丘成桐證明了卡拉比猜想、正質(zhì)量猜想等,是幾何分析學(xué)科的奠基人,以他的名字命名的卡拉比-丘流形,是物理學(xué)中弦理論的基本概念,對微分幾何和數學(xué)物理的發(fā)展做出了重要貢獻。 美國階段
他的突出成績(jì)和鉆研精神為當時(shí)的美籍教授薩拉夫所賞識,薩拉夫力薦他到美國加利福尼亞大學(xué)伯克利分校攻讀博士研究生。19歲的時(shí)候來(lái)到美國加州大學(xué)伯克利分校。“21歲畢業(yè)時(shí)就注定要改變數學(xué)的面貌”這不是作者的話(huà),這是幾年前加州大學(xué)洛杉磯分校希望把丘教授聘請過(guò)來(lái)的時(shí)候,系里討論時(shí)一個(gè)年紀很大的幾何學(xué)家引用陳省身先生說(shuō)的一句話(huà)。在伯克利學(xué)習期間他證明了卡拉比猜想、正質(zhì)量猜想,開(kāi)創(chuàng )了一個(gè)嶄新的領(lǐng)域:幾何分析。當年他只有28歲。也就是說(shuō),從入學(xué)伯克利到他在世界數學(xué)家大會(huì )做一小時(shí)報告之間相隔還不到10年。在他作報告的那一年,陳景潤先生也同時(shí)被邀請做45分鐘的報告。 
丘成桐
20世紀70年代左右的伯克利分校是世界微分幾何的中心,云集了許多優(yōu)秀的幾何學(xué)家和年輕學(xué)者。在這里,丘成桐得到IBM獎學(xué)金,并師從著(zhù)名微分幾何學(xué)家陳省身。數學(xué)是奇妙的,也是生澀的。即使是立志在數學(xué)領(lǐng)域建功立業(yè)的年輕學(xué)生,能堅持到最后并出成果的,也是寥若晨星。丘成桐正可謂這樣一顆“晨星”。常常有這樣的情景——偌大的教室中,聽(tīng)課的學(xué)生越來(lái)越少,最后竟然只剩下教授一人面對講臺下唯一的學(xué)生悉心教誨。這唯一的學(xué)生,就是丘成桐。到伯克利分校學(xué)習一年后,丘成桐便完成了他的博士論文,文中巧妙地解決了當時(shí)十分著(zhù)名的“沃爾夫猜想”。他對這個(gè)問(wèn)題的巧妙解決,使當時(shí)的世界數學(xué)界意識到一個(gè)數學(xué)新星的出現。丘成桐是公認的當代最具影響力的數學(xué)家之一。他的工作深刻變革并極大擴展了偏微分方程在微分幾何中的作用,影響遍及拓撲學(xué)、代數幾何、表示理論、廣義相對論等眾多數學(xué)和物理領(lǐng)域。 解決Calabi猜想,即一緊Kahler流形的第一陳類(lèi)≤0時(shí),任一陳類(lèi)的代表必有一Kahler度量使得其Ricci式等于此陳類(lèi)代表。這在代數幾何中有重要的應用。 與蕭蔭堂合作證明單連通Kahler流形若有非正截面曲率時(shí)必雙全純等價(jià)于復歐氏空間,并給Frankel猜想一個(gè)解析的證明。 在各種Ricci曲率條件下估計緊黎曼流形上Laplace算子的第一與第二特征值。 1976年解決關(guān)于凱勒-愛(ài)因斯坦度量存在性的卡拉比猜想,其結果被應用在超弦理論中,對統一場(chǎng)論有重要影響。第一陳類(lèi)為零的緊致凱勒流形稱(chēng)為卡拉比-丘流形,在數學(xué)與弦論中都很重要。作為應用,丘成桐還證明了塞梵利猜想,發(fā)現Miyaoka-丘不等式。丘成桐對c1> 0 情形的凱勒-愛(ài)因斯坦度量存在性也作出了重要的貢獻,猜想了它與代數幾何中幾何不變量理論意義下的穩定性的關(guān)系。這激發(fā)了Donaldson 關(guān)于數量曲率與穩定性等一系列的重要工作。 與鄭紹遠合作證明實(shí)與復的Monge-Ampère 方程解的存在性,并證明高維閔科夫斯基問(wèn)題,擬凸域的凱勒-愛(ài)因斯坦度量存在性問(wèn)題。 丘成桐開(kāi)創(chuàng )了將極小曲面方法應用于幾何與拓撲研究的先河。通過(guò)對極小曲面在時(shí)空中行為的深刻分析,1978年他與R.舍恩合作解決了愛(ài)因斯坦廣義相對論中的正質(zhì)量猜想。
丘成桐與Karen Uhlenbeck 合作證明了任意緊致凱勒流形上穩定叢的Hermitian-Einstein 度量的存在性,推廣了Donaldson 關(guān)于射影代數曲面,以及Narasimhan 和Seshadri 關(guān)于代數曲線(xiàn)的結果。
丘成桐與Meeks 合作解決了三維流形極小曲面一個(gè)著(zhù)名的問(wèn)題,即一條極值約當曲線(xiàn)的極小圓盤(pán)的Plateau 問(wèn)題的Douglas 解,當邊界曲線(xiàn)是一個(gè)凸邊界的子集,那么它在三維空間中是嵌入的。他們接著(zhù)證明這些嵌入極小曲面在有限群作用下是等變的。他們的工作與Thurston 的工作相結合,可以推出著(zhù)名的史密斯猜想。
丘成桐與連文豪、劉克峰合作證明了弦論學(xué)家提出的著(zhù)名的鏡對稱(chēng)猜想。這些公式給出了用對應的鏡像流形上的Picard-Fuchs 方程表示的一大類(lèi)卡拉比-丘流形上有理曲線(xiàn)數目的顯式表達。 丘成桐與劉克峰、孫曉峰合作證明曲線(xiàn)模空間上各種幾何度量的等價(jià)性,被國際學(xué)術(shù)界命名為劉孫丘度量。 1984年與Uhlenbeck合作解決在緊Kahler流形上穩定的全純向量叢與Yang-Mills-Hermite度量是一一對應的猜想,并得出陳氏的一 個(gè)不等式。
丘成桐正研究的鏡流形,是Calabi-丘流形的一特殊情形,與理論物理的弦理論有密切關(guān)系,引起數學(xué)界的廣泛注意等等。
其他領(lǐng)域
丘成桐在物理學(xué)和工程學(xué)上都有非常重要的影響,他也因此被聘為哈佛大學(xué)物理學(xué)的終身教授,成為哈佛大學(xué)有史以來(lái)兼任數學(xué)系教授和物理系教授的唯一一人。丘成桐教授在工程學(xué)的各個(gè)分支做出了很重要的貢獻,這些學(xué)科包括控制論、圖論(應用到社會(huì )科學(xué))、數據分析、人工智能和三維圖像處理,丘成桐在這些方面已經(jīng)發(fā)表了幾十篇重要的論文,多次被工程學(xué)大會(huì )邀請做重要演講和大會(huì )報告。 對中國貢獻
丘成桐對中國的數學(xué)事業(yè)一直非常關(guān)心。
從1984年起,他先后招收了十幾名來(lái)自中國的博士研究生,要為中國培養微分幾何方面的人才。他的做法是,不僅要教給學(xué)生一些特殊的技巧,更重要的是教會(huì )他們如何領(lǐng)會(huì )數學(xué)的精辟之處。他的學(xué)生田剛,也于1996年獲得了維布倫獎,被公認為世界最杰出的微分幾何學(xué)家之一。

丘成桐
丘成桐教授是第一位榮獲菲爾茲獎的華裔人士。他熱心于幫助發(fā)展中國的數學(xué)事業(yè)。自1979年以來(lái)多次到中國科學(xué)院進(jìn)行高質(zhì)量的講學(xué)。由科學(xué)出版社出版了專(zhuān)著(zhù)《微分幾何》,內容主要是他的研究結果。他還直接指導培養中國的數學(xué)博士生,至今已有10余人,成績(jì)顯著(zhù)。1994年6月8日當選為首批中國科學(xué)院外籍院士。雖然丘成桐是在香港長(cháng)大的,但他出生于中國大陸,深受中國傳統文化的影響,并堅信幫助中國推動(dòng)數學(xué)發(fā)展是自己的責任。在二十世紀七十年代中國對外開(kāi)放后,丘成桐受到中國著(zhù)名數學(xué)家華羅庚的邀請,于1979年訪(fǎng)問(wèn)中國。
為了幫助發(fā)展中國數學(xué),丘成桐想盡了各種辦法,與他鉆研數學(xué)問(wèn)題頗為相似。他培養來(lái)自中國的留學(xué)生,建立數學(xué)研究所與研究中心,組織各種層次的會(huì )議,發(fā)起各種人才培養計劃,并募集大量資金。
丘成桐建立的第一個(gè)數學(xué)研究所是1993年成立的香港中文大學(xué)數學(xué)研究所。第二個(gè)是1996年建立的北京晨興數學(xué)中心。中心建立與運作的大部分經(jīng)費都是丘成桐從香港晨興基金會(huì )籌得的。第三個(gè)是建立于2002年的浙江大學(xué)數學(xué)科學(xué)中心。第四個(gè)2009年建立的清華大學(xué)數學(xué)研究中心。
丘成桐是這三大研究機構的主任,經(jīng)常例行工作視察,作報告,指導學(xué)生,組織學(xué)術(shù)會(huì )議與暑期學(xué)校等。除了這三個(gè)研究中心,丘對于臺灣理論科學(xué)中心的建立以及臺灣數學(xué)的發(fā)展作出了重要的貢獻。1997年,他受臺灣新竹清華大學(xué)校長(cháng)劉炯朗邀請,作為講席教授訪(fǎng)問(wèn)一年。若干年后,他建議已是“臺灣國家科學(xué)委員會(huì )”主席的劉炯朗,建立理論科學(xué)中心。正式成立是在1998年。他擔任理論科學(xué)中心顧問(wèn)委員會(huì )主任直到2005年。 為了增進(jìn)華人數學(xué)家的交流與合作。丘成桐發(fā)起組織國際華人數學(xué)家大會(huì )。會(huì )議每三年一屆。除了邀請報告外,還邀請幾位非華裔數學(xué)家作晨興講座。每次大會(huì )的焦點(diǎn)是頒發(fā)晨興數學(xué)獎,陳省身獎。第一屆大會(huì )于1998年12月12-18日在北京晨興數學(xué)中心召開(kāi)。來(lái)自世界各地華人數學(xué)家的反響與支持非常熱烈,有400多人與會(huì )。這是第一次在中國舉行的重要數學(xué)國際會(huì )議。第二屆大會(huì )于2001年在臺灣召開(kāi),第三屆大會(huì )2004年在香港舉行,第四屆大會(huì )2007年在浙江大學(xué)舉行,第五屆大會(huì )于2010年在清華大學(xué)舉行。第六屆大會(huì )于2013年在臺灣大學(xué)舉行。從第三屆大會(huì )開(kāi)始正式設立面向大學(xué)生,碩士與博士生的新世界數學(xué)獎。 為了激發(fā)中學(xué)生對于數學(xué)研究的興趣和創(chuàng )造力,培養和發(fā)現年輕的數學(xué)天才,2004年,丘成桐首先在香港成立了面向香港中學(xué)生的兩年一屆的“恒隆數學(xué)獎”。