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雙曲線（應(yīng)用于數(shù)學(xué)解析幾何的函數(shù)曲線）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-31

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雙曲線（hyperbola）是一種圓錐曲線，由一個(gè)不通過直圓錐面的頂點(diǎn)的平面去截取圓錐體的兩個(gè)葉得到。雙曲線也是平面到兩個(gè)固定的點(diǎn)的距離差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，這個(gè)常數(shù)就是雙曲線的焦距。在數(shù)學(xué)解析幾何中，雙曲線是由方程 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 表示的函數(shù)曲線，其中 a 和 b 是常數(shù)，且 a>0。雙曲線的焦點(diǎn)在 x 軸上，并且永遠(yuǎn)是左右兩個(gè)分支相互對(duì)稱。雙曲線在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程學(xué)中有廣泛應(yīng)用。例如，在光學(xué)中，雙曲線被用于設(shè)計(jì)折射望遠(yuǎn)鏡和反射望遠(yuǎn)鏡；在物理學(xué)中，雙曲線被用于描述電磁波、光學(xué)和量子力學(xué)等領(lǐng)域的現(xiàn)象；在數(shù)學(xué)中，雙曲線被用于研究圓錐曲線、函數(shù)和不等式等主題。

雙曲線

應(yīng)用于數(shù)學(xué)解析幾何的函數(shù)曲線

雙曲線（英文：hyperbola）是常見的一類圓錐曲線，可以由一個(gè)不通過直圓錐面的頂點(diǎn)的平面去截取圓錐體的兩個(gè)葉得到。雙曲線也是平面到兩個(gè)固定的點(diǎn)的距離差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。

基本信息

中文名

雙曲線

英文名

hyperbola

提出時(shí)間

16世紀(jì)

相關(guān)人物

梅內(nèi)克謬斯、阿波羅尼奧斯、歐拉等

相關(guān)著作

《圓錐曲線論》、《分析引論》

研究對(duì)象

解析幾何

運(yùn)用領(lǐng)域

數(shù)學(xué)

歷史

約公元前 4 世紀(jì)，古希臘學(xué)者梅內(nèi)克謬斯(Menaechmus)在研究平面與圓錐相交時(shí)最先發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線，即橢圓，拋物線和雙曲線是圓錐體表面與平面的交點(diǎn)產(chǎn)生的。如圖所示，

為直角三角形，首先以

的短直角邊 AB 為軸旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐體，然后取一垂直于斜邊（BC邊）的平面截取這個(gè)圓錐體切口形成的曲線即為雙曲線。

公元前2世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga）從純幾何的思想出發(fā)，建立起系統(tǒng)的圓錐曲線理論。討論如右圖所示，他在同一個(gè)圓錐體中使用不同的切割面得到了圓、圓、雙曲線、拋物線4種圖形。阿波羅尼奧斯發(fā)表了數(shù)學(xué)著作《圓錐曲線論》，該著作詳細(xì)介紹了雙曲線等圓錐曲線的性質(zhì)。

16世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家約翰內(nèi)斯·開普勒（Johannes Kepler）發(fā)現(xiàn)了行星三大定律，意大利數(shù)學(xué)家伽利略·伽利雷（Galileo di Vincenzo Bonaulti de Galilei）基于運(yùn)動(dòng)合成的思想，發(fā)現(xiàn)了物體斜拋運(yùn)動(dòng)的軌跡為拋物線，人們開始意識(shí)到圓錐曲線不單是圓錐體的切割面，還與自然界的運(yùn)動(dòng)變化息息相關(guān)。

17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·笛卡爾（René Descartes）和皮耶·德·費(fèi)馬（Pierre de Fermat）創(chuàng)立了解析幾何，建立起坐標(biāo)系的概念，用數(shù)學(xué)方程來研究圓錐曲線的各種性質(zhì)。1745 年，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）發(fā)表了《分析引論》，基于方程思想對(duì)圓錐曲線進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。

基本概念

定義

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)

的距離差的絕對(duì)值等于常數(shù) (小于

并且大于0) 的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距，焦距的一半長度稱為半焦距。

如圖所示，直角坐標(biāo)系中

在

軸上，且線段

的中點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)相重合。設(shè)

為雙曲線上任意一點(diǎn)，焦距為

，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為

。根據(jù)雙曲線的定義，得方程

。

上述方程的曲線即為雙曲線。

標(biāo)準(zhǔn)方程

對(duì)

整理可得：

。

上式記為式（1）。由于

，即

。

令

代人式得：

。

兩邊同除以

, 得：

。

該方程稱為焦點(diǎn)在

軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。式中,

滿足關(guān)系式

。

如果雙曲線的焦點(diǎn)在

軸上, 焦點(diǎn)為

。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

式中,

同樣滿足關(guān)系式

。

幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)在

軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

具有如下的幾何性質(zhì)，焦點(diǎn)在

軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)可類似得出。

范圍

整理方程

可以得到

。

也就是說

，即

或者

時(shí)，

才有意義。因此，雙曲線不存在位于兩條直線

和

之間的區(qū)域。

對(duì)稱性

從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以看到，雙曲線的圖像關(guān)于

軸、

軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，也就是說，兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖像的對(duì)稱軸，其中兩個(gè)焦點(diǎn)所在的軸（

軸）稱為焦點(diǎn)軸或?qū)崒?duì)稱軸，另一條軸稱為虛對(duì)稱軸。此外，坐標(biāo)原點(diǎn)為雙曲線圖像的對(duì)稱中心點(diǎn)或者中心。

頂點(diǎn)

將

代入方程

可得，

。也就是說，雙曲線與

軸存在兩個(gè)交點(diǎn)，可記為

和

，這兩個(gè)交點(diǎn)也稱為雙曲線的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)相連的線段

稱為雙曲線的實(shí)軸，實(shí)軸的一半稱為實(shí)半軸，長度為

。

將

代入方程

，解得

，可以看到

并沒有實(shí)數(shù)解，也就是說，雙曲線與

軸不能相交。如果在

軸上取兩個(gè)點(diǎn)

，把線段

稱為雙曲線的虛軸，虛軸的一半稱為虛半軸，長度為

。

從上述分析也可以看出，雙曲線的焦點(diǎn)在實(shí)軸上，焦點(diǎn)和頂點(diǎn)總是在同一條對(duì)稱軸。

漸近線

分別作兩條對(duì)角線

，其斜率的絕對(duì)值為虛軸和實(shí)軸的長度之比，可以看到，雙曲線圖像局限在兩條對(duì)角線之內(nèi)，直線

稱為雙曲線的浙近線。對(duì)于焦點(diǎn)在

軸上的雙曲線

而言，其漸近線方?為

。

如圖所示，可以根據(jù)如下步驟作出漸近線。

分別過

作出四條直線

和

，它們圍成一個(gè)矩形。再畫出該矩形的兩條對(duì)角線，顯然，這兩條對(duì)角線為

，也就是該雙曲線的浙近線。雙曲線不與漸近線相交，但在離中心很遠(yuǎn)的地方，雙曲線將無限接近于其漸近線。

離心率

定義雙曲線的離心率

為焦距

與實(shí)軸

之比，即：

由于

，離心率

，離心率決定了雙曲線的形狀。離心率越大，雙曲線的開口也就越大。若兩條雙曲線的離心率相等，那么這兩條雙曲線相似。

準(zhǔn)線

如圖所示，直線

（即

）和直線

（即

）稱為這條雙曲線的準(zhǔn)線，其中

叫作左準(zhǔn)線，

叫作右準(zhǔn)線。雙曲線的準(zhǔn)線具有以下的性質(zhì)：

雙曲線

上任意一點(diǎn)

到左焦點(diǎn)

的距離與它到左準(zhǔn)線

的距離之比等于這雙曲線的離心率

，任意一點(diǎn)

到右焦點(diǎn)

的距離與它到右準(zhǔn)線

的距離之比也等于這雙曲線的離心率

。

切線

對(duì)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

或

來說，

曲線上的一點(diǎn)

對(duì)應(yīng)的切線方程分別為：

或

若已知切線方程的斜率為

，則該切線方程分別為：

和

下表是雙曲線兩類標(biāo)準(zhǔn)的方程的部分性質(zhì)。

標(biāo)準(zhǔn)方程
性質(zhì)	范圍	或	或
	對(duì)稱性	對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心:原點(diǎn)
	頂點(diǎn)	和	和
	漸近線
	離心率	，
	實(shí)虛軸	線段稱為雙曲線的實(shí)軸，實(shí)軸的一半稱為實(shí)半軸，長度為；線段稱為雙曲線的虛軸，虛軸的一半稱為虛半軸，長度為
滿足關(guān)系式：
雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)，資料來源于：

表示方法

幾何表示

如圖所示，用一個(gè)不通過直圓錐面的頂點(diǎn)的平面去截取圓錐體的兩個(gè)葉，所得的截痕是一條雙曲線。該雙曲線的焦點(diǎn)

為兩個(gè)葉的內(nèi)切球切點(diǎn)。

標(biāo)準(zhǔn)方程

當(dāng)焦點(diǎn)位于

軸，即

，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

上述方程也稱為第一標(biāo)準(zhǔn)方程。

當(dāng)焦點(diǎn)位于

軸，

，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

或

上述方程也稱為第二標(biāo)準(zhǔn)方程。

在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，

滿足以下關(guān)系：

極坐標(biāo)方程

建立如右圖所示的極坐標(biāo)，則雙曲線的極坐標(biāo)方程為：

式中，

與標(biāo)準(zhǔn)方程中的

存在如下關(guān)系：

。

當(dāng)

，方程表示雙曲線的右支，當(dāng)

時(shí)，方程表示雙曲線的左支。

參數(shù)方程

雙曲線

的參數(shù)方程有如下多種表達(dá)形式。

類似地，雙曲線

的參數(shù)方程也有以下對(duì)應(yīng)的表達(dá)形式。

特殊的雙曲線

等軸雙曲線

實(shí)軸和虛軸相等的雙曲線，稱為等軸曲線，也稱為直角雙曲線。

由等軸雙曲線的定義可知，以下曲線均為等軸雙曲線。

所有等軸雙曲線的離心率

，也就是說等軸雙曲線都是相似的。此外，等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直。

共軛雙曲線

如果一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實(shí)軸(這里的實(shí)軸和虛軸指的是線段)，則稱這兩條雙曲線是共軛的。每條雙曲線都叫作另一條雙曲線的共軛雙曲線。如果兩條雙曲線共軛，則這兩條雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)到共同中心是等距的，此外，它們有共同的漸近線。

由共軛雙曲線的定義可知：

雙曲線

和

互為共軛雙曲線。

反比例函數(shù)

形如

的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。如右圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中, 反比例函數(shù)

的圖象是二次雙曲線，

時(shí), 該雙曲線的兩支分別位于一、三象限；

時(shí), 該雙曲線的兩支分別位于二、四象限。

反比例函數(shù)的曲線是一種特殊的等軸雙曲線，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，漸近線為

軸和

軸。反比例函數(shù)的圖像可以看作把等軸雙曲線的漸進(jìn)線作為坐標(biāo)軸后得到圖像。

證明如下：

在直角坐標(biāo)系

中，焦點(diǎn)位于

軸時(shí)，等軸雙曲線的方程可以表示為：

等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，因此可以將這兩條漸近線旋轉(zhuǎn)45°得到新的坐標(biāo)系

，其坐標(biāo)軸分別記為

軸。

該等軸雙曲線上點(diǎn)在新的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)與原坐標(biāo)系坐標(biāo)存在如下關(guān)系：

則新的坐標(biāo)系中可以得到：

如果令

，

則有

。

不妨使用

代替

，

則有

，

即得到反比例函數(shù)的圖像。

應(yīng)用

雙曲線是一種常見的二次曲線，在許多領(lǐng)域都有著廣泛的用途。例如, 在軍事上, 根據(jù)觀察站所測(cè)得的炮聲的時(shí)間差, 借助于雙曲線方程, 就可以確定出敵人的炮兵陣地的位置. 又如, 巴黎有名的埃菲爾鐵塔是雙曲線形的建筑。由雙曲線生成的曲面具有良好的抗壓能力, 被廣泛用于多類工程設(shè)計(jì)中, 能節(jié)省大量的建筑材料, 進(jìn)而減少投資,降低成本。如許多水電站大壩就是采用的是雙曲面構(gòu)型。

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