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雙曲線(xiàn)（應用于數學(xué)解析幾何的函數曲線(xiàn)）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-31

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雙曲線(xiàn)（hyperbola）是一種圓錐曲線(xiàn)，由一個(gè)不通過(guò)直圓錐面的頂點(diǎn)的平面去截取圓錐體的兩個(gè)葉得到。雙曲線(xiàn)也是平面到兩個(gè)固定的點(diǎn)的距離差為常數的點(diǎn)的軌跡，這個(gè)常數就是雙曲線(xiàn)的焦距。在數學(xué)解析幾何中，雙曲線(xiàn)是由方程 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 表示的函數曲線(xiàn)，其中 a 和 b 是常數，且 a>0。雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在 x 軸上，并且永遠是左右兩個(gè)分支相互對稱(chēng)。雙曲線(xiàn)在數學(xué)、物理學(xué)和工程學(xué)中有廣泛應用。例如，在光學(xué)中，雙曲線(xiàn)被用于設計折射望遠鏡和反射望遠鏡；在物理學(xué)中，雙曲線(xiàn)被用于描述電磁波、光學(xué)和量子力學(xué)等領(lǐng)域的現象；在數學(xué)中，雙曲線(xiàn)被用于研究圓錐曲線(xiàn)、函數和不等式等主題。

雙曲線(xiàn)

應用于數學(xué)解析幾何的函數曲線(xiàn)

雙曲線(xiàn)（英文：hyperbola）是常見(jiàn)的一類(lèi)圓錐曲線(xiàn)，可以由一個(gè)不通過(guò)直圓錐面的頂點(diǎn)的平面去截取圓錐體的兩個(gè)葉得到。雙曲線(xiàn)也是平面到兩個(gè)固定的點(diǎn)的距離差為常數的點(diǎn)的軌跡。

基本信息

中文名

雙曲線(xiàn)

英文名

hyperbola

提出時(shí)間

16世紀

相關(guān)人物

梅內克謬斯、阿波羅尼奧斯、歐拉等

相關(guān)著(zhù)作

《圓錐曲線(xiàn)論》、《分析引論》

研究對象

解析幾何

運用領(lǐng)域

數學(xué)

歷史

約公元前 4 世紀，古希臘學(xué)者梅內克謬斯(Menaechmus)在研究平面與圓錐相交時(shí)最先發(fā)現了圓錐曲線(xiàn)，即橢圓，拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)是圓錐體表面與平面的交點(diǎn)產(chǎn)生的。如圖所示，

為直角三角形，首先以

的短直角邊 AB 為軸旋轉一周得到圓錐體，然后取一垂直于斜邊（BC邊）的平面截取這個(gè)圓錐體切口形成的曲線(xiàn)即為雙曲線(xiàn)。

公元前2世紀，古希臘數學(xué)家阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga）從純幾何的思想出發(fā)，建立起系統的圓錐曲線(xiàn)理論。討論如右圖所示，他在同一個(gè)圓錐體中使用不同的切割面得到了圓、圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)4種圖形。阿波羅尼奧斯發(fā)表了數學(xué)著(zhù)作《圓錐曲線(xiàn)論》，該著(zhù)作詳細介紹了雙曲線(xiàn)等圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)。

16世紀，德國數學(xué)家約翰內斯·開(kāi)普勒（Johannes Kepler）發(fā)現了行星三大定律，意大利數學(xué)家伽利略·伽利雷（Galileo di Vincenzo Bonaulti de Galilei）基于運動(dòng)合成的思想，發(fā)現了物體斜拋運動(dòng)的軌跡為拋物線(xiàn)，人們開(kāi)始意識到圓錐曲線(xiàn)不單是圓錐體的切割面，還與自然界的運動(dòng)變化息息相關(guān)。

17世紀，法國數學(xué)家勒內·笛卡爾（René Descartes）和皮耶·德·費馬（Pierre de Fermat）創(chuàng )立了解析幾何，建立起坐標系的概念，用數學(xué)方程來(lái)研究圓錐曲線(xiàn)的各種性質(zhì)。1745 年，瑞士數學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）發(fā)表了《分析引論》，基于方程思想對圓錐曲線(xiàn)進(jìn)行了系統的研究。

基本概念

定義

把平面內與兩個(gè)定點(diǎn)

的距離差的絕對值等于常數 (小于

并且大于0) 的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線(xiàn)，這兩個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線(xiàn)的焦距，焦距的一半長(cháng)度稱(chēng)為半焦距。

如圖所示，直角坐標系中

在

軸上，且線(xiàn)段

的中點(diǎn)與直角坐標系的原點(diǎn)相重合。設

為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，焦距為

，兩焦點(diǎn)坐標為

。根據雙曲線(xiàn)的定義，得方程

。

上述方程的曲線(xiàn)即為雙曲線(xiàn)。

標準方程

對

整理可得：

。

上式記為式（1）。由于

，即

。

令

代人式得：

。

兩邊同除以

, 得：

。

該方程稱(chēng)為焦點(diǎn)在

軸上的雙曲線(xiàn)的標準方程。式中,

滿(mǎn)足關(guān)系式

。

如果雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在

軸上, 焦點(diǎn)為

。雙曲線(xiàn)的標準方程為：

式中,

同樣滿(mǎn)足關(guān)系式

。

幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)在

軸上的雙曲線(xiàn)的標準方程

具有如下的幾何性質(zhì)，焦點(diǎn)在

軸上的雙曲線(xiàn)的標準方程的性質(zhì)可類(lèi)似得出。

范圍

整理方程

可以得到

。

也就是說(shuō)

，即

或者

時(shí)，

才有意義。因此，雙曲線(xiàn)不存在位于兩條直線(xiàn)

和

之間的區域。

對稱(chēng)性

從雙曲線(xiàn)的標準方程可以看到，雙曲線(xiàn)的圖像關(guān)于

軸、

軸和原點(diǎn)都是對稱(chēng)的，也就是說(shuō)，兩條坐標軸是雙曲線(xiàn)的標準方程圖像的對稱(chēng)軸，其中兩個(gè)焦點(diǎn)所在的軸（

軸）稱(chēng)為焦點(diǎn)軸或實(shí)對稱(chēng)軸，另一條軸稱(chēng)為虛對稱(chēng)軸。此外，坐標原點(diǎn)為雙曲線(xiàn)圖像的對稱(chēng)中心點(diǎn)或者中心。

頂點(diǎn)

將

代入方程

可得，

。也就是說(shuō)，雙曲線(xiàn)與

軸存在兩個(gè)交點(diǎn)，可記為

和

，這兩個(gè)交點(diǎn)也稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)相連的線(xiàn)段

稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的實(shí)軸，實(shí)軸的一半稱(chēng)為實(shí)半軸，長(cháng)度為

。

將

代入方程

，解得

，可以看到

并沒(méi)有實(shí)數解，也就是說(shuō)，雙曲線(xiàn)與

軸不能相交。如果在

軸上取兩個(gè)點(diǎn)

，把線(xiàn)段

稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的虛軸，虛軸的一半稱(chēng)為虛半軸，長(cháng)度為

。

從上述分析也可以看出，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在實(shí)軸上，焦點(diǎn)和頂點(diǎn)總是在同一條對稱(chēng)軸。

漸近線(xiàn)

分別作兩條對角線(xiàn)

，其斜率的絕對值為虛軸和實(shí)軸的長(cháng)度之比，可以看到，雙曲線(xiàn)圖像局限在兩條對角線(xiàn)之內，直線(xiàn)

稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的浙近線(xiàn)。對于焦點(diǎn)在

軸上的雙曲線(xiàn)

而言，其漸近線(xiàn)方?為

。

如圖所示，可以根據如下步驟作出漸近線(xiàn)。

分別過(guò)

作出四條直線(xiàn)

和

，它們圍成一個(gè)矩形。再畫(huà)出該矩形的兩條對角線(xiàn)，顯然，這兩條對角線(xiàn)為

，也就是該雙曲線(xiàn)的浙近線(xiàn)。雙曲線(xiàn)不與漸近線(xiàn)相交，但在離中心很遠的地方，雙曲線(xiàn)將無(wú)限接近于其漸近線(xiàn)。

離心率

定義雙曲線(xiàn)的離心率

為焦距

與實(shí)軸

之比，即：

由于

，離心率

，離心率決定了雙曲線(xiàn)的形狀。離心率越大，雙曲線(xiàn)的開(kāi)口也就越大。若兩條雙曲線(xiàn)的離心率相等，那么這兩條雙曲線(xiàn)相似。

準線(xiàn)

如圖所示，直線(xiàn)

（即

）和直線(xiàn)

（即

）稱(chēng)為這條雙曲線(xiàn)的準線(xiàn)，其中

叫作左準線(xiàn)，

叫作右準線(xiàn)。雙曲線(xiàn)的準線(xiàn)具有以下的性質(zhì)：

雙曲線(xiàn)

上任意一點(diǎn)

到左焦點(diǎn)

的距離與它到左準線(xiàn)

的距離之比等于這雙曲線(xiàn)的離心率

，任意一點(diǎn)

到右焦點(diǎn)

的距離與它到右準線(xiàn)

的距離之比也等于這雙曲線(xiàn)的離心率

。

切線(xiàn)

對于雙曲線(xiàn)的標準方程

或

來(lái)說(shuō)，

曲線(xiàn)上的一點(diǎn)

對應的切線(xiàn)方程分別為：

或

若已知切線(xiàn)方程的斜率為

，則該切線(xiàn)方程分別為：

和

下表是雙曲線(xiàn)兩類(lèi)標準的方程的部分性質(zhì)。

標準方程
性質(zhì)	范圍	或	或
	對稱(chēng)性	對稱(chēng)軸：坐標軸；對稱(chēng)中心:原點(diǎn)
	頂點(diǎn)	和	和
	漸近線(xiàn)
	離心率	，
	實(shí)虛軸	線(xiàn)段稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的實(shí)軸，實(shí)軸的一半稱(chēng)為實(shí)半軸，長(cháng)度為；線(xiàn)段稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的虛軸，虛軸的一半稱(chēng)為虛半軸，長(cháng)度為
滿(mǎn)足關(guān)系式：
雙曲線(xiàn)標準方程的幾何性質(zhì)，資料來(lái)源于：

表示方法

幾何表示

如圖所示，用一個(gè)不通過(guò)直圓錐面的頂點(diǎn)的平面去截取圓錐體的兩個(gè)葉，所得的截痕是一條雙曲線(xiàn)。該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)

為兩個(gè)葉的內切球切點(diǎn)。

標準方程

當焦點(diǎn)位于

軸，即

，雙曲線(xiàn)的標準方程為：

上述方程也稱(chēng)為第一標準方程。

當焦點(diǎn)位于

軸，

，雙曲線(xiàn)的標準方程為：

或

上述方程也稱(chēng)為第二標準方程。

在雙曲線(xiàn)的標準方程中，

滿(mǎn)足以下關(guān)系：

極坐標方程

建立如右圖所示的極坐標，則雙曲線(xiàn)的極坐標方程為：

式中，

與標準方程中的

存在如下關(guān)系：

。

當

，方程表示雙曲線(xiàn)的右支，當

時(shí)，方程表示雙曲線(xiàn)的左支。

參數方程

雙曲線(xiàn)

的參數方程有如下多種表達形式。

類(lèi)似地，雙曲線(xiàn)

的參數方程也有以下對應的表達形式。

特殊的雙曲線(xiàn)

等軸雙曲線(xiàn)

實(shí)軸和虛軸相等的雙曲線(xiàn)，稱(chēng)為等軸曲線(xiàn)，也稱(chēng)為直角雙曲線(xiàn)。

由等軸雙曲線(xiàn)的定義可知，以下曲線(xiàn)均為等軸雙曲線(xiàn)。

所有等軸雙曲線(xiàn)的離心率

，也就是說(shuō)等軸雙曲線(xiàn)都是相似的。此外，等軸雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)互相垂直。

共軛雙曲線(xiàn)

如果一條雙曲線(xiàn)的實(shí)軸和虛軸分別是另一條雙曲線(xiàn)的虛軸和實(shí)軸(這里的實(shí)軸和虛軸指的是線(xiàn)段)，則稱(chēng)這兩條雙曲線(xiàn)是共軛的。每條雙曲線(xiàn)都叫作另一條雙曲線(xiàn)的共軛雙曲線(xiàn)。如果兩條雙曲線(xiàn)共軛，則這兩條雙曲線(xiàn)的四個(gè)焦點(diǎn)到共同中心是等距的，此外，它們有共同的漸近線(xiàn)。

由共軛雙曲線(xiàn)的定義可知：

雙曲線(xiàn)

和

互為共軛雙曲線(xiàn)。

反比例函數

形如

的函數稱(chēng)為反比例函數。如右圖所示，在平面直角坐標系中, 反比例函數

的圖象是二次雙曲線(xiàn)，

時(shí), 該雙曲線(xiàn)的兩支分別位于一、三象限；

時(shí), 該雙曲線(xiàn)的兩支分別位于二、四象限。

反比例函數的曲線(xiàn)是一種特殊的等軸雙曲線(xiàn)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，漸近線(xiàn)為

軸和

軸。反比例函數的圖像可以看作把等軸雙曲線(xiàn)的漸進(jìn)線(xiàn)作為坐標軸后得到圖像。

證明如下：

在直角坐標系

中，焦點(diǎn)位于

軸時(shí)，等軸雙曲線(xiàn)的方程可以表示為：

等軸雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)互相垂直，因此可以將這兩條漸近線(xiàn)旋轉45°得到新的坐標系

，其坐標軸分別記為

軸。

該等軸雙曲線(xiàn)上點(diǎn)在新的坐標系中的坐標與原坐標系坐標存在如下關(guān)系：

則新的坐標系中可以得到：

如果令

，

則有

。

不妨使用

代替

，

則有

，

即得到反比例函數的圖像。

應用

雙曲線(xiàn)是一種常見(jiàn)的二次曲線(xiàn)，在許多領(lǐng)域都有著(zhù)廣泛的用途。例如, 在軍事上, 根據觀(guān)察站所測得的炮聲的時(shí)間差, 借助于雙曲線(xiàn)方程, 就可以確定出敵人的炮兵陣地的位置. 又如, 巴黎有名的埃菲爾鐵塔是雙曲線(xiàn)形的建筑。由雙曲線(xiàn)生成的曲面具有良好的抗壓能力, 被廣泛用于多類(lèi)工程設計中, 能節省大量的建筑材料, 進(jìn)而減少投資,降低成本。如許多水電站大壩就是采用的是雙曲面構型。

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