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羅爾中值定理
微分學(xué)中一條重要的定理
三大微分中值定理之一
羅爾定理描述如下：
如果 R 上的函數(shù) f(x) 滿足以下條件：（1）在閉區(qū)間 [a,b] 上連續(xù)，（2）在開(kāi)區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個(gè) ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
基本信息
| 中文名 | 羅爾中值定理 |
| 外文名 | Rolle's theorem |
| 別名 | 羅爾定理 |
| 提出者 | 米歇爾.羅爾（Michel Rolle，法，1652—1719） |
| 提出時(shí)間 | 1691年 |
| 應(yīng)用學(xué)科 | 高等數(shù)學(xué) 、微分學(xué) |
| 適用領(lǐng)域 | 數(shù)學(xué) |
收起
證明過(guò)程
幾何意義
若連續(xù)曲線
在區(qū)間 [a,b] 上所對(duì)應(yīng)的弧段 AB，除端點(diǎn)外處處具有不垂直于 x 軸的切線，且在弧的兩個(gè)端點(diǎn) A,B 處的縱坐標(biāo)相等，則在弧 AB 上至少有一點(diǎn) C，使曲線在C點(diǎn)處的切線平行于 x 軸。
幾種特殊情況
（1）有界開(kāi)區(qū)間上的有界函數(shù)
若函數(shù)
在區(qū)間
上連續(xù)且可導(dǎo)，并有
，則至少存在一個(gè)
，使得
。
（2）有界區(qū)間上的無(wú)界函數(shù)
若函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)且可導(dǎo)，并有
（或
），則至少存在一個(gè)，使得。
（3）無(wú)界區(qū)間上的有界函數(shù)
若函數(shù) 在區(qū)間
上連續(xù)且可導(dǎo)，并有
，則至少存在一個(gè)
，使得。
（4）無(wú)界區(qū)間上的無(wú)界函數(shù)
若函數(shù) 在區(qū)間
上連續(xù)且可導(dǎo)，并有
（或），則至少存在一個(gè)，使得。
（5）半無(wú)界區(qū)間上的有界函數(shù)
若函數(shù) 在區(qū)間[
)上連續(xù)且可導(dǎo)，并有
，則至少存在一個(gè)
，使得。
（6）半無(wú)界區(qū)間上的無(wú)界函數(shù)
若函數(shù) 在區(qū)間[ )上連續(xù)且可導(dǎo)，并有
（或），則至少存在一個(gè)，使得。
證明
這里僅選擇特殊情況（2）、（3）加以證明，其余證明的思路大致類似。
定理 若函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)且可導(dǎo)，并有。則至少存在一個(gè)，使得。
證明：至少可取到一點(diǎn)
，使
，否則 恒等于
，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)
，都有。
不妨設(shè)
，取
，顯然
。根據(jù)極限定義，由
可得
任取
，則有
，
。
利用
，類似地可知存在
，使
。
定理 若函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)且可導(dǎo)，并有
。則至少存在一個(gè)，使得。
證明：任取，因?yàn)?/span>
，所以至少存在一點(diǎn)
，使
。
類似地由 可知存在一點(diǎn)
，使
。
這就有了
且，
于是，在閉區(qū)間
上連續(xù)，則在閉區(qū)間 上必有 的最小值點(diǎn)，由于閉區(qū)間 的兩個(gè)端點(diǎn)都不可能是 的最小值點(diǎn)，由此可知，根據(jù)費(fèi)馬定理可知。
范例解析
用羅爾中值定理證明：方程
3
在 (0,1) 內(nèi)有實(shí)根。
證明：設(shè)
則 F(x) 在 [0,1] 上連續(xù)，在 (0,1) 內(nèi)可導(dǎo)，
，
所以由羅爾中值定理，至少存在一點(diǎn)
，使得
，
所以
，
所以ξ是方程
在 (0,1) 內(nèi)的一個(gè)實(shí)根。
結(jié)論得證。
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