數量曲率(scalar curvature)是里奇曲率的平均。在黎曼幾何中，數量曲率（或Ricci標量）是黎曼流形的最簡(jiǎn)單的曲率不變量。對于黎曼流形上的每個(gè)點(diǎn)，它分配由該點(diǎn)附近的歧管的固有幾何確定的單個(gè)實(shí)數。具體來(lái)說(shuō)，標量曲率表示在歐氏空間中，黎曼流形中的小測球的體積與標準球的體積的偏差量。在二維上，數量曲率是高斯曲率的兩倍，并且完全表征了曲面的曲率。然而，在兩個(gè)維度上，黎曼流形的曲率涉及多個(gè)功能獨立的數量。

黎曼流形

一黎曼度量的微分流形。設M是n維光滑流形，若在M上給定一個(gè)光滑的二階協(xié)變張量場(chǎng)g，稱(chēng)

為一個(gè)n維黎曼流形，g稱(chēng)為該黎曼流形的基本張量或黎曼度量，如果滿(mǎn)足：

1.g是對稱(chēng)的， 即

2.g是正定的， 即

且等號僅在

時(shí)成立。

簡(jiǎn)單地說(shuō)，黎曼流形就是給定了一個(gè)光滑的對稱(chēng)、正定的二階張量場(chǎng)的光滑流形。

里奇曲率

里奇曲率是截面曲率的一種平均。設

是黎曼流形,

是其里奇張量，對任意的非零切向量

， 若：

則稱(chēng)

為黎曼流形

在切向量X所決定的方向上的里奇曲率。里奇曲率

恰好等于包含X在內的各個(gè)二維切子空間上的截 面曲率(參見(jiàn)“截面曲率")的平均值.確切地說(shuō)，若

是與X正交的

個(gè)彼此正交的單位切向量，則：

其中

。

曲率張量

給出了從

到

的

線(xiàn)性映射， 因此， 它在每一點(diǎn)

給出了從

到

的多線(xiàn)性映射， 即它是一個(gè) (1 , 3)型張量場(chǎng)，稱(chēng)為

上的曲率張量。在局部坐標系

下， 記：

就是曲率張量的分量.由定義得到：

其中

是聯(lián)絡(luò )的系數。若

是黎曼流形， 是其黎曼聯(lián)絡(luò )，則能夠定義

上的4階協(xié)變的曲率張量

。 記:

(0,4) 型曲率張量有下列性質(zhì)：

1.

2.

3.

數量曲率的概念

交基

, 若：

則S與單位正交基

的選取無(wú)關(guān)，稱(chēng)S為M在點(diǎn)p的數量曲率.數量曲率S是在點(diǎn)p的各個(gè)切方向上的里奇曲率的平均值，即：

若用里奇張量在局部坐標系

下的分量來(lái)表示，則：

意義

在二維上，標量曲率是高斯曲率的兩倍，并且完全表征了曲面的曲率。然而，在兩個(gè)維度上，黎曼流形的曲率涉及多個(gè)功能獨立的數量。

在廣義相對論中，數量曲率是愛(ài)因斯坦 - 希爾伯特動(dòng)作的拉格朗日密度。在量度變化下，拉格朗日的歐拉 - 拉格朗日方程組成真空愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程，靜態(tài)度量稱(chēng)為愛(ài)因斯坦度量。 n歧管的標量曲率被定義為Ricci張量的軌跡，并且其可以被定義為在某一點(diǎn)處的截面曲率的平均值的

倍。

第一眼感覺(jué)，尺度至少為3的標量曲率似乎是一個(gè)微小的不變量，對歧管的全局幾何形狀幾乎沒(méi)有影響，但實(shí)際上一些深層定理顯示了數量曲率的力量。一個(gè)這樣的結果是Schoen，Yau和Witten的正質(zhì)量定理。相關(guān)結果幾乎完全了解哪些歧管具有正數量曲率的黎曼度量。