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拉格朗日方程（拉格朗日力學(xué)的主要方程）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-07-18

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拉格朗日方程是拉格朗日力學(xué)中的主要方程，用于描述物體的運動(dòng)，特別是理論物理的研究。它與牛頓第二定律在牛頓力學(xué)中有著(zhù)相似的功能，對于理解物理系統的運動(dòng)和動(dòng)力學(xué)性質(zhì)具有重要意義。

拉格朗日方程

拉格朗日力學(xué)的主要方程

拉格朗日方程，因約瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力學(xué)的主要方程，可以用來(lái)描述物體的運動(dòng)，特別適用于理論物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛頓力學(xué)中的牛頓第二定律。

基本信息

中文名

拉格朗日方程

外文名

lagrange’s equations

別名

歐拉-拉格朗日方程

優(yōu)勢

廣義坐標個(gè)數通常比x坐標少等

簡(jiǎn)介

拉格朗日方程：對于完整系統用廣義坐標表示的動(dòng)力方程，通常系指第二類(lèi)拉格朗日方程，是法國數學(xué)家J.-L.拉格朗日首先導出的。

通常可寫(xiě)成：

式中

為系統用各廣義坐標

和各廣義速度

所表示的動(dòng)能；

為對應于

的廣義力;

為這完整系統的自由度；

為系統的點(diǎn)數；

為完整約束方程個(gè)數。

從虛位移原理可以得到受理想約束的質(zhì)點(diǎn)系不含約束力的平衡方程，而動(dòng)靜法(達朗貝爾原理)則將列寫(xiě)平衡方程的靜力學(xué)方法應用于建立質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)方程，將這兩者結合起來(lái)，便可得到不含約束力的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)方程，這就是動(dòng)力學(xué)普遍方程。而拉格朗日方程則是動(dòng)力學(xué)普遍方程在廣義坐標下的具體表現形式。

通常，我們將牛頓定律及建立在此基礎上的力學(xué)理論稱(chēng)為牛頓力學(xué)(也稱(chēng)矢量力學(xué))，將拉格朗日方程及建立在此基礎上的理論稱(chēng)為拉格朗日力學(xué)。拉格朗日力學(xué)通過(guò)位形空間描述力學(xué)系統的運動(dòng)，它適合于研究受約束質(zhì)點(diǎn)系的運動(dòng)。拉格朗日力學(xué)在解決微幅振動(dòng)問(wèn)題和剛體動(dòng)力學(xué)的一些問(wèn)題的過(guò)程中起了重要的作用。拉格朗日方程可以用來(lái)建立不含約束力的動(dòng)力學(xué)方程，也可以用來(lái)在給定系統運動(dòng)規律的情況下求解作用在系統上的主動(dòng)力。如果要想求約束力，可以將拉格朗日方程與動(dòng)靜法或動(dòng)量定理(或質(zhì)心運動(dòng)定理)聯(lián)用。

應用

用拉格朗日方程解題的優(yōu)點(diǎn)是：①廣義坐標個(gè)數通常比

坐標少，即

，故拉氏方程個(gè)數比直角坐標的牛頓方程個(gè)數少，即運動(dòng)微分方程組的階數較低，問(wèn)題易于求解；②廣義坐標可根據約束條件作適當的選擇，使力學(xué)問(wèn)題的運算簡(jiǎn)化，并且不必考慮約束力；③

和

都是標量，比力的矢量關(guān)系式更易表達，因此較易列出動(dòng)力方程。下面是兩個(gè)例子：

①圖1是一個(gè)半徑為

、質(zhì)量為

的圓盤(pán)，它的中心用鉸鏈與質(zhì)量為

的直桿相連。此桿的另一端用鉸鏈固接在半徑為

的空心圓筒的中心

；桿長(cháng)

。圓盤(pán)繞

點(diǎn)擺動(dòng)。桿的動(dòng)能為

圓盤(pán)轉動(dòng)角關(guān)系為

，圓盤(pán)繞

點(diǎn)轉動(dòng)動(dòng)能為

系統以

點(diǎn)為標準的勢能

和系統的動(dòng)能

為：

代入拉格朗日方程

形式

拉格朗日方程的一般形式是：式中

為用各廣義坐標

和廣義速度

導表示的系統的動(dòng)能；

為對應

的廣義力。方程式的個(gè)數等于系統的自由度N。保守系統中存在勢函數

，則廣義力距

，又因

中不含

，即

，故完整保守系統的拉格朗日方程為：

在非保守體系中，廣義力不能用

表示，此時(shí)應引入廣義勢能

的概念，

.帶入一般形式可以得到非保守體系的拉格朗日方程。

式中

為拉格朗日函數，它等于系統的動(dòng)勢

與位勢

之差。上式與變分問(wèn)題中的歐拉方程形式相同，由此可導出哈密頓原理。

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