梅森素?cái)?shù)（以馬林·梅森命名的專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)）
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梅森素?cái)?shù)
以馬林·梅森命名的專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)
梅森素?cái)?shù)是專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)，拼音為méi sēn sù shù，是由梅森數(shù)而來(lái)。
基本信息
| 中文名 | 梅森素?cái)?shù) |
| 外文名 | Mersenne prime |
| 別名 | 2p－1型素?cái)?shù) |
| 出處 | 以馬林·梅森的名字命名 |
| 問(wèn)題和猜想 | 梅森素?cái)?shù)是否無(wú)窮、如何分布 |
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基本概況
素?cái)?shù)是指在大于1的整數(shù)中只能被1和其自身整除的數(shù)。素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，但到2018年底卻只發(fā)現(xiàn)有51個(gè)素?cái)?shù)能表示成2 －1（p為素?cái)?shù)）的形式，這就是梅森素?cái)?shù)（如3、7、31、127等等）。它是以17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家馬林·梅森的名字命名。
梅森素?cái)?shù)是數(shù)論研究中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，自古希臘時(shí)代起人們就開(kāi)始了對(duì)梅森素?cái)?shù)的探索。由于這種素?cái)?shù)具有著獨(dú)特的性質(zhì)（比方說(shuō)和完全數(shù)密切相關(guān)）和無(wú)窮的魅力，千百年來(lái)一直吸引著眾多數(shù)學(xué)家（包括歐幾里得、費(fèi)馬、歐拉等）和無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)它進(jìn)行探究。
在現(xiàn)代，梅森素?cái)?shù)在計(jì)算機(jī)科學(xué)、密碼學(xué)等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用價(jià)值。它還是人類(lèi)好奇心、求知欲和榮譽(yù)感的最好見(jiàn)證。
由來(lái)
梅森素?cái)?shù)
1640年6月，費(fèi)馬在給馬林·梅森（Marin Mersenne）的一封信中寫(xiě)道：“在艱深的數(shù)論研究中，我發(fā)現(xiàn)了三個(gè)非常重要的性質(zhì)，我相信它們將成為今后解決素?cái)?shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)。”這封信討論了形如2 －1的數(shù)。
馬林·梅森是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物，他與包括費(fèi)馬在內(nèi)的很多科學(xué)家經(jīng)常保持通信聯(lián)系，討論數(shù)學(xué)、物理等問(wèn)題。17世紀(jì)時(shí)，學(xué)術(shù)刊物和科研機(jī)構(gòu)還沒(méi)有創(chuàng)立，交往廣泛、熱情誠(chéng)摯的梅森就成了歐洲科學(xué)家之間聯(lián)系的橋梁，許多科學(xué)家都樂(lè)于將成果告訴他，然后再由他轉(zhuǎn)告給更多的人。梅森還是法蘭西學(xué)院的奠基人，為科學(xué)事業(yè)做了很多有益的工作，被選為“100位在世界科學(xué)史上有重要地位的科學(xué)家”之一。
梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人有關(guān)研究的基礎(chǔ)上對(duì)2 －1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證，并于1644年在他的《物理數(shù)學(xué)隨感》一書(shū)中斷言：在不大于257的素?cái)?shù)中，當(dāng)p = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 時(shí)，2 －1是素?cái)?shù)，其它都是合數(shù)。前面的7個(gè)數(shù)（即2、3、5、7、13、17、19）已被前人所證實(shí)，而后面的4個(gè)數(shù)（即31、67、127、257）則是梅森自己的推斷。由于梅森在科學(xué)界有著崇高的學(xué)術(shù)地位，人們對(duì)其斷言都深信不疑。
后來(lái)人們才知道梅森的斷言其實(shí)包含著若干錯(cuò)漏。不過(guò)他的工作卻極大地激發(fā)了人們研究2 －1型素?cái)?shù)的熱情，使其擺脫作為“完全數(shù)”的附庸地位，可以說(shuō)梅森的工作是2 －1型素?cái)?shù)研究的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)和里程碑。由于梅森學(xué)識(shí)淵博、才華橫溢、為人熱情以及最早系統(tǒng)而深入地研究2－1型的數(shù)，為了紀(jì)念他，數(shù)學(xué)界就把這種數(shù)稱(chēng)為“梅森數(shù)”，并以M記之（其中M為梅森姓名的首字母），即M=2－1。如果梅森數(shù)為素?cái)?shù)，則稱(chēng)之為“梅森素?cái)?shù)”（即2－1型素?cái)?shù)）。
尋找歷程
2300多年來(lái)，人類(lèi)僅發(fā)現(xiàn)51個(gè)梅森素?cái)?shù)，由于這種素?cái)?shù)珍奇而迷人，因此被人們譽(yù)為“數(shù)海明珠” 。自梅森提出其斷言后，人們發(fā)現(xiàn)的已知最大素?cái)?shù)幾乎都是梅森素?cái)?shù)，因此尋找新的梅森素?cái)?shù)的歷程也就幾乎等同于尋找新的最大素?cái)?shù)的歷程。
梅森素?cái)?shù)的探尋難度極大，它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且需要進(jìn)行艱苦的計(jì)算。
手算筆錄時(shí)代
在計(jì)算能力低下的公元前，人們僅知道四個(gè)2 －1型素?cái)?shù)：3、7、31和127，發(fā)現(xiàn)人已無(wú)從考證。15世紀(jì)，又一個(gè)沒(méi)有留下姓名的人在其手稿中給出了第5個(gè)2 －1型素?cái)?shù)：8191。而在梅森之前，意大利數(shù)學(xué)家卡塔爾迪（1548～1626）也對(duì)這種類(lèi)型的數(shù)進(jìn)行了整理，他在1588年提出131071和524287也是素?cái)?shù)，由此成為第一個(gè)在發(fā)現(xiàn)者榜單上留名的人。
手算筆錄的時(shí)代，每前進(jìn)一步，都顯得格外艱難。1772年，在卡塔爾迪之后近200年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（1707～1783）在雙目失明的情況下，靠心算證明了2147483647是一個(gè)素?cái)?shù)。這是人們找到的第8個(gè)梅森素?cái)?shù)，它共有10位數(shù)，堪稱(chēng)當(dāng)時(shí)世界上已知的最大素?cái)?shù)。歐拉還證明了歐幾里得關(guān)于完全數(shù)定理的逆定理：所有的偶完全數(shù)都具有2 (2 －1) 的形式，其中2 －1是素?cái)?shù)。這表明梅森素?cái)?shù)和偶完全數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。
梅森素?cái)?shù)
梅森素?cái)?shù)
梅森素?cái)?shù)
1883年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家波佛辛（1827～1900）利用盧卡斯定理證明了 也是素?cái)?shù)——這是梅森漏掉的。梅森還漏掉另外兩個(gè)素?cái)?shù)：和，它們分別在1911年和1914年被數(shù)學(xué)家鮑爾斯（1875～1952）發(fā)現(xiàn)。
盧卡斯第一個(gè)否定了“M為素?cái)?shù)”這一自梅森斷言以來(lái)一直被人們相信的結(jié)論，但他未能找到其因子。直到1903年，才由數(shù)學(xué)家科爾（1861～1926）算出M=193707721×761838257287。1922年，數(shù)學(xué)家克萊契克（1882～1957）進(jìn)一步驗(yàn)證了M并不是素?cái)?shù)，而是合數(shù)。
在手工計(jì)算的漫長(zhǎng)年代里，人們歷盡艱辛，一共只找到12個(gè)梅森素?cái)?shù)。
計(jì)算機(jī)時(shí)代
20世紀(jì)30年代，美國(guó)數(shù)學(xué)家萊默（1905～1991）改進(jìn)了盧卡斯的工作，給出了一個(gè)針對(duì)M的新的素性測(cè)試方法，即盧卡斯-萊默檢驗(yàn)法：M>3是素?cái)?shù)當(dāng)且僅當(dāng)L=0，其中L=4，L=（L－2）modM。這一方法在“計(jì)算機(jī)時(shí)代”發(fā)揮了重要作用。
美國(guó)伊利諾伊大學(xué)發(fā)行的紀(jì)念郵戳
梅森素?cái)?shù)
梅森素?cái)?shù)
梅森素?cái)?shù)
1952年，美國(guó)數(shù)學(xué)家魯濱遜（1911～1995）在萊默指導(dǎo)下將此方法編譯成計(jì)算機(jī)程序，使用SWAC型計(jì)算機(jī)在幾個(gè)月內(nèi)，就找到了5個(gè)梅森素?cái)?shù)： 、 、 、和。其后，在1957年被黎塞爾（1929～ 2014）證明是素?cái)?shù)；和 在1961年被赫維茲（1937～ ）證明是素?cái)?shù)。
梅森素?cái)?shù)
1963年，美國(guó)數(shù)學(xué)家吉里斯（1928～1975）證明 和 是素?cái)?shù)。
梅森素?cái)?shù)
梅森素?cái)?shù)
以IBM360為代表的第三代計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)加快了梅森素?cái)?shù)的尋找步伐，但隨著指數(shù)p值的增大，每一個(gè)梅森素?cái)?shù)的產(chǎn)生反而更加艱難。1971年3月4日晚，塔克曼（1915～2002）使用IBM360-91型計(jì)算機(jī)找到新的梅森素?cái)?shù)。而到1978年10月，世界幾乎所有的大新聞機(jī)構(gòu)（包括中國(guó)的新華社）都報(bào)道了以下消息：兩名年僅18歲的美國(guó)高中生諾爾（1960～ ）和尼科爾使用Cyber-174型計(jì)算機(jī)找到了第25個(gè)梅森素?cái)?shù)。
梅森素?cái)?shù)
發(fā)現(xiàn)M1257787的Cray-T94型計(jì)算機(jī)
梅森素?cái)?shù)
梅森素?cái)?shù)
伴隨數(shù)學(xué)理論的改善，為尋找梅森素?cái)?shù)而使用的計(jì)算機(jī)也越來(lái)越強(qiáng)大，其中包括了著名的超級(jí)計(jì)算機(jī)Cray系列。1979年4月，美國(guó)克雷公司計(jì)算機(jī)專(zhuān)家史洛溫斯基使用Cray-1型計(jì)算機(jī)找到梅森素?cái)?shù)。使用經(jīng)過(guò)改進(jìn)的Cray-XMP型計(jì)算機(jī)在1982年至1985年間找到了3個(gè)梅森素?cái)?shù)： 、和。但他未能確定M和M之間是否有異于M的梅森素?cái)?shù)。
梅森素?cái)?shù)
1988年，科爾魁特和韋爾什使用NEC-SX2型超高速并行計(jì)算機(jī)果然發(fā)現(xiàn)。沉寂四年之后，哈威爾實(shí)驗(yàn)室（英國(guó)原子能技術(shù)權(quán)威機(jī)構(gòu)）的一個(gè)研究小組宣布他們找到梅森素?cái)?shù)。
梅森素?cái)?shù)
梅森素?cái)?shù)
1994年1月10日，史洛溫斯基和蓋奇再次奪回發(fā)現(xiàn)已知最大素?cái)?shù)的桂冠——這一素?cái)?shù)是。而下一個(gè)梅森素?cái)?shù) 仍是他們的成果，史洛溫斯基由于發(fā)現(xiàn)7個(gè)梅森素?cái)?shù)，而被人們譽(yù)為“素?cái)?shù)大王” 。1996年發(fā)現(xiàn)的M是迄今為止最后一個(gè)由超級(jí)計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)的梅森素?cái)?shù)，數(shù)學(xué)家使用了Cray-T94，這也是人類(lèi)發(fā)現(xiàn)的第34個(gè)梅森素?cái)?shù)。
互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代
使用超級(jí)計(jì)算機(jī)尋找梅森素?cái)?shù)實(shí)在太昂貴了，而且可以參與的人也有限，網(wǎng)格這一嶄新技術(shù)的出現(xiàn)使梅森素?cái)?shù)的搜尋又重新回到了“人人參與”的大眾時(shí)代。20世紀(jì)90年代中后期，在美國(guó)程序設(shè)計(jì)師沃特曼和庫(kù)爾沃斯基等人的共同努力下，建立了世界上第一個(gè)基于互聯(lián)網(wǎng)的分布式計(jì)算項(xiàng)目——因特網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索（GIMPS）。人們只要在GIMPS的主頁(yè)上下載一個(gè)計(jì)算梅森素?cái)?shù)的免費(fèi)程序，就可以立即參加該項(xiàng)目來(lái)搜尋新的梅森素?cái)?shù)。
梅森素?cái)?shù)
1996年至1998年，GIMPS找到了3個(gè)梅森素?cái)?shù)： 、和，發(fā)現(xiàn)者來(lái)自法國(guó)、英國(guó)和美國(guó)。
梅森素?cái)?shù)
柯蒂斯·庫(kù)珀多次發(fā)現(xiàn)“最大素?cái)?shù)”
梅森素?cái)?shù)
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梅森素?cái)?shù)
梅森素?cái)?shù)
梅森素?cái)?shù)
進(jìn)入21世紀(jì)，隨著個(gè)人計(jì)算機(jī)的進(jìn)一步普及和計(jì)算速度的提升，人們又找到不少更大的梅森素?cái)?shù)。加拿大青年志愿者卡梅倫在2001年11月找到，拉開(kāi)了新世紀(jì)尋找梅森素?cái)?shù)的序幕。此后在2003年至2006年間，GIMPS又相繼發(fā)現(xiàn)5個(gè)梅森素?cái)?shù)： 、 、 、和，最大素?cái)?shù)紀(jì)錄距離1000萬(wàn)位大關(guān)越來(lái)越近。
梅森素?cái)?shù)
梅森素?cái)?shù)
此后一年內(nèi)，又有兩個(gè)1000萬(wàn)位以上的梅森素?cái)?shù)被德國(guó)和挪威的志愿者先后找出。距史密斯的發(fā)現(xiàn)僅相隔兩個(gè)星期，而2009年4月找到的 與史密斯發(fā)現(xiàn)的素?cái)?shù)相比“僅”相差14萬(wàn)位數(shù)。
梅森素?cái)?shù)
2013年和2016年，美國(guó)中央密蘇里大學(xué)數(shù)學(xué)教授柯蒂斯·庫(kù)珀利用校區(qū)內(nèi)的800臺(tái)電腦連續(xù)發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)梅森素?cái)?shù) 和。后者其實(shí)早在2015年9月就已經(jīng)被電腦計(jì)算出結(jié)果，但由于一臺(tái)協(xié)調(diào)計(jì)算結(jié)果的電腦服務(wù)器出了點(diǎn)故障，這一結(jié)果直到2016年1月服務(wù)器例行維護(hù)時(shí)才被發(fā)現(xiàn)。庫(kù)珀通過(guò)GIMPS項(xiàng)目總共發(fā)現(xiàn)了四個(gè)梅森素?cái)?shù)。
梅森素?cái)?shù)
2018年4月8日，在發(fā)現(xiàn)M超過(guò)9年后，該數(shù)已被確定為第47個(gè)梅森素?cái)?shù)。
梅森素?cái)?shù)表
至2018年12月，總計(jì)發(fā)現(xiàn)51個(gè)梅森素?cái)?shù)，并且確定M位于梅森素?cái)?shù)序列中的第47位。現(xiàn)把它們的數(shù)值、位數(shù)、發(fā)現(xiàn)時(shí)間、發(fā)現(xiàn)者等列表如下：
M1～M12
序號(hào) | p | 梅森素?cái)?shù) | 位數(shù) | 發(fā)現(xiàn)時(shí)間 | 發(fā)現(xiàn)者 |
 梅森素?cái)?shù) | 2 | 3 | 1 | 古代 | 古人 |
 梅森素?cái)?shù) | 3 | 7 | 1 | 古代 | 古人 |
 | 5 | 31 | 2 | 古代 | 古人 |
 | 7 | 127 | 3 | 古代 | 古人 |
 梅森素?cái)?shù) | 13 | 8191 | 4 | 1456年 | 無(wú)名氏 |
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M13～M34
序號(hào) | p | 位數(shù) | 發(fā)現(xiàn)時(shí)間 | 發(fā)現(xiàn)者 | 計(jì)算機(jī) |
 | 521 | 157 | 1952 / 01 / 30 | Raphael MitchelRobinson | SWAC |
 梅森素?cái)?shù) | 607 | 183 | 1952 / 01 / 30 | Raphael MitchelRobinson | SWAC |
 | 1,279 | 386 | 1952 / 06 / 25 | Raphael MitchelRobinson | SWAC |
 梅森素?cái)?shù) | 2,203 | 664 | 1952 / 10 / 07 | Raphael MitchelRobinson | SWAC |
 梅森素?cái)?shù) | 2,281 | 687 | 1952 / 10 / 09 | Raphael MitchelRobinson | SWAC |
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M35～M51
序號(hào) | p | 位數(shù) | 發(fā)現(xiàn)時(shí)間 | 發(fā)現(xiàn)者 | 國(guó)家 |
 | 1,398,269 | 420,921 | 1996 / 11 / 13 | GIMPS / Joel Armengaud | 法國(guó) |
 | 2,976,221 | 895,932 | 1997 / 08 / 24 | GIMPS / Gordon Spence | 英國(guó) |
 | 3,021,377 | 909,526 | 1998 / 01 / 27 | GIMPS / Roland Clarkson | 美國(guó) |
 | 6,972,593 | 2,098,960 | 1999 / 06 / 01 | GIMPS / NayanHajratwala | 美國(guó) |
 | 13,466,917 | 4,053,946 | 2001 / 11 / 14 | GIMPS / MichaelCameron | 加拿大 |
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注：
1.各表分別列出人工、借助計(jì)算機(jī)以及通過(guò)GIMPS項(xiàng)目發(fā)現(xiàn)的梅森素?cái)?shù)。
2.目前還不確定在M47和M51之間是否還存在未知的梅森素?cái)?shù)，其后的序號(hào)用 * 標(biāo)出。
3.后兩表梅森素?cái)?shù)的數(shù)值從略。
GIMPS項(xiàng)目
EFF向獲獎(jiǎng)?wù)撸ㄓ乙唬╊C發(fā)獎(jiǎng)金
為了激勵(lì)人們尋找梅森素?cái)?shù)和促進(jìn)網(wǎng)格技術(shù)發(fā)展，總部設(shè)在美國(guó)舊金山的電子前沿基金會(huì)（EFF）于1999年3月向全世界宣布了為通過(guò)GIMPS項(xiàng)目來(lái)尋找新的更大的梅森素?cái)?shù)而設(shè)立的獎(jiǎng)金。它規(guī)定向第一個(gè)找到超過(guò)100萬(wàn)位數(shù)的個(gè)人或機(jī)構(gòu)頒發(fā)5萬(wàn)美元。后面的獎(jiǎng)金依次為：超過(guò)1000萬(wàn)位數(shù)，10萬(wàn)美元；超過(guò)1億位數(shù)，15萬(wàn)美元；超過(guò)10億位數(shù)，25萬(wàn)美元。除此之外，根據(jù)EFF關(guān)于獎(jiǎng)金設(shè)立的新規(guī)定，任何一位新梅森素?cái)?shù)的發(fā)現(xiàn)者都將獲得3000美元的研究發(fā)現(xiàn)獎(jiǎng)。其實(shí)絕大多數(shù)志愿者參與該項(xiàng)目并不是為了金錢(qián)，而是出于樂(lè)趣、榮譽(yù)感和探索精神。
目前人們通過(guò)GIMPS項(xiàng)目已找到17個(gè)梅森素?cái)?shù)，其發(fā)現(xiàn)者來(lái)自美國(guó)（11個(gè)）、英國(guó)（1個(gè)）、法國(guó)（1個(gè)）、德國(guó)（2個(gè)）、加拿大（1個(gè)）和挪威（1個(gè)）。世界上有190多個(gè)國(guó)家和地區(qū)超過(guò)60萬(wàn)人參加了這一國(guó)際合作項(xiàng)目，并動(dòng)用了上百萬(wàn)臺(tái)計(jì)算機(jī)（CPU）聯(lián)網(wǎng)來(lái)尋找新的梅森素?cái)?shù)。該項(xiàng)目的計(jì)算能力已超過(guò)當(dāng)今世界上任何一臺(tái)最先進(jìn)的超級(jí)矢量計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力，運(yùn)算速度達(dá)到每秒2300萬(wàn)億次。著名的《自然》雜志說(shuō)：GIMPS項(xiàng)目不僅會(huì)進(jìn)一步激發(fā)人們對(duì)梅森素?cái)?shù)尋找的熱情，而且會(huì)引起人們對(duì)網(wǎng)格技術(shù)應(yīng)用研究的高度重視。
意義
梅森素?cái)?shù)自古以來(lái)就是數(shù)論研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容，歷史上有不少大數(shù)學(xué)家都專(zhuān)門(mén)研究過(guò)這種特殊形式的素?cái)?shù)。自古希臘時(shí)代起直至17世紀(jì)，人們尋找梅森素?cái)?shù)的意義似乎只是為了尋找完全數(shù)。但自梅森提出其著名斷言后，特別是歐拉證明了歐幾里得關(guān)于完全數(shù)定理的逆定理以來(lái)，偶完全數(shù)已僅僅是梅森素?cái)?shù)的一種“副產(chǎn)品”了。
尋找梅森素?cái)?shù)在當(dāng)代已有了十分豐富的意義。尋找梅森素?cái)?shù)是目前發(fā)現(xiàn)已知最大素?cái)?shù)的最有效途徑。自歐拉證明M為當(dāng)時(shí)最大的素?cái)?shù)以來(lái)，在發(fā)現(xiàn)已知最大素?cái)?shù)的世界性競(jìng)賽中，梅森素?cái)?shù)幾乎囊括了全部冠軍。
尋找梅森素?cái)?shù)是測(cè)試計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度及其他功能的有力手段，如M就是1996年9月美國(guó)克雷公司在測(cè)試其最新超級(jí)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度時(shí)得到的。梅森素?cái)?shù)在推動(dòng)計(jì)算機(jī)功能改進(jìn)方面發(fā)揮了獨(dú)特作用。發(fā)現(xiàn)梅森素?cái)?shù)不僅需要高功能的計(jì)算機(jī)，還需要素?cái)?shù)判別和數(shù)值計(jì)算的理論與方法以及高超巧妙的程序設(shè)計(jì)技術(shù)等等，因此它的研究推動(dòng)了“數(shù)學(xué)皇后” ——數(shù)論的發(fā)展，促進(jìn)了計(jì)算數(shù)學(xué)和程序設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展。
尋找梅森素?cái)?shù)最新的意義是：它促進(jìn)了分布式計(jì)算技術(shù)的發(fā)展。從最新的17個(gè)梅森素?cái)?shù)是在因特網(wǎng)項(xiàng)目中發(fā)現(xiàn)這一事實(shí)，可以想象到網(wǎng)絡(luò)的威力。分布式計(jì)算技術(shù)使得用大量個(gè)人計(jì)算機(jī)去做本來(lái)要用超級(jí)計(jì)算機(jī)才能完成的項(xiàng)目成為可能，這是一個(gè)前景非常廣闊的領(lǐng)域。它的探究還推動(dòng)了快速傅立葉變換的應(yīng)用。
梅森素?cái)?shù)在實(shí)用領(lǐng)域也有用武之地，現(xiàn)在人們已將大素?cái)?shù)用于現(xiàn)代密碼設(shè)計(jì)領(lǐng)域。其原理是：將一個(gè)很大的數(shù)分解成若干素?cái)?shù)的乘積非常困難，但將幾個(gè)素?cái)?shù)相乘卻相對(duì)容易得多。在這種密碼設(shè)計(jì)中，需要使用較大的素?cái)?shù)，素?cái)?shù)越大，密碼被破譯的可能性就越小。
由于梅森素?cái)?shù)的探究需要多種學(xué)科和技術(shù)的支持，也由于發(fā)現(xiàn)新的“大素?cái)?shù)”所引起的國(guó)際影響，使得對(duì)于梅森素?cái)?shù)的研究能力已在某種意義上標(biāo)志著一個(gè)國(guó)家的科技水平，而不僅僅是代表數(shù)學(xué)的研究水平。英國(guó)頂尖科學(xué)家、牛津大學(xué)教授馬科斯·索托伊甚至認(rèn)為它的研究進(jìn)展不但是人類(lèi)智力發(fā)展在數(shù)學(xué)上的一種標(biāo)志，同時(shí)也是整個(gè)科學(xué)發(fā)展的里程碑之一。
梅森素?cái)?shù)這顆數(shù)學(xué)海洋中的璀璨明珠正以其獨(dú)特的魅力，吸引著更多的有志者去尋找和研究。
理論探索
梅森素?cái)?shù)的計(jì)算公式
3*5/3.8*7/5.8*11/9.8*13/11.8*......*P/(P-1.2)-1=M
P是梅森數(shù)的指數(shù)，M是P以下的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。
以下是計(jì)算的數(shù)值與實(shí)際數(shù)的情況：
指數(shù)5，計(jì)算2.947，實(shí)際3 ，誤差0.053；
指數(shù)7，計(jì)算3.764，實(shí)際4 ，誤差 0.236；
指數(shù)13，計(jì)算4.891，實(shí)際5，誤差0.109；
指數(shù)17，計(jì)算5.339，實(shí)際6，誤差0.661；
指數(shù)19，計(jì)算5.766，實(shí)際7，誤差1.234；
指數(shù)31，計(jì)算6.746，實(shí)際8，誤差1.254；
指數(shù)61，計(jì)算8.445，實(shí)際9，誤差0.555；
指數(shù)89，計(jì)算9.201，實(shí)際10，誤差0.799；
指數(shù)107，計(jì)算9.697，實(shí)際11，誤差1.303；
指數(shù)127，計(jì)算10.036 ，實(shí)際12，誤差1.964；
指數(shù)521，計(jì)算13.818，實(shí)際13，誤差-0.818；
指數(shù)607，計(jì)算14.259，實(shí)際14，誤差-0.259；
指數(shù)1279，計(jì)算16.306，實(shí)際15，誤差-1.306；
指數(shù)2203，計(jì)算17.573，實(shí)際16，誤差-1.573；
指數(shù)2281，計(jì)算17.941，實(shí)際17，誤差-0.941；
這個(gè)公式是根據(jù)梅森素?cái)?shù)的分布規(guī)律得出的。萬(wàn)數(shù)1為首，1被除外了，所以要減去1。在不考慮重疊問(wèn)題，應(yīng)該P(yáng)減1就可以了，這里已考慮重疊問(wèn)題，所以就P減1.2.在梅森數(shù)的指數(shù)漸漸增大，1.2是否合適，還要等實(shí)際檢驗(yàn)。
在2^N-1的數(shù)列中，一個(gè)素?cái)?shù)作為素因子第一次出現(xiàn)在指數(shù)N的數(shù)中，這個(gè)素?cái)?shù)作為因子數(shù)在2^N-1數(shù)列中就以N為周期出現(xiàn)。在這種數(shù)列中指數(shù)是偶數(shù)的都等于3乘以四倍金字塔數(shù)。
在2^N-1數(shù)列中，指數(shù)大于6的，除梅森素?cái)?shù)外，都有新增一個(gè)或一個(gè)以上的素?cái)?shù)為因子數(shù)，新增的因子數(shù)減1能被這個(gè)指數(shù)整除。
一個(gè)梅森合數(shù)的因子數(shù)只有唯一一次出現(xiàn)在一個(gè)梅森合數(shù)中。
一個(gè)是梅森素?cái)?shù)的素?cái)?shù)，它永遠(yuǎn)不是梅森合數(shù)的因子數(shù)。
一個(gè)是前面的梅森合數(shù)的因子數(shù)的素?cái)?shù)，它永遠(yuǎn)不會(huì)是后面的梅森合數(shù)的因子數(shù)。
所有梅森合數(shù)的因子數(shù)減1都能被這個(gè)梅森合數(shù)的指數(shù)整除，商是偶數(shù)。
一個(gè)素?cái)?shù)在不是梅森合數(shù)的準(zhǔn)梅森數(shù)中第一次以因子數(shù)出現(xiàn)，這個(gè)素?cái)?shù)減1能被這個(gè)準(zhǔn)梅森數(shù)的指數(shù)整除，商不一定是偶數(shù)。
梅森素?cái)?shù)都在[4^(1-1)+4^(2-1)+4^(3-1)+......+4^(n-1)]*6+1數(shù)列中，括符里種數(shù)暫叫四倍金字塔數(shù)。
凡是一個(gè)素?cái)?shù)是四倍金字塔數(shù)的因子數(shù)，以后就不是梅森合數(shù)的因子數(shù)。
在4^(1-1)+4^(2-1)+4^(3-1)+......+4^(n-1)數(shù)列中的數(shù)，有不等于6NM+-（N+M）的數(shù)乘以6加上1都是梅森素?cái)?shù)。
在2^P-1平方根以下的素?cái)?shù)都以素因子在以前準(zhǔn)梅森數(shù)中出現(xiàn)了，那這個(gè)梅森數(shù)必是梅森素?cái)?shù)。但它的逆定理是不成立的。如果還沒(méi)有出現(xiàn)在以前的準(zhǔn)梅森數(shù)中的素?cái)?shù)，它也不定是梅森合數(shù)的因子數(shù)。
梅森合數(shù)的因子數(shù)都是8N+1和8N-1形的素?cái)?shù)。
試證梅森素?cái)?shù)
在指數(shù)n是無(wú)限多的2^n-1數(shù)列中梅森數(shù)和梅森素?cái)?shù)只占其中的很少比例。
根據(jù)費(fèi)馬小定理，每一個(gè)奇素?cái)?shù)都會(huì)以數(shù)因子出現(xiàn)在2^n-1數(shù)列中，只不過(guò)有些提前出現(xiàn)，有些最后出現(xiàn)。只有梅森素?cái)?shù)是最早出現(xiàn)在這個(gè)數(shù)列中的。其他有素?cái)?shù)都不會(huì)最早出現(xiàn)，最遲出現(xiàn)的素?cái)?shù)是在本數(shù)減1的數(shù)中，也就是費(fèi)馬小定理的地方。
每一個(gè)奇素?cái)?shù)都十分有規(guī)律作為因子數(shù)出現(xiàn)在2^n-1數(shù)列中，一個(gè)素?cái)?shù)第一次出現(xiàn)在2^n-1數(shù)中（包括梅森素?cái)?shù)），這個(gè)素?cái)?shù)就以n為周期反復(fù)出現(xiàn)在2^n-1數(shù)列中，如3第一次出現(xiàn)在n=2中，指數(shù)能被2整除的都有3的因子數(shù);7第一次出現(xiàn)在n=3，指數(shù)能被3整除的都有7的因子數(shù);5第一次出現(xiàn)在n=4中，指數(shù)能被4整除都有5的因子數(shù)。一個(gè)素?cái)?shù)出現(xiàn)在2^n-1數(shù)列n中，不管n是素?cái)?shù)不是素?cái)?shù)，只要用小于n的全部奇素?cái)?shù)去篩，指數(shù)n都在其中。如果是合數(shù)與前面的素?cái)?shù)是重疊的，所以不用重篩了。
要篩完2^n-1數(shù)列中所有數(shù)因子，必需用少于或等于2^n-1平方根以?xún)?nèi)的所有素?cái)?shù)去篩，這樣剩下沒(méi)有篩的就是梅森素?cái)?shù)了。
梅森素?cái)?shù)的篩法
根據(jù)費(fèi)馬小定理，每一個(gè)奇素?cái)?shù)都會(huì)以素因子的身份出現(xiàn)在2^n-1數(shù)列中，只不過(guò)有些出現(xiàn)早，有些出現(xiàn)遲。
每一個(gè)奇素?cái)?shù)第一次出現(xiàn)在2^n-1數(shù)列指數(shù)n的數(shù)中，這個(gè)n就是這個(gè)素?cái)?shù)的對(duì)應(yīng)數(shù)，它就以n為周期反復(fù)出現(xiàn)。
已經(jīng)知道梅森素?cái)?shù)都出現(xiàn)在梅森數(shù)中。只要篩去梅森數(shù)中的梅森合數(shù)，剩下就是梅森素?cái)?shù)。
將梅森數(shù)列展開(kāi)，從3的對(duì)應(yīng)數(shù)2開(kāi)始，2點(diǎn)一點(diǎn)；5的對(duì)應(yīng)數(shù)是4，4是合數(shù)，就不用操作；7的對(duì)應(yīng)數(shù)是3，在3點(diǎn)一點(diǎn)；11的對(duì)應(yīng)數(shù)是10，是合數(shù)，不用操作；13的對(duì)應(yīng)數(shù)是12，12是合數(shù)，不用操作；這樣一直點(diǎn)下去，點(diǎn)到梅森數(shù)的指數(shù)以前的數(shù)都能篩凈。凡是一個(gè)梅森數(shù)點(diǎn)上兩次和兩次以上的都給劃去，剩下就是只有點(diǎn)一次的梅森數(shù)了，這些梅森數(shù)全是梅森素?cái)?shù)。
這個(gè)篩法在素?cái)?shù)很大時(shí)找它的對(duì)應(yīng)數(shù)有點(diǎn)困難。
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