為了對實(shí)數連續統進(jìn)行嚴格描述而產(chǎn)生的理論。實(shí)數理論的產(chǎn)生源于對微積分的理論基礎嚴密化的追求，人類(lèi)早期對實(shí)數的認識僅僅局限于應用，對無(wú)理數的本質(zhì)認識是不清楚的，并沒(méi)有嚴格的定義，微積分誕生之后，隨著(zhù)對變量與函數的認識逐漸清晰，出于嚴密化的需要，先后誕生了極限理論、實(shí)數理論。實(shí)數理論是分析基礎的三大部分之一，另外兩個(gè)部分是極限理論、變量與函數。極限理論是數學(xué)分析的基本研究方法，而變量與函數是數學(xué)分析的基本研究對象。實(shí)數理論的成功建立，使得分析基礎形成了一個(gè)完整的體系，標志著(zhù)由魏爾斯特拉斯倡導的分析算術(shù)化運動(dòng)大致宣告完成，從而第一次數學(xué)危機也在真正的意義上得到了解決。

中文名

實(shí)數理論

外文名

real number theory

別名

實(shí)數論

應用學(xué)科

數學(xué)

理論基礎

公理集合論

研究?jì)热?/span>

實(shí)數定義及相關(guān)運算的嚴格表述

基本介紹

德國數學(xué)家戴德金

實(shí)數是數學(xué)中最基本的概念之一。實(shí)數與數軸上的點(diǎn)可以一一對應。數學(xué)分析所研究的函數，其自變量都取實(shí)數值，因此認識和了解實(shí)數是建立嚴格的分析理論不可缺少的基礎（“分析基礎”）。實(shí)數包括有理數與無(wú)理數，而從歐幾里得以來(lái)，人們都把它們理解為單位長(cháng)線(xiàn)段可公度與不可公度的線(xiàn)段的長(cháng)度。到17世紀，人們對實(shí)數的使用已經(jīng)習以為常，并開(kāi)始脫離其幾何原型抽象地認識實(shí)數。但到19世紀中葉，在分析嚴格化的進(jìn)程中，由于一些事實(shí)無(wú)法證明（例如，柯西無(wú)法證明自己提出的收斂準則的充分性），一些證明出了錯（如波爾查諾對連續函數介值性的證明），人們才發(fā)現對實(shí)數特別是無(wú)理數的認識仍然模糊不清，這才促使一批數學(xué)家關(guān)注于處理無(wú)理數的問(wèn)題。通過(guò)他們的努力，終于在將近半個(gè)世紀的時(shí)間里，建立了多種形式上不同，而實(shí)質(zhì)上等價(jià)的嚴格的實(shí)數理論。各種形式的構造性實(shí)數理論，都是首先從有理數出發(fā)去定義無(wú)理數，也就是說(shuō)，數軸上有理點(diǎn)之間的所有空隙（無(wú)理點(diǎn)），都可以由有理數經(jīng)過(guò)一定的方式來(lái)確定。然后證明這樣定義的實(shí)數（原有的有理數和新定義的無(wú)理數）具有人們原來(lái)熟知的實(shí)數所應有的一切性質(zhì)，特別是連續性。這些形式上不同的實(shí)數理論也就因確定空隙的方法不同而互相區分，它們主要有：戴德金用有理數的分割的方法，康托爾用有理數的基本列的方法，魏爾斯特拉斯用無(wú)窮（非循環(huán)）十進(jìn)小數的方法，以及用端點(diǎn)為有理點(diǎn)的閉區間套和有界單調有理數列的方法。站在現代數學(xué)的立場(chǎng)來(lái)看，上述各種方法都是從假定實(shí)數具有某種特性出發(fā)的（如戴德金的方法假定了實(shí)數的連續性，康托爾假定的是完備性，而用閉區間套的方法反映了實(shí)軸上有界閉集的緊性），而這些特性在實(shí)數范圍內都是等價(jià)的，因而用這些方法定義出的實(shí)數都是完全相同的。此外，還有一種與上述構造法完全不同的定義實(shí)數的方法（即“實(shí)數公理”）。他將實(shí)數應有的一些基本性質(zhì)列為一個(gè)公理系統，然后將滿(mǎn)足這個(gè)公理系統的對象定義為實(shí)數。基于這些公理的實(shí)數理論與上述基于構造法的也相互等價(jià)。

當然還應當指出，不僅極限理論需要在實(shí)數系中才能成立，就是中學(xué)數學(xué)中的許多初等函數，除了多項式和有理分式之外，沒(méi)有實(shí)數也是無(wú)法給出定義的。將無(wú)限不循環(huán)小數定義為無(wú)理數是容易為學(xué)生所接受的，但在這樣定義的實(shí)數系內四則運算是如何進(jìn)行的，還是完全不清楚的，而且實(shí)際上也不是簡(jiǎn)單的。至于指數和對數

當其中

都是實(shí)數時(shí)應當如何定義就更加困難了。由此可見(jiàn)，即使為了對初等函數給出嚴格的定義，也需要回答什么是實(shí)數這樣一個(gè)問(wèn)題。當然這不是中學(xué)數學(xué)要承擔的任務(wù)。

歷史背景

畢達哥拉斯學(xué)派

公元前500年，古希臘畢達哥拉斯(Pythagoras)學(xué)派的弟子希帕索斯(Hippasus)發(fā)現了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對角線(xiàn)與其一邊的長(cháng)度是不可公度的(若正方形邊長(cháng)是1，則對角線(xiàn)的長(cháng)不是一個(gè)有理數)這一不可公度性與畢氏學(xué)派“萬(wàn)物皆為數”(指有理數)的哲理大相徑庭。這一發(fā)現使該學(xué)派領(lǐng)導人惶恐、惱怒，認為這將動(dòng)搖他們在學(xué)術(shù)界的統治地位。希帕索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的懲處。

畢氏弟子的發(fā)現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷，證明它不能同連續的無(wú)限直線(xiàn)同等看待，有理數并沒(méi)有布滿(mǎn)數軸上的點(diǎn)，在數軸上存在著(zhù)不能用有理數表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經(jīng)后人證明簡(jiǎn)直多得“不可勝數”。于是，古希臘人把有理數視為連續銜接的那種算術(shù)連續統的設想徹底地破滅了。不可公度量的發(fā)現連同著(zhù)名的芝諾悖論一同被稱(chēng)為數學(xué)史上的第一次危機（第一次數學(xué)危機），對以后2000多年數學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺(jué)、經(jīng)驗而轉向依靠證明，推動(dòng)了公理幾何學(xué)與邏輯學(xué)的發(fā)展，并且孕育了微積分的思想萌芽。

不可通約的本質(zhì)是什么？長(cháng)期以來(lái)眾說(shuō)紛壇，得不到正確的解釋?zhuān)瑑蓚€(gè)不可通約的比值也一直被認為是不可理喻的數。15世紀意大利著(zhù)名畫(huà)家達。芬奇稱(chēng)之為“無(wú)理的數”，17世紀德國天文學(xué)家開(kāi)普勒稱(chēng)之為“不可名狀”的數。

然而，真理畢竟是淹沒(méi)不了的，畢氏學(xué)派抹殺真理才是“無(wú)理”。人們?yōu)榱思o念希帕索斯這位為真理而獻身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名為“無(wú)理數”——這便是“無(wú)理數”的由來(lái)。

畢達哥拉斯

無(wú)理數的發(fā)現，擊碎了畢達哥拉斯學(xué)派“萬(wàn)物皆數”的美夢(mèng)。同時(shí)暴露出有理數系的缺陷：一條直線(xiàn)上的有理數盡管是“稠密”，但是它卻漏出了許多“孔隙”，而且這種“孔隙”多的“不可勝數”。這樣，古希臘人把有理數視為是連續銜接的那種算術(shù)連續統的設想，就徹底的破滅了。它的破滅，在以后兩千多年時(shí)間內，對數學(xué)的發(fā)展，起到了深遠的影響。不可通約的本質(zhì)是什么？長(cháng)期以來(lái)眾說(shuō)紛紜。兩個(gè)不可通約量的比值也因其得不到正確的解釋?zhuān)徽J為是不可理喻的數。15世紀達芬奇（LeonardodaVinci,1452-1519）把它們稱(chēng)為是“無(wú)理的數”（irrationalnumber），開(kāi)普勒（J.Kepler,1571-1630）稱(chēng)它們是“不可名狀”的數。這些“無(wú)理”而又“不可名狀”的數，找到雖然在后來(lái)的運算中漸漸被使用，但是它們究竟是不是實(shí)實(shí)在在的數，卻一直是個(gè)困擾人的問(wèn)題。

中國古代數學(xué)在處理開(kāi)方問(wèn)題時(shí)，也不可避免地碰到無(wú)理根數。對于這種“開(kāi)之不盡”的數，《九章算術(shù)》直截了當地“以面命之”予以接受，劉徽注釋中的“求其微數”，實(shí)際上是用10進(jìn)小數來(lái)無(wú)限逼近無(wú)理數。這本是一條完成實(shí)數系統的正確道路，只是劉徽的思想遠遠超越了他的時(shí)代，而未能引起后人的重視。不過(guò)，中國傳統數學(xué)關(guān)注的是數量的計算，對數的本質(zhì)并沒(méi)有太大的興趣，而善于究根問(wèn)底的希臘人就無(wú)法邁過(guò)這道坎了。既然不能克服它，那就只好回避它。此后的希臘數學(xué)家，如歐多克斯（Eudoxus）、歐幾里得（Euclid）在他們的幾何學(xué)里，都嚴格避免把數與幾何量等同起來(lái)。歐多克斯的比例論（見(jiàn)《幾何原本》第5卷），使幾何學(xué)在邏輯上繞過(guò)了不可公度的障礙，但就在這以后的漫長(cháng)時(shí)期中，形成了幾何與算術(shù)的顯著(zhù)分離。

法國數學(xué)家柯西

17、18世紀微積分的發(fā)展幾乎吸引了所有數學(xué)家的注意力，恰恰是人們對微積分基礎的關(guān)注，使得實(shí)數域的連續性問(wèn)題再次突顯出來(lái)。因為，微積分是建立在極限運算基礎上的變量數學(xué)，而極限運算，需要一個(gè)封閉的數域。無(wú)理數正是實(shí)數域連續性的關(guān)鍵。

無(wú)理數是什么？法國數學(xué)家柯西（A.Cauchy,1789-1875）給出了回答：無(wú)理數是有理數序列的極限。然而按照柯西的極限定義，所謂有理數序列的極限，意即預先存在一個(gè)確定的數，使它與序列中各數的差值，當序列趨于無(wú)窮時(shí)，可以任意小。但是，這個(gè)預先存在的“數”，又從何而來(lái)呢？在柯西看來(lái)，有理序列的極限，似乎是先驗地存在的。這表明，柯西盡管是那個(gè)時(shí)代大分析學(xué)家，但仍未能擺脫兩千多年來(lái)以幾何直覺(jué)為立論基礎的傳統觀(guān)念的影響。

變量數學(xué)獨立建造完備數域的歷史任務(wù)，終于在19世紀后半葉，由魏爾斯特拉斯（Weierstrass,1815-1897）、戴德金（R.Dedekind1831-1916）、康托（G.Cantor,1845-1918）等人加以完成了。

1872年，是近代數學(xué)史上最值得紀念的一年。這一年，克萊因（F.Kline,1849-1925）提出了著(zhù)名的“埃爾朗根綱領(lǐng)”（ErlangerProgramm），魏爾斯特拉斯給出了處處連續但處處不可微函數的著(zhù)名例子。也正是在這一年，實(shí)數的三大派理論：戴德金“分割”理論；康托的“基本序列”理論，以及魏爾斯特拉斯的“有界單調序列”理論，同時(shí)在德國出現了。

德國數學(xué)家克萊因

努力建立實(shí)數的目的，是為了給出一個(gè)形式化的邏輯定義，它既不依賴(lài)幾何的含義，又避免用極限來(lái)定義無(wú)理數的邏輯錯誤。有了這些定義做基礎，微積分中關(guān)于極限的基本定理的推導，才不會(huì )有理論上的循環(huán)。導數和積分從而可以直接在這些定義上建立起來(lái)，免去任何與感性認識聯(lián)系的性質(zhì)。幾何概念是不能給出充分明白和精確的，這在微積分發(fā)展的漫長(cháng)歲月的過(guò)程中已經(jīng)被證明。因此，必要的嚴格性只有通過(guò)數的概念，并且在割斷數的概念與幾何量觀(guān)念的聯(lián)系之后才能完全達到。這里，戴德金的工作受到了崇高的評價(jià)，這是因為，由“戴德金分割”定義的實(shí)數，是完全不依賴(lài)于空間與時(shí)間直觀(guān)的人類(lèi)智慧的創(chuàng )造物。

實(shí)數的三大派理論本質(zhì)上是對無(wú)理數給出嚴格定義，從而建立了完備的實(shí)數域。實(shí)數域的構造成功，使得兩千多年來(lái)存在于算術(shù)與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無(wú)理數不再是“無(wú)理的數”了，古希臘人的算術(shù)連續統的設想，也終于在嚴格的科學(xué)意義下得以實(shí)現。

由于實(shí)數理論的內容過(guò)于龐大，處理方式也各有不同，因此，它的有關(guān)理論也散見(jiàn)于各種文獻中，以下是對定義實(shí)數系方法的文獻綜述。

文獻綜述

公理化方法

所謂公理化方法，起源于古希臘數學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》。在該書(shū)中對于幾何學(xué)提出了為數絕少的幾條公理，然后用邏輯推理的方法得到所有其它定理，從而將整個(gè)幾何學(xué)建成為一個(gè)明白易懂又非常嚴格的邏輯體系。只要公理不錯，則所有得到的定理的真理性也就沒(méi)有問(wèn)題。這里的所謂公理，聽(tīng)起來(lái)似乎抽象，實(shí)際上就是大家都能夠接受，對它們的正確性沒(méi)有疑問(wèn)的幾個(gè)事實(shí)。

所謂實(shí)數系的公理化方法也是如此，我們將心目中實(shí)數應當具有的盡可能少的獨立性質(zhì)列出來(lái)作為公理，使得其他性質(zhì)都可以由公理推出來(lái)，這就建成了一個(gè)公理化系統（“實(shí)數公理”）。

希爾伯特公理化方法刻畫(huà)了我們所需要的實(shí)數系究竟是什么樣的，它解決了中學(xué)數學(xué)中有關(guān)實(shí)數的許多遺留問(wèn)題，如到底什么是實(shí)數的加法和乘法，為什么實(shí)數的加法滿(mǎn)足交換律、結合律，乘法也滿(mǎn)足交換律、結合律等，可以理解為公理規定的，事實(shí)上，如果提供更為基本的假設（比如在有理數的基礎上），這些運算律都是可以證明的。它還保證了

實(shí)數系的基本定理

的成立，為數學(xué)分析中極限理論的展開(kāi)提供了必要的舞臺。而滿(mǎn)足這些公理的實(shí)數系是否存在，存在性問(wèn)題是靠下述各種構造方法解決的，也就是給出生成實(shí)數系的具體方法，同時(shí)證明在其中滿(mǎn)足公理化方法中列出的所有公理。有關(guān)公理化的方法可以參看卓里奇的《數學(xué)分析（第一卷）》。

存在性

實(shí)數系的存在性是通過(guò)

構造法

引入的，以下是構造實(shí)數系的三種方法（主要是從有理數定義出無(wú)理數）。

1.戴德金分割方法

德國數學(xué)家蘭道

戴德金分割的方法在有關(guān)數學(xué)分析的著(zhù)作中多有介紹。最經(jīng)典的敘述是蘭道特地為此編寫(xiě)的小書(shū)《分析基礎》，這本書(shū)的副標題就是“整數、有理數、實(shí)數、復數的運算”，該書(shū)從自然數出發(fā)，一直定義到復數，把完整的數系定義展現了出來(lái)。

在前蘇聯(lián)的數學(xué)分析教材中對戴德金方法做完整敘述的，首推由三卷本組成的經(jīng)典教材：菲赫金哥爾茨的《微積分學(xué)教程》。該書(shū)的緒論對戴德金分割方法有完整的敘述，它為全書(shū)奠定了牢靠的基礎。另外還可以看亞歷山大羅夫的《集與函數的泛論初階》和辛欽的《數學(xué)分析八講》第一講，魯金的《實(shí)變函數論》附錄Ⅰ，華東師范大學(xué)數學(xué)系的《數學(xué)分析（第三版）》附錄Ⅱ。

在西方教材中，斯皮瓦克的《微積分》在開(kāi)始時(shí)用兩章詳細介紹了數系的公理，書(shū)末又用三章講如何構造實(shí)數；盧丁的《數學(xué)分析原理》的第一章和附錄有對實(shí)數理論簡(jiǎn)短的敘述。這兩種教材對戴德金分割的方法都有所改動(dòng)，從數學(xué)史（波耶的《微積分概念史，對導數與積分的歷史性評論》一書(shū)中）知道，這基本上就是羅素提出的實(shí)數定義方法。

在各種引入實(shí)數系的方法中，戴德金分割方法受到了高度的評價(jià)，被稱(chēng)作完全不依賴(lài)于空間與時(shí)間直觀(guān)的人類(lèi)智慧的創(chuàng )造物。

2.康托爾的基本列（即柯西列）方法

這方面的內容可以參考辛欽的《數學(xué)分析簡(jiǎn)明教程》第四章，范德瓦爾登的《代數學(xué)》第68節，許紹溥、宋國柱等編的《數學(xué)分析》第五章，鄒應的《數學(xué)分析》第二章以及華東師范大學(xué)數學(xué)系的《數學(xué)分析（第一版）》的附錄Ⅱ。

3.魏爾斯特拉斯從十進(jìn)小數表示出發(fā)的方法

德國數學(xué)家魏爾斯特拉斯

這種方法與前兩個(gè)方法不同，不需要引入新的數學(xué)對象作為無(wú)理數，而是從中學(xué)已有的定義出發(fā)，即承認十進(jìn)制有限小數和無(wú)限循環(huán)小數是有理數，而十進(jìn)制無(wú)限非循環(huán)小數則是無(wú)理數。這樣就比較容易為中學(xué)生所接受。因此也稱(chēng)為

中學(xué)生的實(shí)數理論

。

但為什么是十進(jìn)制無(wú)限非循環(huán)小數？這里不可避免地涉及到極限問(wèn)題。在有了柯西準則之后，我們可以從數列極限或無(wú)窮級數之和來(lái)理解十進(jìn)制無(wú)限非循環(huán)小數。但在建立實(shí)數系之前是不能如此理解的，否則就與歷史上的柯西犯同樣的錯誤了。

因此，為了避免邏輯上的循環(huán)定義，在將十進(jìn)制無(wú)限非循環(huán)小數定義為無(wú)理數時(shí)，一開(kāi)始不可能將它看成是一個(gè)無(wú)窮級數的和，而只是將它看成一個(gè)純粹的記號，一個(gè)還不清楚有什么意義的數學(xué)對象。然后在所有十進(jìn)制小數全體組成的集合內引入加法、乘法運算，并規定其中任何兩個(gè)小數之間的序，并驗證它滿(mǎn)足域公理、序公理、阿基米德公理和連續性公理這4組公理。當然這里需要經(jīng)過(guò)很多步驟的推論。事實(shí)上，認為這樣一種記號代表實(shí)數也是一種數學(xué)抽象，而且這也是連續性公理的另一種等價(jià)形式，歷史上沃利斯于1696年將有理數與循環(huán)小數等同。而斯托爾茨則于1886年提出將十進(jìn)制無(wú)限非循環(huán)小數作為無(wú)理數的定義，但仍未建立起一個(gè)滿(mǎn)意的實(shí)數理論。

從十進(jìn)制小數開(kāi)始講實(shí)數的教材很多，例如可以參考阿黑波夫的《數學(xué)分析講義》，關(guān)肇直的《高等數學(xué)教程》和華羅庚的《高等數學(xué)引論》等。在張筑生的《數學(xué)分析新講》的第一章比較詳細的講解了在十進(jìn)制小數中引入四則運算的嚴格方法。

可以歸入這條途徑的還有一種做法，就是引進(jìn)以有理數為端點(diǎn)的閉區間套原理作為連續性公理的一種替代物。它既比較直觀(guān)，同時(shí)又避開(kāi)了十進(jìn)制無(wú)限非循環(huán)小數這類(lèi)一開(kāi)始難以說(shuō)清楚的對象，也是一種好方法。

惟一性

首先要明白這里惟一性的確切含義，這里指的是在同構意義上的惟一性，具體來(lái)說(shuō)，就是證明凡是滿(mǎn)足實(shí)數公理的實(shí)數系模型都是同構的。

按照戴德金方法建立實(shí)數系后對其在同構意義下的惟一性的討論可以參看斯皮瓦克的《微積分》最后一章“實(shí)數的惟一性”。按照康托爾的柯西列方法建立實(shí)數系時(shí)的惟一性的討論可以參看許紹溥、宋國柱等編的《數學(xué)分析》第五章的最后部分的證明。