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黎曼猜想
1859年德國黎曼提出的假設
黎曼猜想是關(guān)于黎曼ζ函數(shù)ζ(s)的零點分布的猜想，由數(shù)學家黎曼于1859年提出。希爾伯特在第二屆國際數(shù)學家大會上提出了20世紀數(shù)學家應當努力解決的23個數(shù)學問題，被認為是20世紀數(shù)學的制高點，其中便包括黎曼假設?，F(xiàn)今克雷數(shù)學研究所懸賞的世界七大數(shù)學難題中也包括黎曼猜想。
與費爾馬猜想時隔三個半世紀以上才被解決，哥德巴赫猜想歷經(jīng)兩個半世紀以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一個半世紀的紀錄還差得很遠，但它在數(shù)學上的重要性要遠遠超過這兩個大眾知名度更高的猜想。
黎曼猜想是當今數(shù)學界最重要的數(shù)學難題。
基本信息
| 中文名 | 黎曼猜想 |
| 別名 | 黎曼假設 |
| 外文名 | Riemann Hypothesis |
| 提出者 | 波恩哈德·黎曼 |
| 定義 | |
| 國家 | 德國 |
| 分類 | 數(shù)學 |
| 1859年 | 1859年 |
收起
簡介
黎曼在1859年在論文《在給定大小之下的素數(shù)個數(shù)》中做出這樣的猜想：
函數(shù)位于
之間的全部零點都在
之上，即零點的實部都是
，這至今仍是未解決的問題。
學術(shù)論證
猜想來源
黎曼猜想是黎曼1859年提出的，這位數(shù)學家于1826年出生在一座如今屬于德國，當時屬于漢諾威王國的名叫布列斯倫茨的小鎮(zhèn)。1859年，黎曼被選為了柏林科學院的通信院士。作為對這一崇高榮譽的回報，他向柏林科學院提交了一篇題為“論小于給定數(shù)值的素數(shù)個數(shù)”的論文。這篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜想的“誕生地”。
黎曼那篇論文所研究的是一個數(shù)學家們長期以來就很感興趣的問題，即素數(shù)的分布。素數(shù)是像2、5、19、137那樣除了1和自身以外不能被其他正整數(shù)整除的數(shù)。這些數(shù)在數(shù)論研究中有著極大的重要性，因為所有大于1的正整數(shù)都可以表示成它們的乘積。從某種意義上講，它們在數(shù)論中的地位類似于物理世界中用以構(gòu)筑萬物的原子。素數(shù)的定義簡單得可以在中學甚至小學課上進行講授，但它們的分布卻奧妙得異乎尋常，數(shù)學家們付出了極大的心力，卻迄今仍未能徹底了解
黎曼論文的一個重大的成果，就是發(fā)現(xiàn)了素數(shù)分布的奧秘完全蘊藏在一個特殊的函數(shù)之中，尤其是使那個函數(shù)取值為零的一系列特殊的點對素數(shù)分布的細致規(guī)律有著決定性的影響。那個函數(shù)如今被稱為黎曼ζ函數(shù)，那一系列特殊的點則被稱為黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點。
有意思的是，黎曼那篇文章的成果雖然重大，文字卻極為簡練，甚至簡練得有些過分，因為它包括了很多“證明從略”的地方。而要命的是，“證明從略”原本是應該用來省略那些顯而易見的證明的，黎曼的論文卻并非如此，他那些“證明從略”的地方有些花費了后世數(shù)學家們幾十年的努力才得以補全，有些甚至直到今天仍是空白。但黎曼的論文在為數(shù)不少的“證明從略”之外，卻引人注目地包含了一個他明確承認了自己無法證明的命題，那個命題就是黎曼猜想。黎曼猜想自1859年“誕生”以來，已過了一百五十多個春秋，在這期間，它就像一座巍峨的山峰，吸引了無數(shù)數(shù)學家前去攀登，卻誰也沒能登頂。
當然，如果僅從時間上比較的話，黎曼猜想的這個紀錄跟費爾馬猜想時隔三個半世紀以上才被解決，以及哥德巴赫猜想歷經(jīng)兩個半世紀以上屹立不倒相比，還差得很遠。但黎曼猜想在數(shù)學上的重要性卻要遠遠超過這兩個大眾知名度更高的猜想。有人統(tǒng)計過，在當今數(shù)學文獻中已有超過一千條數(shù)學命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提。如果黎曼猜想被證明，所有那些數(shù)學命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數(shù)學命題中起碼有一部分將成為陪葬。一個數(shù)學猜想與為數(shù)如此眾多的數(shù)學命題有著密切關(guān)聯(lián)，這是極為罕有的。
猜想內(nèi)容
黎曼觀察到，素數(shù)的頻率緊密相關(guān)于一個精心構(gòu)造的所謂黎曼zeta函數(shù)ζ()的性態(tài)。黎曼假設斷言，方程
的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經(jīng)對于開始的1,500,000,000個解驗證過。黎曼ζ函數(shù)ζ(s)是級數(shù)表達式黎曼猜想在復平面上的解析延拓。之所以要對這一表達式進行解析延拓，是因為這一表達式只適用于復平面上s的實部
的區(qū)域（否則級數(shù)不收斂）。黎曼找到了這一表達式的解析延拓（當然黎曼沒有使用“解析延拓”這樣的現(xiàn)代復變函數(shù)論術(shù)語）。運用路徑積分，解析延拓后的黎曼ζ函數(shù)可以表示為：黎曼猜想這里我們采用的是歷史文獻中的記號，式中的積分實際是一個環(huán)繞正實軸進行的圍道積分（即從
出發(fā)，沿實軸上方積分至原點附近，環(huán)繞原點積分至實軸下方，再沿實軸下方積分至
，而且離實軸的距離及環(huán)繞原點的半徑均趨于0)，按照現(xiàn)代數(shù)學記號應記成：其中積分路徑C跟上面所述相同，環(huán)繞正實軸，可以形象地這樣表示：式中的Γ函數(shù)Γ(s)是階乘函數(shù)在復平面上的推廣，對于正整數(shù)
?？梢宰C明，這一積分表達式除了在
處有一個簡單極點外在整個復平面上解析。這就是黎曼ζ函數(shù)的完整定義。
運用上面的積分表達式可以證明，黎曼ζ函數(shù)滿足以下代數(shù)關(guān)系式：從這個關(guān)系式中不難發(fā)現(xiàn)，黎曼ζ函數(shù)在
(n為正整數(shù)）取值為零-因為
為零。復平面上的這種使黎曼ζ函數(shù)取值為零的點被稱為黎曼ζ函數(shù)的零點。因此
（n為正整數(shù)）是黎曼ζ函數(shù)的零點。這些零點分布有序、性質(zhì)簡單，被稱為黎曼ζ函數(shù)的平凡零點(trivialzero)。除了這些平凡零點外，黎曼ζ函數(shù)還有許多其它零點，它們的性質(zhì)遠比那些平凡零點來得復雜，被稱為非平凡零點(non-trivialzeros)。
黎曼猜想提出：黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點都位于復平面上
的直線上。也即方程ζ(s)=0的解的實部都是。在黎曼猜想的研究中，數(shù)學家們把復平面上
的直線稱為criticalline（臨界線）。運用這一術(shù)語，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點都位于criticalline上。猜想驗證進展荷蘭三位數(shù)學家J．vandeLune，H．J．Rielete及D．T．Winter利用電子計算機來檢驗黎曼的假設，他們對最初的二億個齊打函數(shù)的零點檢驗，證明黎曼的假設是對的，他們在1981年宣布他們的結(jié)果，目前他們還繼續(xù)用電子計算機檢驗底下的一些零點。1982年11月蘇聯(lián)數(shù)學家馬帝葉雪維奇在蘇聯(lián)雜志《Kibernetika》宣布，他利用電腦檢驗一個與黎曼猜想有關(guān)的數(shù)學問題，可以證明該問題是正確的，從而反過來可以支持黎曼的猜想很可能是正確的。
1975年美國麻省理工學院的萊文森在他患癌癥去世前證明了
。
1980年中國數(shù)學家樓世拓、姚琦對萊文森的工作有一點改進，他們證明了
。
1932年C.L.Siegel發(fā)表的文章中，有下面這樣一個公式：文章的作者根據(jù)這個公式的幾何意義以及cos函數(shù)的零點性質(zhì)，直接推導出來
，即證明了區(qū)域內(nèi)的零點全部落在臨界線上。C.L.Siegel從黎曼的遺稿中共整理出來四個公式，其中有三個公式在文獻和教科書中經(jīng)常出現(xiàn)，唯獨上面這個公式，80多年來很少有文獻提到它，就連C.L.Siegel本人對于這個公式的作用也大惑不解。實際上，只要跳出解析數(shù)論來看黎曼手稿，就能清楚地看到，黎曼用復分析的幾何思想嚴格的證明了現(xiàn)代所說的“黎曼猜想”。這也許是數(shù)學史上最大的冤案。
人物簡介
黎曼(Riemann，GeorgeFriedrichBernhard，1826-1866，德國數(shù)學家）是黎曼幾何的創(chuàng)始人。他在讀博士學位期間，研究的是復變函數(shù)。他把通常的函數(shù)概念推廣到多值函數(shù)，并引進了多葉黎曼曲面的直觀概念。他的博士論文受到了高斯的贊揚，也是他此后十年工作的基礎，包括：復變函數(shù)在Abel積分和theta函數(shù)中的應用，函數(shù)的三角級數(shù)表示，微分幾何基礎等。
黎曼猜想是黎曼在1859年提出的。在證明素數(shù)定理的過程中，黎曼提出了一個論斷：Zeta函數(shù)的零點都在直線
上。他在作了一番努力而未能證明后便放棄了，因為這對他證明素數(shù)定理影響不大。但這一問題至今仍然未能解決，甚至于比此假設簡單的猜想也未能獲證。而函數(shù)論和解析數(shù)論中的很多問題都依賴于黎曼假設。在代數(shù)數(shù)論中的廣義黎曼假設更是影響深遠。若能證明黎曼假設，則可帶動許多問題的解決。
等價定理
1901年HelgevonKoch指出，黎曼猜想與強條件的素數(shù)定理等價。
黎曼猜想疑似解決
11月17日，尼日利亞教授奧派耶米·伊諾克(OpeyemiEnoch)宣稱成功解決已存在156年的數(shù)學難題——黎曼猜想，然而克雷數(shù)學研究所既不證實也不否認伊諾克博士正式解決了這一問題。伊諾克博士在尼日利亞某大學任教。他表示，自己在2010年取得關(guān)鍵性突破，這為后來能夠解決這一千年難題奠定了基礎。他說，自己之所以決定解決這一著名的數(shù)學難題不是為了獎金，而是因為自己的學生。正是因為學生們相信自己，他才開始嘗試解決這一數(shù)學難題。如果派耶米·伊諾克的證明被驗證，他將獲得100萬美金，但克雷數(shù)學研究所官網(wǎng)目前并沒有做出回應，類似的宣稱證明黎曼猜想的事件歷史曾多次發(fā)生。
相關(guān)介紹
具體內(nèi)容
黎曼觀察到，素數(shù)的頻率緊密相關(guān)于一個精心構(gòu)造的所謂黎曼zeta函數(shù)ζ(s)的性態(tài)。黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經(jīng)對于開始的1,500,000,000個解驗證過。
黎曼ζ 函數(shù) ζ(s) 是級數(shù)表達式
在復平面上的解析延拓。
之所以要對這一表達式進行解析延拓，是因為這一表達式只適用于復平面上 s 的實部 
的區(qū)域（否則級數(shù)不收斂）。黎曼找到了這一表達式的解析延拓（當然黎曼沒有使用“解析延拓”這樣的現(xiàn)代復變函數(shù)論術(shù)語）。運用路徑積分，解析延拓后的黎曼ζ 函數(shù)可以表示為：
這里我們采用的是歷史文獻中的記號，式中的積分實際是一個環(huán)繞正實軸進行的圍道積分（即從 出發(fā)，沿實軸上方積分至原點附近，環(huán)繞原點積分至實軸下方，再沿實軸下方積分至 ，而且離實軸的距離及環(huán)繞原點的半徑均趨于 0)，按照現(xiàn)代數(shù)學記號應記成：
其中積分路徑C跟上面所述相同，環(huán)繞正實軸，可以形象地這樣表示：
式中的 Γ 函數(shù) Γ(s) 是階乘函數(shù)在復平面上的推廣，對于正整數(shù)
?？梢宰C明，這一積分表達式除了在
處有一個簡單極點外在整個復平面上解析。這就是黎曼ζ 函數(shù)的完整定義。
運用上面的積分表達式可以證明，黎曼ζ 函數(shù)滿足以下代數(shù)關(guān)系式：
從這個關(guān)系式中不難發(fā)現(xiàn)，黎曼ζ 函數(shù)在 (n 為正整數(shù)）取值為零 - 因為
為零。復平面上的這種使黎曼ζ 函數(shù)取值為零的點被稱為黎曼ζ 函數(shù)的零點。因此 （n 為正整數(shù)）是黎曼ζ 函數(shù)的零點。這些零點分布有序、性質(zhì)簡單，被稱為黎曼ζ 函數(shù)的平凡零點 (trivial zero)。除了這些平凡零點外，黎曼ζ 函數(shù)還有許多其它零點，它們的性質(zhì)遠比那些平凡零點來得復雜，被稱為非平凡零點 (non-trivial zeros)。
黎曼ζ 函數(shù)的所有非平凡零點都位于復平面上 的直線上，也即方程的解的實部都是。
在黎曼猜想的研究中，數(shù)學家們把復平面上 的直線稱為 critical line（臨界線）。運用這一術(shù)語，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ 函數(shù)的所有非平凡零點都位于 critical line 上。
黎曼猜想
等價定理
1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想與強條件的素數(shù)定理等價。
驗證進展
荷蘭三位數(shù)學家J．van de Lune，H．J．Riele te以及D．T．Winter利用電子計算機來檢驗黎曼的假設，他們對最初的2億個zeta函數(shù)的零點檢驗。
1982年11月蘇聯(lián)數(shù)學家馬帝葉雪維奇在蘇聯(lián)雜志《Kibernetika》宣布。
1975年美國麻省理工學院的萊文森在他患癌癥去世前證明了。
1980年中國數(shù)學家樓世拓、姚琦對萊文森的工作有一點改進，他們證明了。
1932年C.L.Siegel發(fā)表的文章中，有下面這樣一個公式：文章 的作者根據(jù)這個公式的幾何意義以及cos函數(shù)的零點性質(zhì)，直接推導出來，即證明了區(qū)域內(nèi)的零點全部落在臨界線上。
黎曼用復分析的幾何思想嚴格地證明了現(xiàn)代所說的“黎曼猜想”。這也許是數(shù)學史上最大的冤案。
英國《每日郵報》2015年11月17日報道，尼日利亞教授奧派耶米 伊諾克(Opeyemi Enoch)成功解決已存在156年的數(shù)學難題——黎曼猜想，獲得100萬美元(約合人民幣630萬元)的獎金。
然而，克萊數(shù)學研究所既不證實也不否認伊諾克博士正式解決了這一問題，只是簡單表示對這些千年數(shù)學難題的解決辦法不予評論。
黎曼猜想至今尚未被成功證明。
參考資料
[1]
偶社網(wǎng)：黎曼猜想生平簡介[引用日期2010-01-11]
黎曼猜想相關(guān)的文章
小編整理：歐麥爾二世是阿拉伯帝國伍麥葉王朝的第八任哈里發(fā)，他在位時間為717年至720年。歐麥爾二世是阿卜杜勒·阿齊茲的兒子，他的全名為歐麥爾·本·阿卜杜勒·阿齊茲·本·麥爾旺·本·哈凱姆。歐麥爾二世生于埃及的赫勒萬，他在其父的熏陶下自幼能背誦《古蘭經(jīng)》，并初
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尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒寫！
作者
