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堆疊素數論
華羅庚所著(zhù)的數論著(zhù)作
《堆壘素數論》是1940年（民國二十九年），國立西南聯(lián)合大學(xué)的教授華羅庚在一個(gè)吊腳樓上，用八個(gè)月完成了第一部數學(xué)專(zhuān)著(zhù)。本書(shū)成書(shū)于1940-1941年（一說(shuō)1939-1941年）間，最初投交蘇聯(lián)科學(xué)院發(fā)表。但由于1941-1945的戰爭條件，延至1947年在蘇聯(lián)以俄文出版，后來(lái)于1953由中國科學(xué)院出版中文版。1957年中文版經(jīng)修訂后再版。
《堆壘素數論》
華羅庚當年發(fā)現陳景潤，就是因為陳景潤在華羅庚寫(xiě)的《堆疊素數論》中發(fā)現了一個(gè)錯誤，并且寫(xiě)信告訴了他。而那時(shí)候，陳景潤就是一個(gè)默默無(wú)聞的小人物。按這里的說(shuō)法，正是一個(gè)“民間科研者”。
數論與或然數學(xué)的發(fā)展
7.1數論
7.1.1素數分布
費馬數Fn = +1, n = 0,1,2,…
梅森數Mp = 2p-1,其中p為素數
檢驗梅森數是否為素數的方法稱(chēng)為盧卡斯―萊默檢驗，例如, 用盧卡斯―萊默檢驗判斷M5是否為素數，因M5=25-1=31,于是可作下述計算:
U(0)=4,
U(1)=(42-2)(mod 1)=14(mod31)=14,
U(2)=(142-2)(mod31)=194(mod31)=8,
U(3)=(82-2)(mod31)=62(mod31)=0
由于U(3)= 0,M5必為素數.
利用因數表研究素數
拉恩于(1659年)發(fā)表了2.4萬(wàn)以?xún)鹊囊驍当?
佩爾(1668年)擴大至10萬(wàn);
19世紀不少學(xué)者算出了1000萬(wàn)以?xún)鹊乃袛档囊驍当恚渲胁祭翊髮W(xué)的庫利克為此花費了20年的業(yè)余時(shí)間
素數定理
若用π(n)表示不超過(guò)n的素數的
哥德巴赫猜想(1742年)
每個(gè)偶數都是兩個(gè)素數之和；每個(gè)奇數都是三個(gè)素數之和
哥德巴赫猜想的研究進(jìn)展
維諾格拉多夫(1937年),無(wú)條件地證明了奇數哥德巴赫猜想，即每個(gè)充分大的奇數都是三個(gè)奇素數之和
布朗(挪威1919年)證明了：每個(gè)大偶數都是兩個(gè)素因子個(gè)數均不超過(guò)9的整數之和(記為9 + 9,記號k + l表示大偶數分解為不超過(guò)k個(gè)奇素數的積與不超過(guò)l個(gè)奇素數的積之和，下同)
布赫夕塔布的4 + 4(1940),瑞尼的l+c (c為一不確定大數)(1948)和庫恩的a+b (a+b≤6)(1954);
王元的2+3(1957)和潘承洞的1+5(1962),到1965年，歐洲數學(xué)家邦別里等三人差不多同時(shí)證明了1 + 3;1966年，中國數學(xué)家陳景潤宣布證明了1+2(1973年發(fā)表詳細證明)
陳景潤(1933~1996)簡(jiǎn)介
圖7.1華羅庚(右)與陳景潤(左)
7.1.3費馬最后定理
費馬猜想:對每個(gè)正整數n≥3,方程xn + yn = zn均沒(méi)有正整數解(x, y, z).
費馬本人利用無(wú)限下降法證明了n=4時(shí)，費馬猜想成立.
1825年年僅20歲的德國數學(xué)家狄利克雷和年過(guò)七旬的法國數學(xué)家勒讓德各自獨立地證明了n = 5的情形,1839年法國數學(xué)家拉梅證明了n = 7的情形.
歐拉的整數分解的"定理":
由a + b 形式的數所形成的數系(記為 ,a,b為任意整數)中，有唯一因子分解定理成立，即每一個(gè)整數都可唯一地分解為這個(gè)數系中數的乘積.
后來(lái)才知道，對形如 的數系，唯一因子分解定理并不總是成立的，例如在數系 中,6 = 3×2 =(1+ )(1- ),就有兩種分解方式。事實(shí)上，能保證唯一因子分解定理成立的數系 只有9種
志村-韋伊―谷山猜想――費馬猜想的等價(jià)命題
7.1.4 讓我們教猜想吧
費馬猜想是只"會(huì )下金蛋的鵝"
1966年菲爾茲獎獲得者，英國數學(xué)家阿蒂亞(1929~)認為:"與其它自然科學(xué)的情況一樣，數學(xué)中的一些發(fā)現也要經(jīng)過(guò)幾個(gè)階段才能實(shí)現，而形式證明只是最后一步。最初階段在于鑒別出一些重要的事實(shí)，將它們排列成具體含義的模式，并由此提煉出看起來(lái)很有道理的定律或公式。接著(zhù)，人們用新的經(jīng)驗事實(shí)來(lái)檢驗這種公式。只是到了此時(shí)，數學(xué)家們才開(kāi)始考慮證明問(wèn)題."
958年菲爾茲獎獲得者，突變理論的創(chuàng )立者，法國數學(xué)家托姆用半開(kāi)玩笑的態(tài)度說(shuō):"嚴格性是一個(gè)拉丁名詞。我們會(huì )想起僵死(rigormorits),即僵化的尸體。我要把數學(xué)分為以下的三類(lèi)：第一，以嬰兒搖籃為標記。這是'活的數學(xué)'允許改變，澄清，完成證明，反對，反駁。第二，以十字架為標記。這是墳墓上的十字架。作者聲明它已完全嚴格，具有不朽的正確性。這類(lèi)工作將構成'墳墓數學(xué)'.第三，以教堂為標記。這是外部的權威，由高級教士組成，判斷哪些工作已成為'墳墓數學(xué)'."
波利亞認為，在數學(xué)教育中,"證明與猜想，這兩類(lèi)推理即論證的與合情的"都必須教給學(xué)生,"在有些情況下教猜想比教證明更為重要."因此，波利亞強烈的呼吁:"讓我們教猜想吧!"
7.2 概率論
7.2.1 點(diǎn)的問(wèn)題及數學(xué)期望
概率論源于15世紀下半葉的博奕問(wèn)題的研究.
點(diǎn)的問(wèn)題(1654年)
在兩個(gè)技巧相當的賭徒A和B之間進(jìn)行賭博,A獲得2點(diǎn)或2點(diǎn)以上時(shí)為獲勝者,B則需獲得3點(diǎn)或3點(diǎn)以上時(shí)為獲勝者。如果通過(guò)四次投骰子后就停止賭博，問(wèn)此時(shí)如何分配賭金.
帕斯卡的解法
帕斯卡利用自己對楊輝三角(見(jiàn)第二章)的研究這樣解決這個(gè)問(wèn)題：如果用 表示0出現四次的情況數, 表示0出現三次的情況數等等。于是上述點(diǎn)問(wèn)題的解是:
( + + ):( + )=(1+4+6):(4+1)=11:5.
在一般情況下，若A需要至少m點(diǎn)取勝,B需要至少n點(diǎn)取勝，則可選擇揚輝三角的第m+n行，求出該行中的前n個(gè)元素和α與后m個(gè)元素和β,并按α:β之比來(lái)分配賭金.
費馬的解法
分別用0,1代表A,B在一次投骰子時(shí)成為獲勝者，然后計算0,1兩種字母在每次取4個(gè)的16種排列:
0000 0001 0110 1101
1000 1100 0101 1011
0100 1010 0011 0111
0010 1001 1110 1111
在這16種排列中,0至少出現2次的情況有11種，而1至少出現3次的情況有5種。由此費馬認為，賭金應按11:5來(lái)分配.
數學(xué)期望"概念的的產(chǎn)生(荷蘭數學(xué)家，物
賭局開(kāi)始之前，對每一個(gè)賭徒來(lái)說(shuō)就已有了關(guān)于結局的一種"期望",如果共有N種等可能的結果，其中,n種結果使他獲得賭金為a,其余結果使他獲賭金為b,則他的期望為
7.2.2 概率理論的發(fā)展
隨機現象
隨機現象從個(gè)體上看，似乎并沒(méi)有什么規律可言，但當它們大量出現的時(shí)候，在總體上就會(huì )呈現出某種規律，即大數規律.
伯努利大數定理(1713年):
若p是出現單獨一次事件的概率,q是不出現該事件的概率，則在n次試驗中該事件至少出現m次的概率，等于二項式(p+q)n的展開(kāi)式中從pn項到包括pmqn-m為止的各項之和
棣莫弗―拉普拉斯定理。又稱(chēng)為"中心極限定
理"
拉普拉斯(1812)明確表述了概率論的基本定
義和定理。給出了概率的古典定義，廣泛應用了分析工具處理概率的問(wèn)題，將以往零散的研究成果系統化，并將概率論的研究方法從組合技巧發(fā)展到分析方法，使概率論研究進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展階段.
19世紀下半葉，俄國數學(xué)家切比雪夫
(1821~1894)與他的學(xué)生馬爾可夫(1856~1922)利用極限理論研究概率論，取得了突出的成就。建立了關(guān)于獨立隨機變量序列的大數定律，使貝努利和泊松的大數定律成為其特例。切比雪夫還將棣莫弗―拉普拉斯極限定理推廣為更一般的中心極限定理."馬爾可夫鏈"則是概率論中的重要理論
概率論在整個(gè)18與19世紀成了熱門(mén)學(xué)科,
7.2.3 概率論的公理化
貝特朗(法國,1899年)提出的概率論悖論，將矛頭直指概率論基本概念
20 世紀初，由勒貝格創(chuàng )立的測度論和積分論為概率的研究提供了新的手段
柯?tīng)柲曷宸?前蘇聯(lián),1933年)建立概率論的公理化體系
7.3 數理統計
數理統計是通過(guò)樣本數據的分析預測整體狀態(tài)的數學(xué)理論與方法。該分支研究的數據帶有隨機性，因此，它與概率研究有著(zhù)密切的聯(lián)系
是使用數學(xué)方法系統研究生物統計的第一人。他潛心研究數據的分布理論，并先后提出標準差，正態(tài)曲線(xiàn)，概率，相關(guān)等一系列數理統計學(xué)名詞和概念。致力于大樣本的研究，在第一次世界大戰期間，皮爾遜還用統計方法處理過(guò)大量的與戰爭有關(guān)的特殊計算.
美國數學(xué)家弗歇(1890~1962)
他是另一個(gè)數理統計的奠基人。他從事數理統計在農業(yè)科學(xué)和遺傳學(xué)中應用的研究。開(kāi)創(chuàng )了試驗設計，方差分析，并確立了統計推斷的基本方法.20世紀30―50年代，弗歇成為數理統計學(xué)研究的中心人物并建立了自己的學(xué)派。他所研究的成果，實(shí)用價(jià)值卻很大。在他的手里，數理統計學(xué)脫離生物計量學(xué)的范圍獲得獨立。他所提出的z分布由他的學(xué)生改進(jìn)后被稱(chēng)為F分布(用他的名字Fisher的第一個(gè)字母命名),現在廣泛使用的方差分析，實(shí)驗設計，參數估計
1946年瑞典數學(xué)家克拉梅爾出版了《統計數學(xué)方法》,這部書(shū)收集了半個(gè)多世紀以來(lái)的數理統計研究成果，它標志著(zhù)數理統計作為一門(mén)獨立的數學(xué)分支正式確立.
第二次世界大戰中，由于軍事的需要，數學(xué)家沃爾德(1902~1950)創(chuàng )立了"序貫分析法",許多數理分支，如參數估計，都受到這種理論的影響而得到發(fā)展.
1940年代之后，數理統計的學(xué)派開(kāi)始多元化，美國逐漸成為又一個(gè)數理統計學(xué)的研究中心.
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大理白族自治州，中華人民共和國云南省下轄自治州，地處云南省中部偏西，東鄰楚雄州，南靠普洱市、臨滄市，西與保山市、怒江州相連，北接麗江市，東經(jīng)98°52′～101°03′，北緯24°41′～26°42′之間。截至2022年8月29日，大理州轄1市、8縣、3自治縣。州府駐地大理市下關(guān)，距昆明市331千米
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新開(kāi)羅”將是一個(gè)人為創(chuàng )造出來(lái)的首都，可能與現在的埃及格格不入，卻符合政治精英們對埃及未來(lái)的幻想。計劃中的“新開(kāi)羅”將是一個(gè)美麗的地方，一個(gè)“創(chuàng )新中心”，具有可持續發(fā)展的環(huán)境，城市居民享有高質(zhì)量的生活，人們在這里可以自由呼吸，而不會(huì )因沙塵暴咳嗽不已。與之相比，“老開(kāi)羅”是一個(gè)丑陋的城市。從機場(chǎng)到市區，一路上的建筑物都被污染物弄得臟兮兮的。耳朵里充斥著(zhù)刺耳的汽車(chē)笛聲，一到冬天，尼羅河上就籠罩著(zhù)一層濃霧。街道上總是塞滿(mǎn)了汽車(chē)，它們就像是這座城市的動(dòng)脈血栓一樣。當然，尼羅河畔會(huì )有些時(shí)尚女士穿著(zhù)高跟鞋踱步，讓這個(gè)城
尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒(méi)寫(xiě)！
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