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雙曲線（hyperbola）是一種圓錐曲線，由一個不通過直圓錐面的頂點的平面去截取圓錐體的兩個葉得到。雙曲線也是平面到兩個固定的點的距離差為常數的點的軌跡，這個常數就是雙曲線的焦距。 在數學解析幾何中，雙曲線是由方程 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 表示的函數曲線，其中 a 和 b 是常數，且 a>0。雙曲線的焦點在 x 軸上，并且永遠是左右兩個分支相互對稱。 雙曲線在數學、物理學和工程學中有廣泛應用。例如，在光學中，雙曲線被用于設計折射望遠鏡和反射望遠鏡；在物理學中，雙曲線被用于描述電磁波、光學和量子力學等領域的現象；在數學中，雙曲線被用于研究圓錐曲線、函數和不等式等主題。雙曲線
應用于數學解析幾何的函數曲線
雙曲線（英文：hyperbola）是常見的一類圓錐曲線，可以由一個不通過直圓錐面的頂點的平面去截取圓錐體的兩個葉得到。雙曲線也是平面到兩個固定的點的距離差為常數的點的軌跡。
基本信息
中文名
雙曲線
英文名
hyperbola
提出時間
16世紀
相關人物
梅內克謬斯、阿波羅尼奧斯、歐拉等
相關著作
《圓錐曲線論》 、《分析引論》
研究對象
解析幾何
運用領域
數學
歷史
梅內克謬斯對雙曲線的研究
約公元前 4 世紀，古希臘學者梅內克謬斯(Menaechmus)在研究平面與圓錐相交時最先發(fā)現了圓錐曲線，即橢圓，拋物線和雙曲線是圓錐體表面與平面的交點產生的。如圖所示，
阿波羅尼奧斯對雙曲線的研究
公元前2世紀，古希臘數學家阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga）從純幾何的思想出發(fā)，建立起系統(tǒng)的圓錐曲線理論。討論如右圖所示，他在同一個圓錐體中使用不同的切割面得到了圓、圓、雙曲線、拋物線4種圖形。阿波羅尼奧斯發(fā)表了數學著作《圓錐曲線論》，該著作詳細介紹了雙曲線等圓錐曲線的性質。
16世紀，德國數學家約翰內斯·開普勒（Johannes Kepler）發(fā)現了行星三大定律，意大利數學家伽利略·伽利雷（Galileo di Vincenzo Bonaulti de Galilei）基于運動合成的思想，發(fā)現了物體斜拋運動的軌跡為拋物線，人們開始意識到圓錐曲線不單是圓錐體的切割面，還與自然界的運動變化息息相關。
17世紀，法國數學家勒內·笛卡爾（René Descartes）和皮耶·德·費馬（Pierre de Fermat）創(chuàng)立了解析幾何，建立起坐標系的概念，用數學方程來研究圓錐曲線的各種性質。1745 年，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）發(fā)表了《分析引論》，基于方程思想對圓錐曲線進行了系統(tǒng)的研究。
基本概念
定義
雙曲線的定義
把平面內與兩個定點
如圖所示，直角坐標系中
上述方程的曲線即為雙曲線。
標準方程
對
上式記為式（1）。由于
令
兩邊同除以
該方程稱為焦點在
如果雙曲線的焦點在
式中,
幾何性質
焦點在
范圍
整理方程
也就是說
對稱性
從雙曲線的標準方程可以看到，雙曲線的圖像關于
頂點
將
將
從上述分析也可以看出，雙曲線的焦點在實軸上，焦點和頂點總是在同一條對稱軸。
漸近線
分別作兩條對角線
漸近線的做法
如圖所示，可以根據如下步驟作出漸近線。
分別過 
離心率
定義雙曲線的離心率
由于
準線
雙曲線的準線
如圖所示，直線
雙曲線
切線
對于雙曲線的標準方程
曲線上的一點
下表是雙曲線兩類標準的方程的部分性質。
標準方程 | | | |
性 質 | 范 圍 | |   |
對稱性 | 對稱軸：坐標軸；對稱中心:原點 | ||
頂 點 | |   | |
漸近線 | | | |
離心率 | | ||
實虛軸 | 線段 | ||
| |||
雙曲線標準方程的幾何性質，資料來源于： | |||
表示方法
幾何表示
標準方程
當焦點位于
圓錐曲線的幾何表示
上述方程也稱為第一標準方程。
當焦點位于
上述方程也稱為第二標準方程。
在雙曲線的標準方程中，
極坐標方程
建立如右圖所示的極坐標，則雙曲線的極坐標方程為：
式中，
圓錐曲線的極坐標方程
當 
參數方程
雙曲線
類似地，雙曲線
特殊的雙曲線
等軸雙曲線
實軸和虛軸相等的雙曲線，稱為等軸曲線，也稱為直角雙曲線。
所有等軸雙曲線的離心率
共軛雙曲線
如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸(這里的實軸和虛軸指的是線段)，則稱這兩條雙曲線是共軛的。每條雙曲線都叫作另一條雙曲線的共軛雙曲線。如果兩條雙曲線共軛，則這兩條雙曲線的四個焦點到共同中心是等距的，此外，它們有共同的漸近線。
由共軛雙曲線的定義可知：
雙曲線
反比例函數
反比例函數的曲線是一種特殊的等軸雙曲線，其圖像關于原點對稱，漸近線為
證明如下：
在直角坐標系
該等軸雙曲線上點在新的坐標系中的坐標與原坐標系坐標存在如下關系：
則新的坐標系中可以得到：
如果令
則有
不妨使用
則有
即得到反比例函數的圖像。
應用
雙曲線是一種常見的二次曲線，在許多領域都有著廣泛的用途。例如, 在軍事上, 根據觀察站所測得的炮聲的時間差, 借助于雙曲線方程, 就可以 確定出敵人的炮兵陣地的位置. 又如, 巴黎有名的埃菲爾鐵塔是雙曲線形的建筑。由雙曲線生成 的曲面具有良好的抗壓能力, 被廣泛用于多類工程設計中, 能節(jié)省大量的建筑材料, 進而減少投資,降低成本。如許多水電站大壩就是采用的是雙曲面構型。
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