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柯西不等式（求解不等式的重要工具）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-31

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柯西不等式

求解不等式的重要工具

柯西不等式是由大數學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數學(xué)分析中的“流數”問(wèn)題時(shí)得到的。但從歷史的角度講，該不等式應當稱(chēng)為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式】，因為，正是后兩位數學(xué)家彼此獨立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應用到近乎完善的地步。柯西不等式是由柯西在研究過(guò)程中發(fā)現的一個(gè)不等式，其在解決不等式證明的有關(guān)問(wèn)題中有著(zhù)十分廣泛的應用，所以在高中數學(xué)提升中非常重要，是高中數學(xué)研究?jì)热葜弧?/span>

基本信息

中文名	柯西不等式
外文名	Cauchy-Buniakowsky-SchwarzInequality
提出者	柯西
提出時(shí)間	18世紀
應用學(xué)科	數學(xué)
推廣者	赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨

收起

提出者簡(jiǎn)介

柯西（CauchyAugustin-Louis，1789－1857），法國數學(xué)家，1789年8月21日生于巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動(dòng)蕩的政治漩渦中一直擔任公職。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護波旁王朝的正統派，是一位虔誠的天主教徒。

他在純數學(xué)和應用數學(xué)的功底是相當深厚的，很多數學(xué)的定理、公式都以他的名字來(lái)稱(chēng)呼，如柯西不等式、柯西積分公式。在數學(xué)寫(xiě)作上，他被認為在數量上僅次于歐拉的人，他一生一共著(zhù)作了789篇論文和幾本書(shū)，以《分析教程》（1821年）和《關(guān)于定積分理論的報告》（1827年）最為著(zhù)名。不過(guò)他并不是所有的創(chuàng )作都質(zhì)量很高，因此他還曾被人批評“高產(chǎn)而輕率”，這點(diǎn)倒是與數學(xué)王子（高斯）相反。據說(shuō)，法國科學(xué)院《會(huì )刊》創(chuàng )刊的時(shí)候，由于柯西的作品實(shí)在太多，以致于科學(xué)院要負擔很大的印刷費用，超出科學(xué)院的預算，因此，科學(xué)院后來(lái)規定論文最長(cháng)的只能夠到四頁(yè)。柯西較長(cháng)的論文因而只得投稿到其它地方。

定義定理

二維形式

公式變形：

等號成立條件：當且僅當

（即

）時(shí)。

一般形式

等號成立條件：

，或

中有一為零。

上述不等式等同于概述圖中的不等式。

一般形式推廣

此推廣形式又稱(chēng)卡爾松不等式，其表述是：在

矩陣中，各列元素之和的幾何平均不小于各行元素的幾何平均之和。二維形式是卡爾松不等式

時(shí)的特殊情況。

向量形式

推廣：

三角形式

等號成立條件：

，且

（即

）。

概率論形式

積分形式

一般形式

設V是一線(xiàn)性空間，在V上定義了一個(gè)二元實(shí)函數，稱(chēng)為內積，記做

，它具有以下性質(zhì)：

1、

2、

3、

4、

，當且僅當

時(shí)

并定義α的長(cháng)度

，則柯西不等式表述為：

驗證推導

二維形式的證明

等號在且僅在

即

時(shí)成立。

三角形式的證明

兩邊開(kāi)平方得：

向量形式的證明

（只是對二維的說(shuō)明）

積分形式的證明

構造一個(gè)二次函數，

所以該二次函數與x軸至多一個(gè)交點(diǎn)，

，

即

當且僅當

與

線(xiàn)性相關(guān)時(shí)等號成立。

一般形式的證明

剩余幾種情形都是一般情形的特例，完全可以用一般情形的證明方法來(lái)證。

定理推廣

復變函數中的柯西不等式

若函數

在區域D及其邊界上解析，

內一點(diǎn)，以

為圓心做圓周

，只要

及其內部G均被D包含，則有：

其中M是

的最大值。

證明：有柯西積分公式可知

所以

其他不等式

卡爾松不等式

琴生不等式

閔可夫斯基不等式

應用例子

柯西不等式在求某些函數最值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據，技巧以拆常數，湊常值為主。

巧拆常數證不等式

例：設a、b、c為正數且互不相等，求證：

。

證明：將a+b+c移到不等式的左邊，化成：

由于a、b、c為正數且互不相等，等號取不到。

附用基本不等式證設，則所證不等式等價(jià)于

。

因為

。所以上式顯然成立。

求某些函數最值

例：求函數

的最大值。

函數的定義域為[5，9]，

，由柯西不等式變形

則

。

函數僅在

，即

時(shí)取到。

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