轉動(dòng)慣量（物體繞軸轉動(dòng)時(shí)慣性的量度）
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轉動(dòng)慣量是物體繞軸轉動(dòng)時(shí)慣性的量度，它是經(jīng)典力學(xué)中一個(gè)非常重要的概念。了解物體的轉動(dòng)慣量可以讓我們更好地預測物體在旋轉運動(dòng)中的行為。 轉動(dòng)慣量的SI單位是kg·m2，表示物體對于轉軸的轉動(dòng)慣性的大小。對于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，轉動(dòng)慣量I等于質(zhì)量m與質(zhì)點(diǎn)到轉軸垂直距離r的平方的乘積，即I=mr2。 轉動(dòng)慣量是一個(gè)非常重要的物理量，在許多領(lǐng)域都有應用，例如機械工程、航空航天工程等。通過(guò)了解物體的轉動(dòng)慣量，我們可以更好地設計和控制物體的旋轉運動(dòng)，以達到更好的效果。轉動(dòng)慣量
物體繞軸轉動(dòng)時(shí)慣性的量度
轉動(dòng)慣量(Moment of Inertia)，又稱(chēng)質(zhì)量慣性矩，簡(jiǎn)稱(chēng)慣距，是經(jīng)典力學(xué)中物體繞軸轉動(dòng)時(shí)慣性的量度，常用用字母I或J表示。轉動(dòng)慣量的SI單位為kg·m2。對于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，I=mr2，其中，m是其質(zhì)量，r是質(zhì)點(diǎn)和轉軸的垂直距離。
基本簡(jiǎn)介
轉動(dòng)慣量是剛體轉動(dòng)時(shí)慣性的量度，其量值取決于物體的形狀、質(zhì)量分布及轉軸的位置。剛體的轉動(dòng)慣量有著(zhù)重要的物理意義，在科學(xué)實(shí)驗、工程技術(shù)、航天、電力、機械、儀表等工業(yè)領(lǐng)域也是一個(gè)重要參量。
電磁系儀表的指示系統，因線(xiàn)圈的轉動(dòng)慣量不同，可分別用于測量微小電流或電量，譬如檢流計、沖擊電流計等。在發(fā)動(dòng)機葉片、飛輪、陀螺以及人造衛星的外形設計上，精確地測定轉動(dòng)慣量，都是十分必要的。
對于質(zhì)量分布均勻，外形不復雜的物體，可以從其外形尺寸、質(zhì)量分布用公式計算出相對于某一確定轉軸的轉動(dòng)慣量。對于幾何形狀簡(jiǎn)單、質(zhì)量分布均勻的剛體可以直接用公式計算出它相對于某一確定轉軸的轉動(dòng)慣量。而對于外形復雜和質(zhì)量分布不均勻的物體只能通過(guò)實(shí)驗的方法來(lái)精確地測定物體的轉動(dòng)慣量，因而實(shí)驗方法顯得更為重要。
動(dòng)力學(xué)公式
角加速度與合外力矩的關(guān)系：
角動(dòng)量：
剛體的定軸轉動(dòng)動(dòng)能：
注意：這只是剛體繞定軸的轉動(dòng)動(dòng)能，其總動(dòng)能應該再加上質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能。由這一公式，可以從能量的角度分析剛體動(dòng)力學(xué)的問(wèn)題。
張量定義
剛體繞某一點(diǎn)轉動(dòng)的慣性可由慣性張量描述。慣性張量是二階對稱(chēng)張量，它完整地刻畫(huà)出剛體繞通過(guò)該點(diǎn)任一軸的轉動(dòng)慣量的大小。為了清晰，這里僅給出繞質(zhì)心的轉動(dòng)慣量張量的定義及其在力矩方程中的表達式。
設有一個(gè)剛體A，其質(zhì)心為C,剛體A繞其質(zhì)心C的轉動(dòng)慣量張量
轉動(dòng)慣量張量的力矩方程：
設剛體A所受到的繞其質(zhì)心C的合力矩矢量為：
轉動(dòng)慣量張量
測定方法
測定剛體轉動(dòng)慣量的方法很多，常用的有三線(xiàn)擺、扭擺、復擺等。實(shí)驗室中最常見(jiàn)的是三線(xiàn)擺法，該方法通過(guò)扭轉運動(dòng)測定物體的轉動(dòng)慣量，其特點(diǎn)是物理圖像清楚、操作簡(jiǎn)便易行、適合各種形狀的物體，如機械零件、電機轉子、槍炮彈丸、電風(fēng)扇的風(fēng)葉等的轉動(dòng)慣量都可用三線(xiàn)擺測定。這種實(shí)驗方法在理論和技術(shù)上有一定的實(shí)際意義。
實(shí)驗原理
三線(xiàn)擺是在上圓盤(pán)的圓周上，沿等邊三角形的頂點(diǎn)對稱(chēng)地連接在下面的一個(gè)較大的均勻圓盤(pán)邊緣的正三角形頂點(diǎn)上。當上、下圓盤(pán)水平三線(xiàn)等長(cháng)時(shí)，將上圓盤(pán)繞豎直的中心軸線(xiàn)轉動(dòng)一個(gè)小角度，借助懸線(xiàn)的張力使懸掛的大圓盤(pán)繞中心軸作扭轉擺動(dòng)。同時(shí)，下圓盤(pán)的質(zhì)心O將沿著(zhù)轉動(dòng)軸升降，H是上、下圓盤(pán)中心的垂直距離；h是下圓盤(pán)在振動(dòng)時(shí)上升的高度；r是上圓盤(pán)的半徑；R是下圓盤(pán)的半徑；
由于三懸線(xiàn)能力相等，下圓盤(pán)運動(dòng)對于中心軸線(xiàn)是對稱(chēng)的，僅分析一邊懸線(xiàn)的運動(dòng)。用L表示懸線(xiàn)的長(cháng)度，當下圓盤(pán)扭轉一個(gè)角度α時(shí)，下圓盤(pán)的懸線(xiàn)點(diǎn)移動(dòng)到，下圓盤(pán)上升的高度為，與其他幾何參量的關(guān)系可作如下考慮。
實(shí)驗內容
2）測量下圓盤(pán)的轉動(dòng)慣量，并計算其不確定度
轉動(dòng)三線(xiàn)擺上方的小圓盤(pán)，使其繞自身軸轉一角度α，借助線(xiàn)的張力使下圓盤(pán)作扭擺運動(dòng)，而避免產(chǎn)生左右晃動(dòng)。自己擬定測的方法，使周期的測量不確定度小于其它測量量的不確定度。利用公式求出，并推導出不確定度傳遞公式計算的不確定度。
3）測量圓環(huán)的轉動(dòng)慣量
在下圓盤(pán)上放上待測圓環(huán)，注意使圓環(huán)的質(zhì)心恰好在轉動(dòng)軸上，測量系統的轉動(dòng)慣量。測量圓環(huán)的質(zhì)量和內、外直徑。利用式求出圓環(huán)的轉動(dòng)慣量。并與理論值進(jìn)行比較，求出相對誤差。
4）驗證平行軸定理
將質(zhì)量和形狀尺寸相同的兩金屬圓柱重疊起來(lái)放在下圓盤(pán)上，注意使質(zhì)心與下圓盤(pán)的質(zhì)心重合。測量轉動(dòng)軸通過(guò)圓柱質(zhì)心時(shí)，系統的轉動(dòng)慣量。然后將兩圓柱對稱(chēng)地置于下圓盤(pán)中心的兩側。測量此時(shí)系統的轉動(dòng)慣量。測量圓柱質(zhì)心到中心轉軸的距離計算，并與測量值比較。
相關(guān)定理
轉動(dòng)慣量詳解及物理意義
先說(shuō)一說(shuō)轉動(dòng)慣量的由來(lái)，先從動(dòng)能說(shuō)起。大家都知道動(dòng)能
把
在這里對任何物體來(lái)說(shuō)是把物體微分化分為無(wú)數個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)與運動(dòng)整體的重心的距離為r，而再把不同質(zhì)點(diǎn)積分化得到實(shí)際等效的r，得到
由于某一個(gè)對象物體在運動(dòng)當中的本身屬性m和r都是不變的，所以把關(guān)于m、r的變量用一個(gè)變量K代替,
平行軸定理
一個(gè)物體以角速度ω繞固定軸z軸的轉動(dòng)同樣可以視為以同樣的角速度繞平行于z軸且通過(guò)質(zhì)心的固定軸的轉動(dòng)。也就是說(shuō)，繞z軸的轉動(dòng)等同于繞過(guò)質(zhì)心的平行軸的轉動(dòng)與質(zhì)心的轉動(dòng)的疊加。
利用平行軸定理可知，在一組平行的轉軸對應的轉動(dòng)慣量中，過(guò)質(zhì)心的軸對應的轉動(dòng)慣量最小。垂直軸定理一個(gè)平面剛體薄板對于垂直它的平面軸的轉動(dòng)慣量，等于繞平面內與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉動(dòng)慣量之和。
表達式:
轉動(dòng)慣量的量綱為L(cháng)2M，在SI單位制中，它的單位是
垂直軸定理
一個(gè)平面剛體薄板對于垂直它的平面的軸的轉動(dòng)慣量，等于繞平面內與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉動(dòng)慣量之和，這就是垂直軸定理。
垂直軸定理的表達式為：
對于非平面薄板狀的剛體，亦有如下垂直軸定理成立：
剛體對一軸的轉動(dòng)慣量，可折算成質(zhì)量等于剛體質(zhì)量的單個(gè)質(zhì)點(diǎn)對該軸所形成的轉動(dòng)慣量。由此折算所得的質(zhì)點(diǎn)到轉軸的距離，稱(chēng)為剛體繞該軸的回轉半徑κ，其公式為
除以上兩定理外，常用的還有伸展定則。伸展定則闡明，如果將一個(gè)物體的任何一點(diǎn)，平行地沿著(zhù)一支直軸作任意大小的位移，則此物體對此軸的轉動(dòng)慣量不變。可以想像，將一個(gè)物體，平行于直軸地，往兩端拉開(kāi)。在物體伸展的同時(shí)，保持物體任何一點(diǎn)離直軸的垂直距離不變，則伸展定則闡明此物體對此軸的轉動(dòng)慣量不變。伸展定則通過(guò)轉動(dòng)慣量的定義式就可以簡(jiǎn)單得到。
計算公式
對于細桿
當回轉軸過(guò)桿的中點(diǎn)并垂直于桿時(shí)，
當回轉軸過(guò)桿的端點(diǎn)并垂直于桿時(shí)，
式中，m是桿的質(zhì)量，L是桿的長(cháng)度。
對于圓柱體
當回轉軸是圓柱體軸線(xiàn)時(shí)，
對于細圓環(huán)
當回轉軸通過(guò)環(huán)心且與環(huán)面垂直時(shí)，
當回轉軸通過(guò)環(huán)邊緣且與環(huán)面垂直時(shí)，
當回轉軸沿環(huán)的某一直徑時(shí)，
式中，m是細圓環(huán)的質(zhì)量，R是細圓環(huán)的半徑。
對于薄圓盤(pán)
當回轉軸通過(guò)中心與盤(pán)面垂直時(shí)，
當回轉軸通過(guò)邊緣與盤(pán)面垂直時(shí)，
式中，m是薄圓盤(pán)的質(zhì)量，R是薄圓盤(pán)的半徑。
對于空心圓柱
當回轉軸為空心圓柱的對稱(chēng)軸時(shí)，
對于球殼
當回轉軸為球殼的中心軸時(shí)，
當回轉軸為球殼的切線(xiàn)時(shí)，
式中，m是球殼的質(zhì)量，R是球殼的半徑。
對于實(shí)心球體
當回轉軸為球體的切線(xiàn)時(shí)，
式中，m是球體的質(zhì)量，R是球體的半徑。
對于立方體
當回轉軸為立方體的中心軸時(shí)，
當回轉軸為立方體的棱邊時(shí)，
式中，m是立方體的質(zhì)量，L是立方體的邊長(cháng)。
對于長(cháng)方體
當回轉軸為長(cháng)方體中心軸時(shí)，
式中，m是長(cháng)方體的質(zhì)量，
例題
已知：一個(gè)直徑是80mm的軸，長(cháng)度為500mm，材料是鋼材。計算一下，當在0.1秒內使它達到500轉/分的速度時(shí)所需要的力矩？
分析：知道軸的直徑和長(cháng)度，以及材料，我們可以查到鋼材的密度，進(jìn)而計算出這個(gè)軸的質(zhì)量m，由公式
根據在0.1秒達到500轉/分的角速度，可以算出軸的角加速度
電機軸可以認為是圓柱體過(guò)軸線(xiàn)，所以：
解得
代入數據得 
單位：
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尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒(méi)寫(xiě)！
作者
