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黎曼猜想
1859年德國黎曼提出的假設
黎曼猜想是關(guān)于黎曼ζ函數ζ(s)的零點(diǎn)分布的猜想，由數學(xué)家黎曼于1859年提出。希爾伯特在第二屆國際數學(xué)家大會(huì )上提出了20世紀數學(xué)家應當努力解決的23個(gè)數學(xué)問(wèn)題，被認為是20世紀數學(xué)的制高點(diǎn)，其中便包括黎曼假設。現今克雷數學(xué)研究所懸賞的世界七大數學(xué)難題中也包括黎曼猜想。
與費爾馬猜想時(shí)隔三個(gè)半世紀以上才被解決，哥德巴赫猜想歷經(jīng)兩個(gè)半世紀以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一個(gè)半世紀的紀錄還差得很遠，但它在數學(xué)上的重要性要遠遠超過(guò)這兩個(gè)大眾知名度更高的猜想。
黎曼猜想是當今數學(xué)界最重要的數學(xué)難題。
基本信息
| 中文名 | 黎曼猜想 |
| 別名 | 黎曼假設 |
| 外文名 | Riemann Hypothesis |
| 提出者 | 波恩哈德·黎曼 |
| 定義 | |
| 國家 | 德國 |
| 分類(lèi) | 數學(xué) |
| 1859年 | 1859年 |
收起
簡(jiǎn)介
黎曼在1859年在論文《在給定大小之下的素數個(gè)數》中做出這樣的猜想：
函數位于
之間的全部零點(diǎn)都在
之上，即零點(diǎn)的實(shí)部都是
，這至今仍是未解決的問(wèn)題。
學(xué)術(shù)論證
素數在自然數中的分布問(wèn)題在純粹數學(xué)和應用數學(xué)上都是很重要的問(wèn)題。素數在自然數域中分布并沒(méi)有一定規則。黎曼發(fā)現素數出現的頻率與所謂黎曼ζ函數緊密相關(guān)。黎曼ζ函數的非平凡零點(diǎn)都在線(xiàn) \operatorname z = rac 上。
格奧爾格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼
現在已經(jīng)驗證了最初的1,500,000,000個(gè)解，猜想都是正確的。但是否對所有解是正確的，卻沒(méi)有證明，隨著(zhù)費馬最后定理的獲證，黎曼猜想作為最困難的數學(xué)問(wèn)題的地位更加突出。
2000年，美國克雷數學(xué)研究所將它們設為“千年大獎問(wèn)題”，每個(gè)難題懸賞100萬(wàn)美元征求證明。
猜想來(lái)源
黎曼猜想是黎曼1859年提出的，這位數學(xué)家于1826年出生在一座如今屬于德國，當時(shí)屬于漢諾威王國的名叫布列斯倫茨的小鎮。1859年，黎曼被選為了柏林科學(xué)院的通信院士。作為對這一崇高榮譽(yù)的回報，他向柏林科學(xué)院提交了一篇題為“論小于給定數值的素數個(gè)數”的論文。這篇只有短短八頁(yè)的論文就是黎曼猜想的“誕生地”。
黎曼那篇論文所研究的是一個(gè)數學(xué)家們長(cháng)期以來(lái)就很感興趣的問(wèn)題，即素數的分布。素數是像2、5、19、137那樣除了1和自身以外不能被其他正整數整除的數。這些數在數論研究中有著(zhù)極大的重要性，因為所有大于1的正整數都可以表示成它們的乘積。從某種意義上講，它們在數論中的地位類(lèi)似于物理世界中用以構筑萬(wàn)物的原子。素數的定義簡(jiǎn)單得可以在中學(xué)甚至小學(xué)課上進(jìn)行講授，但它們的分布卻奧妙得異乎尋常，數學(xué)家們付出了極大的心力，卻迄今仍未能徹底了解
黎曼論文的一個(gè)重大的成果，就是發(fā)現了素數分布的奧秘完全蘊藏在一個(gè)特殊的函數之中，尤其是使那個(gè)函數取值為零的一系列特殊的點(diǎn)對素數分布的細致規律有著(zhù)決定性的影響。那個(gè)函數如今被稱(chēng)為黎曼ζ函數，那一系列特殊的點(diǎn)則被稱(chēng)為黎曼ζ函數的非平凡零點(diǎn)。
有意思的是，黎曼那篇文章的成果雖然重大，文字卻極為簡(jiǎn)練，甚至簡(jiǎn)練得有些過(guò)分，因為它包括了很多“證明從略”的地方。而要命的是，“證明從略”原本是應該用來(lái)省略那些顯而易見(jiàn)的證明的，黎曼的論文卻并非如此，他那些“證明從略”的地方有些花費了后世數學(xué)家們幾十年的努力才得以補全，有些甚至直到今天仍是空白。但黎曼的論文在為數不少的“證明從略”之外，卻引人注目地包含了一個(gè)他明確承認了自己無(wú)法證明的命題，那個(gè)命題就是黎曼猜想。黎曼猜想自1859年“誕生”以來(lái)，已過(guò)了一百五十多個(gè)春秋，在這期間，它就像一座巍峨的山峰，吸引了無(wú)數數學(xué)家前去攀登，卻誰(shuí)也沒(méi)能登頂。
當然，如果僅從時(shí)間上比較的話(huà)，黎曼猜想的這個(gè)紀錄跟費爾馬猜想時(shí)隔三個(gè)半世紀以上才被解決，以及哥德巴赫猜想歷經(jīng)兩個(gè)半世紀以上屹立不倒相比，還差得很遠。但黎曼猜想在數學(xué)上的重要性卻要遠遠超過(guò)這兩個(gè)大眾知名度更高的猜想。有人統計過(guò)，在當今數學(xué)文獻中已有超過(guò)一千條數學(xué)命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提。如果黎曼猜想被證明，所有那些數學(xué)命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數學(xué)命題中起碼有一部分將成為陪葬。一個(gè)數學(xué)猜想與為數如此眾多的數學(xué)命題有著(zhù)密切關(guān)聯(lián)，這是極為罕有的。
猜想內容
黎曼觀(guān)察到，素數的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構造的所謂黎曼zeta函數ζ()的性態(tài)。黎曼假設斷言，方程
的所有有意義的解都在一條直線(xiàn)上。這點(diǎn)已經(jīng)對于開(kāi)始的1,500,000,000個(gè)解驗證過(guò)。黎曼ζ函數ζ(s)是級數表達式黎曼猜想在復平面上的解析延拓。之所以要對這一表達式進(jìn)行解析延拓，是因為這一表達式只適用于復平面上s的實(shí)部
的區域（否則級數不收斂）。黎曼找到了這一表達式的解析延拓（當然黎曼沒(méi)有使用“解析延拓”這樣的現代復變函數論術(shù)語(yǔ)）。運用路徑積分，解析延拓后的黎曼ζ函數可以表示為：黎曼猜想這里我們采用的是歷史文獻中的記號，式中的積分實(shí)際是一個(gè)環(huán)繞正實(shí)軸進(jìn)行的圍道積分（即從
出發(fā)，沿實(shí)軸上方積分至原點(diǎn)附近，環(huán)繞原點(diǎn)積分至實(shí)軸下方，再沿實(shí)軸下方積分至
，而且離實(shí)軸的距離及環(huán)繞原點(diǎn)的半徑均趨于0)，按照現代數學(xué)記號應記成：其中積分路徑C跟上面所述相同，環(huán)繞正實(shí)軸，可以形象地這樣表示：式中的Γ函數Γ(s)是階乘函數在復平面上的推廣，對于正整數
。可以證明，這一積分表達式除了在
處有一個(gè)簡(jiǎn)單極點(diǎn)外在整個(gè)復平面上解析。這就是黎曼ζ函數的完整定義。
運用上面的積分表達式可以證明，黎曼ζ函數滿(mǎn)足以下代數關(guān)系式：從這個(gè)關(guān)系式中不難發(fā)現，黎曼ζ函數在
(n為正整數）取值為零-因為
為零。復平面上的這種使黎曼ζ函數取值為零的點(diǎn)被稱(chēng)為黎曼ζ函數的零點(diǎn)。因此
（n為正整數）是黎曼ζ函數的零點(diǎn)。這些零點(diǎn)分布有序、性質(zhì)簡(jiǎn)單，被稱(chēng)為黎曼ζ函數的平凡零點(diǎn)(trivialzero)。除了這些平凡零點(diǎn)外，黎曼ζ函數還有許多其它零點(diǎn)，它們的性質(zhì)遠比那些平凡零點(diǎn)來(lái)得復雜，被稱(chēng)為非平凡零點(diǎn)(non-trivialzeros)。
黎曼猜想提出：黎曼ζ函數的所有非平凡零點(diǎn)都位于復平面上
的直線(xiàn)上。也即方程ζ(s)=0的解的實(shí)部都是。在黎曼猜想的研究中，數學(xué)家們把復平面上
的直線(xiàn)稱(chēng)為criticalline（臨界線(xiàn)）。運用這一術(shù)語(yǔ)，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ函數的所有非平凡零點(diǎn)都位于criticalline上。猜想驗證進(jìn)展荷蘭三位數學(xué)家J．vandeLune，H．J．Rielete及D．T．Winter利用電子計算機來(lái)檢驗黎曼的假設，他們對最初的二億個(gè)齊打函數的零點(diǎn)檢驗，證明黎曼的假設是對的，他們在1981年宣布他們的結果，目前他們還繼續用電子計算機檢驗底下的一些零點(diǎn)。1982年11月蘇聯(lián)數學(xué)家馬帝葉雪維奇在蘇聯(lián)雜志《Kibernetika》宣布，他利用電腦檢驗一個(gè)與黎曼猜想有關(guān)的數學(xué)問(wèn)題，可以證明該問(wèn)題是正確的，從而反過(guò)來(lái)可以支持黎曼的猜想很可能是正確的。
1975年美國麻省理工學(xué)院的萊文森在他患癌癥去世前證明了
。
1980年中國數學(xué)家樓世拓、姚琦對萊文森的工作有一點(diǎn)改進(jìn)，他們證明了
。
1932年C.L.Siegel發(fā)表的文章中，有下面這樣一個(gè)公式：文章的作者根據這個(gè)公式的幾何意義以及cos函數的零點(diǎn)性質(zhì)，直接推導出來(lái)
，即證明了區域內的零點(diǎn)全部落在臨界線(xiàn)上。C.L.Siegel從黎曼的遺稿中共整理出來(lái)四個(gè)公式，其中有三個(gè)公式在文獻和教科書(shū)中經(jīng)常出現，唯獨上面這個(gè)公式，80多年來(lái)很少有文獻提到它，就連C.L.Siegel本人對于這個(gè)公式的作用也大惑不解。實(shí)際上，只要跳出解析數論來(lái)看黎曼手稿，就能清楚地看到，黎曼用復分析的幾何思想嚴格的證明了現代所說(shuō)的“黎曼猜想”。這也許是數學(xué)史上最大的冤案。
人物簡(jiǎn)介
黎曼(Riemann，GeorgeFriedrichBernhard，1826-1866，德國數學(xué)家）是黎曼幾何的創(chuàng )始人。他在讀博士學(xué)位期間，研究的是復變函數。他把通常的函數概念推廣到多值函數，并引進(jìn)了多葉黎曼曲面的直觀(guān)概念。他的博士論文受到了高斯的贊揚，也是他此后十年工作的基礎，包括：復變函數在A(yíng)bel積分和theta函數中的應用，函數的三角級數表示，微分幾何基礎等。
黎曼猜想是黎曼在1859年提出的。在證明素數定理的過(guò)程中，黎曼提出了一個(gè)論斷：Zeta函數的零點(diǎn)都在直線(xiàn)
上。他在作了一番努力而未能證明后便放棄了，因為這對他證明素數定理影響不大。但這一問(wèn)題至今仍然未能解決，甚至于比此假設簡(jiǎn)單的猜想也未能獲證。而函數論和解析數論中的很多問(wèn)題都依賴(lài)于黎曼假設。在代數數論中的廣義黎曼假設更是影響深遠。若能證明黎曼假設，則可帶動(dòng)許多問(wèn)題的解決。
等價(jià)定理
1901年HelgevonKoch指出，黎曼猜想與強條件的素數定理等價(jià)。
黎曼猜想疑似解決
11月17日，尼日利亞教授奧派耶米·伊諾克(OpeyemiEnoch)宣稱(chēng)成功解決已存在156年的數學(xué)難題——黎曼猜想，然而克雷數學(xué)研究所既不證實(shí)也不否認伊諾克博士正式解決了這一問(wèn)題。伊諾克博士在尼日利亞某大學(xué)任教。他表示，自己在2010年取得關(guān)鍵性突破，這為后來(lái)能夠解決這一千年難題奠定了基礎。他說(shuō)，自己之所以決定解決這一著(zhù)名的數學(xué)難題不是為了獎金，而是因為自己的學(xué)生。正是因為學(xué)生們相信自己，他才開(kāi)始嘗試解決這一數學(xué)難題。如果派耶米·伊諾克的證明被驗證，他將獲得100萬(wàn)美金，但克雷數學(xué)研究所官網(wǎng)目前并沒(méi)有做出回應，類(lèi)似的宣稱(chēng)證明黎曼猜想的事件歷史曾多次發(fā)生。
相關(guān)介紹
具體內容
黎曼觀(guān)察到，素數的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構造的所謂黎曼zeta函數ζ(s)的性態(tài)。黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線(xiàn)上。這點(diǎn)已經(jīng)對于開(kāi)始的1,500,000,000個(gè)解驗證過(guò)。
黎曼ζ 函數 ζ(s) 是級數表達式
在復平面上的解析延拓。
之所以要對這一表達式進(jìn)行解析延拓，是因為這一表達式只適用于復平面上 s 的實(shí)部 
的區域（否則級數不收斂）。黎曼找到了這一表達式的解析延拓（當然黎曼沒(méi)有使用“解析延拓”這樣的現代復變函數論術(shù)語(yǔ)）。運用路徑積分，解析延拓后的黎曼ζ 函數可以表示為：
這里我們采用的是歷史文獻中的記號，式中的積分實(shí)際是一個(gè)環(huán)繞正實(shí)軸進(jìn)行的圍道積分（即從 出發(fā)，沿實(shí)軸上方積分至原點(diǎn)附近，環(huán)繞原點(diǎn)積分至實(shí)軸下方，再沿實(shí)軸下方積分至 ，而且離實(shí)軸的距離及環(huán)繞原點(diǎn)的半徑均趨于 0)，按照現代數學(xué)記號應記成：
其中積分路徑C跟上面所述相同，環(huán)繞正實(shí)軸，可以形象地這樣表示：
式中的 Γ 函數 Γ(s) 是階乘函數在復平面上的推廣，對于正整數
。可以證明，這一積分表達式除了在
處有一個(gè)簡(jiǎn)單極點(diǎn)外在整個(gè)復平面上解析。這就是黎曼ζ 函數的完整定義。
運用上面的積分表達式可以證明，黎曼ζ 函數滿(mǎn)足以下代數關(guān)系式：
從這個(gè)關(guān)系式中不難發(fā)現，黎曼ζ 函數在 (n 為正整數）取值為零 - 因為
為零。復平面上的這種使黎曼ζ 函數取值為零的點(diǎn)被稱(chēng)為黎曼ζ 函數的零點(diǎn)。因此 （n 為正整數）是黎曼ζ 函數的零點(diǎn)。這些零點(diǎn)分布有序、性質(zhì)簡(jiǎn)單，被稱(chēng)為黎曼ζ 函數的平凡零點(diǎn) (trivial zero)。除了這些平凡零點(diǎn)外，黎曼ζ 函數還有許多其它零點(diǎn)，它們的性質(zhì)遠比那些平凡零點(diǎn)來(lái)得復雜，被稱(chēng)為非平凡零點(diǎn) (non-trivial zeros)。
黎曼ζ 函數的所有非平凡零點(diǎn)都位于復平面上 的直線(xiàn)上，也即方程的解的實(shí)部都是。
在黎曼猜想的研究中，數學(xué)家們把復平面上 的直線(xiàn)稱(chēng)為 critical line（臨界線(xiàn)）。運用這一術(shù)語(yǔ)，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ 函數的所有非平凡零點(diǎn)都位于 critical line 上。
黎曼猜想
等價(jià)定理
1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想與強條件的素數定理等價(jià)。
驗證進(jìn)展
荷蘭三位數學(xué)家J．van de Lune，H．J．Riele te以及D．T．Winter利用電子計算機來(lái)檢驗黎曼的假設，他們對最初的2億個(gè)zeta函數的零點(diǎn)檢驗。
1982年11月蘇聯(lián)數學(xué)家馬帝葉雪維奇在蘇聯(lián)雜志《Kibernetika》宣布。
1975年美國麻省理工學(xué)院的萊文森在他患癌癥去世前證明了。
1980年中國數學(xué)家樓世拓、姚琦對萊文森的工作有一點(diǎn)改進(jìn)，他們證明了。
1932年C.L.Siegel發(fā)表的文章中，有下面這樣一個(gè)公式：文章 的作者根據這個(gè)公式的幾何意義以及cos函數的零點(diǎn)性質(zhì)，直接推導出來(lái)，即證明了區域內的零點(diǎn)全部落在臨界線(xiàn)上。
黎曼用復分析的幾何思想嚴格地證明了現代所說(shuō)的“黎曼猜想”。這也許是數學(xué)史上最大的冤案。
英國《每日郵報》2015年11月17日報道，尼日利亞教授奧派耶米 伊諾克(Opeyemi Enoch)成功解決已存在156年的數學(xué)難題——黎曼猜想，獲得100萬(wàn)美元(約合人民幣630萬(wàn)元)的獎金。
然而，克萊數學(xué)研究所既不證實(shí)也不否認伊諾克博士正式解決了這一問(wèn)題，只是簡(jiǎn)單表示對這些千年數學(xué)難題的解決辦法不予評論。
2018年9月，邁克爾·阿蒂亞聲明證明黎曼猜想，將于9月24日海德堡獲獎?wù)?a class="dict" href="/know/2764868/">論壇上宣講。 9月24日，邁克爾·阿蒂亞貼出了他證明黎曼假設（猜想）的預印本，但這一證明的正確性尚待驗證。
黎曼猜想至今尚未被成功證明。
參考資料
[1]
偶社網(wǎng)：黎曼猜想生平簡(jiǎn)介[引用日期2010-01-11]
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