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超越數（1844年劉維爾提出的數學(xué)概念）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-22

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超越數

本詞條是多義詞，共3個(gè)義項

1844年劉維爾提出的數學(xué)概念

超越數，數學(xué)概念，指不是代數數的數。超越數的存在是由法國數學(xué)家劉維爾（Joseph Liouville，1809~1882）在1844年最早證明的。關(guān)于超越數的存在，劉維爾寫(xiě)出了下面這樣一個(gè)無(wú)限小數：a=0.110001000000000000000001000…（a＝1/10^(1!)＋1/10^(2!)＋1/10^(3!)＋…），并且證明取這個(gè)a不可能滿(mǎn)足任何整系數多項式方程，由此證明了它不是一個(gè)代數數，而是一個(gè)超越數。后來(lái)人們?yōu)榱思o念他首次證明了超越數，所以把數a稱(chēng)為劉維爾數。

基本信息

中文名	超越數
外文名	transcendental number
應用學(xué)科	數學(xué)
提出時(shí)間	1844年
重要人物	劉維爾、厄米特、林德曼
定義	不是代數數的數

收起

概念

超越數是指不滿(mǎn)足任何整系數(有理系數)多項式方程的實(shí)數，即不是代數數的數。因為歐拉說(shuō)過(guò)：“它們超越代數方法所及的范圍之外。”(1748年)而得名。

幾乎所有的實(shí)數都是超越數。

1844年，劉維爾(J.liouville，法，1809—1882)首先證明了超越數的存在性。厄米特與林德曼先后證明了e與π為超越數。

難題

超越數是不能滿(mǎn)足任何整系數代數方程的實(shí)數，定義恰與代數數相反。兩個(gè)著(zhù)名的例子：圓周率π=3.1415926535…、自然對數的底e=2.718281828…。可以證明超越數有無(wú)窮個(gè)。在實(shí)數中除了代數數外，其余的都是超越數，但是超越數不一定是實(shí)數，比如著(zhù)名的歐拉公式

中的

即是一個(gè)虛超越數。實(shí)數可以作如下分類(lèi)：實(shí)數分為實(shí)代數數、實(shí)超越數。所有超越數構成的集是一個(gè)不可數集。這暗示超越數為無(wú)窮數集。可是，現今發(fā)現的超越數極少，因為要證明一個(gè)數是超越數是十分困難的。

證明

劉維爾數證明后，許多數學(xué)家都致力于對超越數的研究。1873年，法國數學(xué)家埃爾米特（Charles Hermite，1822—1901）又證明了自然對數底e的超越性，從而使人們對超越數的認識更為清楚。1882年，德國數學(xué)家林德曼證明了圓周率也是一個(gè)超越數（完全否定了“化圓為方”作圖的可能性）。

在研究超越數的過(guò)程中，大衛·希爾伯特曾提出猜想：a是不等于0和1的代數數,b是無(wú)理代數數，則a^b是超越數（希爾伯特問(wèn)題中的第七題）。

這個(gè)猜想已被證明，于是可以斷定e、π是超越數。

常見(jiàn)形式

實(shí)數中除代數數以外的數，亦即不滿(mǎn)足任一個(gè)整系數代數方程

（n為正整數，≠0）的數。理論上證明超越數的存在并不難，而且可知超越數是大量的。但要構造一個(gè)超越數或論證某個(gè)數是超越數就極為困難。現今只有少量的數如（π，e），等的超越性得到了證明，對其他一些有興趣的數的超越性的研究是數學(xué)家十分關(guān)注的事。

數例

π，在我國叫又環(huán)率、圓率、圓周率等。

最先得出π≈3.14的是希臘的阿基米德（約公元前240年），最先給出π小數后面四位準確值的是希臘人托勒密（約公元前150年），最早算出π小數后七位準確值的是我國的祖沖之（約480年），1610年荷蘭籍德數學(xué)家魯道夫應用內接和外切正多邊形計算π值，通過(guò)2邊形計算π到35位小數，花費了畢生精力，1630年格林貝格利用斯涅耳的改進(jìn)方法計算π值到39位小數，這是利用古典方法計算π值的最重要嘗試。

以上都是古典方法計算π值。

達什首先計算出π的準確的200位數字。

值得提出的是，達什1824年生于漢堡，只活了短短的37年，便離開(kāi)了人世，他是一個(gè)閃電般的計算者，是一位最了不起的人工計算者，他曾在54秒鐘內便完成了兩個(gè)8位數的乘法，在6分鐘內完成了兩個(gè)20位數的乘法，在40分鐘內完成了兩個(gè)40位數的乘法；他曾在52分鐘內算出一個(gè)100位數的平方根。達什的這種非凡的計算才能在他制作7位對數表和從7000000到10000000之間的數的因子表便得到了最有價(jià)值的充分的運用。

1706年，英國的威廉·姆士首先使用π這個(gè)符號，用來(lái)表示圓周和直徑的比值，但只是在歐拉于1737年采用了這方法以后，π才在這種情況下得到了普遍的應用。

1873年，英國人威廉·桑克斯利用麥新的公式計算π到70位。

1961年，美國的雷思奇和D·桑克斯用電子計算機得出π值的100000位數字。

在中學(xué)數學(xué)書(shū)中這樣提出：以e為底的對數叫做自然對數。那么e到底有什么實(shí)際意義呢？

1844年，法國數學(xué)家劉維爾最先推測e是超越數，一直到了1873年才由法國數學(xué)家埃爾米特證明e是超越數。

1727年，歐拉最先用e作為數學(xué)符號使用，后來(lái)經(jīng)過(guò)一個(gè)時(shí)期人們又確定用e作為自然對數的底來(lái)紀念他。有趣的是，e正好是歐拉名字第一個(gè)小寫(xiě)字母，是有意的還是偶然巧合？現已無(wú)法考證！

e在自然科學(xué)中的應用并不亞于π值。像原子物理和地質(zhì)學(xué)中考察放射性物質(zhì)的衰變規律或考察地球年齡時(shí)便要用到e。

在用齊奧爾科夫斯基公式計算火箭速度時(shí)也會(huì )用到e，在計算儲蓄最優(yōu)利息及生物繁殖問(wèn)題時(shí)，也要用到e。

同π一樣，e也會(huì )在意想不到的地方出現，例如：“將一個(gè)數分成若干等份，要使各等份乘積最大，怎么分？”要解決這個(gè)問(wèn)題便要同e打交道。答案是：使等分的各份盡可能接近e值。如，把10分成10÷e≈3.7份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份為10÷4=2.5，這時(shí)2.5^4=39.0625乘積最大，如分成3或5份，乘積都小于39。e就是這樣神奇的出現了。

1792年，15歲的高斯發(fā)現了素數定理：“從1到任何自然數N之間所含素數的百分比，近似等于N的自然對數的倒數；N越大，這個(gè)規律越準確。”這個(gè)定理到1896年才由法國數學(xué)家阿達瑪和幾乎是同一時(shí)期的比利時(shí)數學(xué)家布散所證明。以e為底還有很多優(yōu)越性。如以e為底編制對數表最好；微積分公式也具有最簡(jiǎn)的形式。這是因為只有e^x導數就是其自身，即d/dx(e^x)=e^x。

意義

超越數的證明，給數學(xué)帶來(lái)了極大的變革，它證明了幾千年來(lái)數學(xué)上的難題——尺規作圖三大問(wèn)題，即倍立方問(wèn)題、三等分任意角問(wèn)題和化圓為方問(wèn)題都是尺規不能問(wèn)題（無(wú)法用尺規證明的問(wèn)題）。

各種形式

π和e的無(wú)窮級數形式

有趣的是，π和e可以用無(wú)窮級數表示：

π=4(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……)=4∑((-1)?/(1+2n))，n∈N

e=1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+…….=∑1/(n!),n∈N

π的反正切函數形式

除了無(wú)窮級數形式，π還可以用反正切函數表示：

π=16arctan1/5-4arctan1/239

π=24arctan1/8+8arctan1/57+4arctan1/239

參考資料

[1]

代數數與超越數淺談 · 維普[引用日期2021-07-26]

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