函數(shù)解析式（函數(shù)的表達(dá)方式之一）
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函數(shù)解析式
函數(shù)的表達(dá)方式之一
函數(shù)與函數(shù)解析式是完全不同的兩個(gè)概念。
函數(shù)是指兩個(gè)變量A與B之間，如果A隨著B的每個(gè)值，都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么A就是B的函數(shù)。從對(duì)應(yīng)角度理解，有兩種形式：
1、一對(duì)一，就是一個(gè)B值對(duì)應(yīng)一個(gè)A值，反之，一個(gè)A值也對(duì)應(yīng)一個(gè)B值（當(dāng)然，此時(shí)B也是A的函數(shù)）。
2、一對(duì)多，就是多個(gè)B值對(duì)應(yīng)一個(gè)A值。（此時(shí)一個(gè)A值對(duì)應(yīng)多個(gè)B值，所以B不是A的函數(shù)）。
再說(shuō)函數(shù)解析式，函數(shù)主要有三種表達(dá)方式：1、列表；2、圖象；3、解析式（較常用）。因此函數(shù)解析式只是函數(shù)的一種表達(dá)方式。
基本信息
| 中文名 | 函數(shù)解析式 |
| 外文名 | analytic expression |
| 表達(dá)方式 | 列表；圖象；解析式 |
簡(jiǎn)介
函數(shù)解析式（Analytic expression）
常用函數(shù)的解析式:
一次函數(shù)
注意：通俗地講，函數(shù)反映的是兩個(gè)變量直接的（變化）關(guān)系，嚴(yán)格地說(shuō)，函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系（映射）。而“規(guī)律”首先是一個(gè)（真）“命題”，而“命題”，在邏輯學(xué)指表達(dá)判斷的語(yǔ)言形式，由系詞把主詞和賓詞聯(lián)系而成。例如：‘北京是中國(guó)的首都’，這個(gè)句子就是一個(gè)命題。在現(xiàn)代哲學(xué)、邏輯學(xué)、語(yǔ)言學(xué)中，命題是指一個(gè)判斷（陳述）的語(yǔ)義（實(shí)際表達(dá)的概念），這個(gè)概念是可以被定義并觀察的現(xiàn)象。命題不是指判斷（陳述）本身。更進(jìn)一步，“規(guī)律”是事物、現(xiàn)象和過(guò)程內(nèi)在的、本質(zhì)的必然的聯(lián)系。定律(Laws) 研究宇宙間不變的事實(shí)規(guī)律所歸納出的結(jié)論，不同于理論、假設(shè)、定義、定理，是對(duì)客觀事實(shí)的一種表達(dá)形式，通過(guò)大量具體的客觀事實(shí)經(jīng)驗(yàn)累積歸納而成的結(jié)論。與“函數(shù)”概念相去甚遠(yuǎn)，不應(yīng)混淆。
另外，函數(shù)的“表達(dá)式”最好不要籠統(tǒng)的稱為為“解析式”。因?yàn)楹芏嗪瘮?shù)并不解析（解析的概念在大學(xué)“復(fù)變函數(shù)”等課程中學(xué)習(xí)），為避免誤用，最好成為“表達(dá)式”，這樣更為妥當(dāng)。
構(gòu)成
主要有兩部分構(gòu)成：1、表達(dá)式；2、自變量的表達(dá)范圍。例如：（1）
(2)
；顯然函數(shù)（1）和函數(shù)（2）雖然表達(dá)式相同，由于自變量范圍不同，所以是不同的兩個(gè)函數(shù)。有時(shí)，函數(shù)書寫過(guò)程中，存在省略自變量范圍的形式：如：（3）
；(4)
；（5）
，這時(shí)它們的自變量范圍就是使表達(dá)式有意義的自變量的值。（3）的自變量范圍是：x為任意實(shí)數(shù)（注：這個(gè)概念我們默認(rèn)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)討論，下同）；（4）的自變量范圍是：
；（5）·的自變量范圍是：
。
概念思路分析
解釋函數(shù)概念；函數(shù)就是根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，“算式中最少有兩個(gè)互相影響的數(shù)值”，這兩個(gè)數(shù)值稱為(變量)。其中一個(gè)是“自變量”（X），為什么叫“自變量”呢？因?yàn)檫@個(gè)數(shù)值可控，我們通過(guò)改變它來(lái)改變另一個(gè)變量（Y），另一個(gè)變量（Y）由于是受這個(gè)自變量（X）改變而得到的，所以另一個(gè)變量(Y)稱為這個(gè)自變量(X)的函數(shù)（在初中舊版教材中稱Y為因變量）！為什么叫“函數(shù)”？看這個(gè)詞的構(gòu)成，“函”的意思是什么？
這個(gè)解釋正好又能解釋到“映射”，“不相隸屬機(jī)關(guān)”就是指這兩個(gè)變量，它們兩個(gè)之間相互工作，相互影響。映射這個(gè)定義實(shí)際是很容易解釋的，由于講的是一次函數(shù)，就不講牽涉到的知識(shí)了。由“函”字的解釋來(lái)看已經(jīng)可以看出“函數(shù)”這個(gè)詞足以代表這樣一類的關(guān)系式，能看出自變量和函數(shù)之間的微妙的關(guān)系，所以就叫做“函數(shù)”了！咱們不管歷史人物怎么起名為“函數(shù)”，只看咱們?cè)趺蠢斫鉃槭裁唇凶龊瘮?shù)。（分析僅供參考）
一次函數(shù)
這個(gè)一次函數(shù)是最簡(jiǎn)單情況(也稱正比例函數(shù))，這個(gè)
也就是關(guān)于“一個(gè)本子5毛錢，你買10個(gè)需要花多少錢?！边@類問(wèn)題的（常數(shù)K不能變，那肯定是本子價(jià)格，能變的是自變量X，也就是你要買的數(shù)量Y是最后掏的錢）。就是沒(méi)有任何基礎(chǔ)（在剛才這個(gè)問(wèn)題中也就是說(shuō)你在買本子前你需不需要付另外的錢，你總不會(huì)還沒(méi)買本子你就要付多余的錢然后再付錢買本子吧？所以這個(gè)多余的錢這個(gè)在你買完本子后付錢就沒(méi)有從那個(gè)基礎(chǔ)上再付你買本子的錢），從開始就按照這個(gè)規(guī)律來(lái)走（也就是這一個(gè)本子5毛錢，10個(gè)本子應(yīng)該5元錢這個(gè)規(guī)律），你就只控制X這一個(gè)來(lái)直接影響Y值，也就是函數(shù)值。
那如果是
就是你在買房子時(shí)你就要多付一個(gè)基礎(chǔ)錢，實(shí)際按中介機(jī)構(gòu)交易方式來(lái)比喻更容易理解，“好比你要買房子，你去找中介機(jī)構(gòu)了，你得先給人家50元錢，這50元錢你給人家之后不管你最后到底買不買房子，你都得掏，不可要回，也就相當(dāng)于你不買房了你也得給人家這個(gè)錢！這時(shí)你這個(gè)x也就是房子數(shù)量等于0也就是不買，你也得掏那50元中介費(fèi)！
這個(gè)關(guān)系式是
的函數(shù)。
函數(shù)關(guān)系式其實(shí)就是這么一回事，就是一個(gè)變量影響另一個(gè)變量這樣的關(guān)系，用未知數(shù)來(lái)代替現(xiàn)實(shí)生活中某些附加存在的數(shù)據(jù)和一些可控的數(shù)據(jù)最終造成的數(shù)據(jù)。有些數(shù)據(jù)可能變化規(guī)則詭異，但是都是有規(guī)律的（因?yàn)橐磺腥f(wàn)物都是按照規(guī)律進(jìn)行的），再想想（分段函數(shù)），所以存在二次函數(shù)或者什么的。
函數(shù)解析式與函數(shù)式相類似都是求出函數(shù)x與y的函數(shù)關(guān)系。
常用函數(shù)的解析式:
（反比例函數(shù)）
思路分析
求解方法
[題型一]配湊法
例1.已知
，求f(x)。
分析：函數(shù)的解析式
是自變量x確定y值的關(guān)系式，其實(shí)質(zhì)是對(duì)應(yīng)法則f：x→y，因此解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清對(duì)“x”而言，“y”是怎樣的規(guī)律。
解：
令
，則
小結(jié)：此種解法為配湊法，通過(guò)觀察、分析，將右端“
”變?yōu)榻邮軐?duì)象“
”的表達(dá)式，即變?yōu)楹?/span>
的表達(dá)式，這種解法對(duì)變形能力、觀察能力有一定的要求。
[題型二]換元法
例2.已知
，求f(x)。
分析：視
為一整體，應(yīng)用數(shù)學(xué)的整體化思想，換元即得。
解：設(shè)
，
，則
故
。
小結(jié)：①已知f[g(x)]是關(guān)于x的函數(shù)，即
，求f(x)的解析式，通常令
，由此能解出
，將代入中，求得f(t)的解析式，再用x替換t，便得f(x)的解析式。
注意：換元后要確定新元t的取值范圍。
②換元法就是通過(guò)引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量來(lái)替換原來(lái)的某些變量的解題方法，它的基本功能是：化難為易、化繁為簡(jiǎn)，以快速實(shí)現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)換，從而達(dá)到順利解題的目的。常見(jiàn)的換元法是多種多樣的，如局部換元、整體換元、三角換元、分母換元等，它的應(yīng)用極為廣泛。
[題型三]待定系數(shù)法
例3.設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足
，且
的兩實(shí)根平方和為10，圖象過(guò)點(diǎn)(0，3)，求f(x)的解析式。
分析：由于f(x)是二次函數(shù)，其解析式的基本結(jié)構(gòu)已定，可用待定系數(shù)法處理。
解：設(shè)
又圖象過(guò)點(diǎn)(0，3)∴
……②
由方程的兩實(shí)根平方和為10，得
即
……③
由①②③解得
小結(jié)：我們只要明確所求函數(shù)解析式的類型，便可設(shè)出其函數(shù)解析式，設(shè)法求出其系數(shù)即可得到結(jié)果。類似的已知f(x)為一次函數(shù)時(shí)，可設(shè)
；f(x)為反比例函數(shù)時(shí)，可設(shè)
；f(x)為二次函數(shù)時(shí)，根據(jù)條件可設(shè)
[題型四]消元法
例4.已知函數(shù)滿足
，其中a、b、c都是非零常數(shù)，
，求函數(shù)的解析式。
分析：由于難以判斷f(x)是何種類型的函數(shù)，故不可能先設(shè)出f(x)的表達(dá)式，但如果把條件中的x換成
，即
作為一個(gè)整體量，即可得到關(guān)于f(x)，
的方程組。。
解：在已知等式中，將x換成，得，把它與原條件式聯(lián)立，得
即：
答：方法一：
圖象為開口向上的拋物線，因此只需
即可。
∴當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
，
；當(dāng)
時(shí)，a無(wú)解。
方法二：
只需 即可，
即
，以下同方法一。
參考資料
[1]
函數(shù)解析式 · 新浪[引用日期2017-11-07]
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尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒(méi)寫！
作者
