēng)為廣義數學(xué)真理，廣義整數是數學(xué)真理最新發(fā)現之一。
18
、潛無(wú)限：
…。
19
、實(shí)無(wú)限：
…。
20
、
有理數
：
將廣義整數與分數統稱(chēng)為有理數，廣義整數包含著(zhù)整數（分數形式的整數）、分數形式的半整數，分數包含著(zhù)分數形式的半整數、普通分數；也可以將廣義整數與小數形式的半整數統稱(chēng)為有理數，廣義整數包含著(zhù)整數與小數形式的半整數，小數包含著(zhù)小數形式的半整數、無(wú)限循環(huán)小數、有限循環(huán)小數、有限不循環(huán)小數（潛無(wú)限·不循環(huán)小數）、普通小數，因為半整數擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)。
21
、
有理數系
：
事實(shí)證明，完全有必要把有理數（域）提升到有理數系統高度去把握，將有理數數值邏輯公理系統和深刻內涵統稱(chēng)為初等數學(xué)有理數系統、簡(jiǎn)稱(chēng)為有理數系（統），有理數系是無(wú)限開(kāi)放著(zhù)的數值·邏輯·公理體系、永遠不會(huì )終極、永遠不會(huì )枯竭的數值·邏輯·公理體系，縱橫向上只有起點(diǎn)而無(wú)終點(diǎn)，正如人文無(wú)限和哲學(xué)無(wú)限的內涵——無(wú)窮無(wú)盡，一脈相承；有理數系并無(wú)什么缺憾，因為有理數系蘊涵著(zhù)潛無(wú)限·不循環(huán)小數，盡管潛無(wú)限·不循環(huán)小數還不是真正的無(wú)理數，它卻是無(wú)理數的化身、擁有無(wú)理數的要素和成分，潛無(wú)限·不循環(huán)小數具有無(wú)理數的應用價(jià)值，實(shí)際上是有理數與潛無(wú)限·不循環(huán)小數為初等數學(xué)與應用數學(xué)奠定著(zhù)堅實(shí)的基礎，數學(xué)也要實(shí)事求是，當然有理數（域）系不能替代實(shí)數系，…。
22
、
實(shí)數
：
把
有理數和
無(wú)理數統稱(chēng)為
實(shí)數，…。
23
、
實(shí)數
系：
參見(jiàn)數學(xué)詞典，……。
24
、
廣義
整數、
廣義
數學(xué)真理客觀(guān)的科學(xué)證據：
廣義整數、廣義數學(xué)真理究竟是正確的還是錯誤的？是數學(xué)真理還是數學(xué)謬論？如果屬于數學(xué)真理會(huì )有什么應用價(jià)值？它困擾、困惑著(zhù)許多的人們，廣義整數有何意義？以往的確無(wú)法正確回答如此數學(xué)問(wèn)題，… ；不久前，一次偶然的機遇我看到了
量子力學(xué)，
等等，
我發(fā)現了科學(xué)證據，數學(xué)潛無(wú)限、離散量、廣義整數原來(lái)是
量子力學(xué)的基礎，原來(lái)廣義整數揭示著(zhù)宇宙中
微觀(guān)世界的
原子、
中子、
質(zhì)子、核外
電子等等粒子、
費米子、
玻色子的
自旋規律，整數與分數形式的半整數（小數形式的半整數）的數值邏輯對立統一規律揭示著(zhù)，無(wú)論是宏觀(guān)世界還是微觀(guān)世界都蘊含著(zhù)對立統一規律，對立統一規律是
宇宙的普遍規律，費米子與玻色子的自旋運動(dòng)規律亦蘊涵著(zhù)對立統一規律，譬如
費米子
的
自旋
規律分別遵循
玻色子
的
自旋
規律分別遵循
0
，
±1
，
±2
，
±3
，
±4
，
±5
，
…
，因此廣義整數、廣義數學(xué)真理為量子力學(xué)奠定堅實(shí)基礎，
量子力學(xué)
的
半整數
又為
廣義
整數、
廣義
數學(xué)真理提供客觀(guān)上的科學(xué)證據與客觀(guān)支持，
…，潛無(wú)限、廣義整數、廣義數學(xué)真理的確派上了用場(chǎng)，盡管我們的前人在量子力學(xué)中對形如
（
）
的數稱(chēng)之為
半整數，即量子力學(xué)中管
，
，
，
，
，
，
…
叫
半整數，量子力學(xué)的
半整數的確亦尚未對半整數形成完整的理性認識，
半整數從直覺(jué)上已意識到了是介于整數與普通分數的中間數或者說(shuō)是介于整數與普通小數的中間數，潛意識中已帶有“半整或相對整”的性質(zhì)了、但又不同于整數的性質(zhì)，廣義·整數、廣義·數學(xué)真理?yè)碛卸喾轿粚?shí)際的應用價(jià)值，毋容置疑半整數擁有半整性質(zhì)，半整數與半整分數、半整小數相吻合、巧合，不僅如出一轍，
半整數擁有半整性質(zhì)，半整性質(zhì)與相對整性質(zhì)（數學(xué)的相對整性質(zhì)性質(zhì)與量子力學(xué)的半整性質(zhì)）一脈相承，半整數與分數形式的半整數、小數形式的半整數其內涵與外延、數值完全
等價(jià)，半整數與整數相反相成對立統一，蘊含著(zhù)的對立統一規律，因此，
費米子
的
自旋與
玻色子
的
自旋蘊含著(zhù)對立統一規律，…。
人們生活中的用語(yǔ)：半小時(shí)、半點(diǎn)新聞、半天、半月、半年、東半球、西半球、半個(gè)世紀等等、即半整數如此都是直覺(jué)認識，如果對半整數或0.5提升理性認識，半整數或0.5擁有半整性質(zhì)或擁有相對整·性質(zhì)，便會(huì )形成理性認識；廣義·數學(xué)真理為量子力學(xué)奠定堅實(shí)基礎，量子力學(xué)的半整數又為廣義整數、廣義數學(xué)真理提供客觀(guān)上的科學(xué)理論證據與支持，為什么1+1=2并非空談數學(xué)理論，而是擁有實(shí)實(shí)在在的應用價(jià)值，…。
25
、推論：實(shí)無(wú)限、實(shí)數系辯證數值邏輯公理系統依然是連鎖形式的（辯證推理）：
潛無(wú)限向縱深發(fā)展的過(guò)程中有限不循環(huán)小數、尤其是潛無(wú)限·不循環(huán)小數將會(huì )接近或者達到無(wú)理數數值實(shí)無(wú)限的程度（這當然是推論），實(shí)無(wú)限、實(shí)數系辯證數值邏輯公理系統的內容與形式依然是自然連鎖形式的，依然相互派生子集合，半整數
依然從系統發(fā)展變化的過(guò)程中分化出來(lái)，充分地體現其半整性質(zhì)，或者說(shuō)、半整數依然會(huì )從系統發(fā)展變化的過(guò)程中產(chǎn)生分化出來(lái)，充分地十足地體現其半整性質(zhì)，為奇數（包括素數）能被2半整除提供客觀(guān)的科學(xué)理論依據，蘊涵著(zhù)完整的數學(xué)（算術(shù)）運算公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的倍數關(guān)系，實(shí)無(wú)限、實(shí)數系辯證數值邏輯公理系統如下，
的基數均為實(shí)數、其他依次類(lèi)推，符號↓依然是指相互派生子集合（推論僅以正的為代表）：
三、結語(yǔ)：
費米子
的
自旋
規律分別遵循
，
，
，
，
，
，
…
、
玻色子
的
自旋
規律分別遵循
0
，
±1
，
±2
，
±3
，
±4
，
±5
，
…
，因此事實(shí)證明引進(jìn)廣義內涵的整數
純粹數學(xué)（
數學(xué)基礎
）基本理論的深刻變革必將揭開(kāi)廣義內涵數學(xué)真理的新篇章，
…。
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