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麥克斯韋方程組
由四個(gè)方程組成的偏微分方程
麥克斯韋方程組（英語(yǔ)：Maxwell's equations），是英國物理學(xué)家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋在19世紀建立的一組描述電場(chǎng)、磁場(chǎng)與電荷密度、電流密度之間關(guān)系的偏微分方程。它由四個(gè)方程組成：描述電荷如何產(chǎn)生電場(chǎng)的高斯定律、論述磁單極子不存在的高斯磁定律、描述電流和時(shí)變電場(chǎng)怎樣產(chǎn)生磁場(chǎng)的麥克斯韋-安培定律、描述時(shí)變磁場(chǎng)如何產(chǎn)生電場(chǎng)的法拉第感應定律。
從麥克斯韋方程組，可以推論出電磁波在真空中以光速傳播，并進(jìn)而做出光是電磁波的猜想。麥克斯韋方程組和洛倫茲力方程是經(jīng)典電磁學(xué)的基礎方程。從這些基礎方程的相關(guān)理論，發(fā)展出現代的電力科技與電子科技。
麥克斯韋在1865年提出的最初形式的方程組由20個(gè)等式和20個(gè)變量組成。他在1873年嘗試用四元數來(lái)表達，但未成功。現在所使用的數學(xué)形式是奧利弗·赫維賽德和約西亞·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表達的。
歷史背景
麥克斯韋誕生前的半個(gè)多世紀，人類(lèi)對電磁現象的認識取得了很大的進(jìn)展。1785年，法國物理學(xué)家C. A.庫侖（Charles A. Coulomb）在扭秤實(shí)驗結果的基礎上，建立了說(shuō)明兩個(gè)點(diǎn)電荷之間相互作用力的庫侖定律。1820年，H. C.奧斯特（Hans Christian Oersted）發(fā)現電流能使磁針偏轉，從而把電與磁聯(lián)系起來(lái)。其后，A. M.安培（Andre Marie Ampère）研究了電流之間的相互作用力，提出了許多重要概念和安培環(huán)路定律。M.法拉第（Michael Faraday）在很多方面有杰出貢獻，特別是1831年發(fā)表的電磁感應定律，是電機、變壓器等設備的重要理論基礎。
1845年，關(guān)于電磁現象的三個(gè)最基本的實(shí)驗定律：庫侖定律（1785年）、畢奧-薩伐爾定律（1820年）、法拉第電磁感應定律（1831 ~ 1845年）已被總結出來(lái)，法拉第的“電力線(xiàn)”和“磁力線(xiàn)”（現在也叫做“電場(chǎng)線(xiàn)”與“磁感線(xiàn)”）概念已發(fā)展成“電磁場(chǎng)概念”。1855年至1865年，麥克斯韋在全面地審視了庫侖定律、畢奧—薩伐爾定律和法拉第定律的基礎上，把數學(xué)分析方法帶進(jìn)了電磁學(xué)的研究領(lǐng)域，由此導致麥克斯韋電磁理論的誕生。
在麥克斯韋之前，關(guān)于電磁現象的學(xué)說(shuō)都以超距作用觀(guān)念為基礎，認為帶電體、磁化體或載流導體之間的相互作用，都是可以超越中間媒質(zhì)而直接進(jìn)行并立即完成的，即認為電磁擾動(dòng)的傳播速度無(wú)限大。在那個(gè)時(shí)期，持不同意見(jiàn)的只有法拉第。他認為上述這些相互作用與中間媒質(zhì)有關(guān)，是通過(guò)中間媒質(zhì)的傳遞而進(jìn)行的，即主張間遞學(xué)說(shuō)。
麥克斯韋繼承了法拉第的觀(guān)點(diǎn)，參照流體力學(xué)的模型，應用嚴謹的數學(xué)形式總結了前人的工作，提出了位移電流的假說(shuō)，推廣了電流的涵義，將電磁場(chǎng)基本定律歸結為四個(gè)微分方程，這就是著(zhù)名的麥克斯韋方程組。他對這組方程進(jìn)行了分析，預見(jiàn)到電磁波的存在，并斷定，電磁波的傳播速度為有限值（與光速接近），且光也是某種頻率的電磁波。上述這些，他都寫(xiě)入題為《論電與磁》的論文中。
1887年，海因里希·魯道夫·赫茲（Heinrich R. Hertz）用實(shí)驗方法產(chǎn)生和檢測到了電磁波，證實(shí)了麥克斯韋的預見(jiàn)。1905～1915年間，A.愛(ài)因斯坦（AlbertEinstein）的相對論進(jìn)一步論證了時(shí)間、空間、質(zhì)量、能量和運動(dòng)之間的關(guān)系，說(shuō)明電磁場(chǎng)就是物質(zhì)的一種形式，間遞學(xué)說(shuō)得到了公認。
概論
麥克斯韋方程組乃是由四個(gè)方程共同組成的：
麥克斯韋方程組
- 高斯定律：該定律描述電場(chǎng)與空間中電荷分布的關(guān)系。電場(chǎng)線(xiàn)開(kāi)始于正電荷，終止于負電荷（或無(wú)窮遠）。計算穿過(guò)某給定閉曲面的電場(chǎng)線(xiàn)數量，即其電通量，可以得知包含在這閉曲面內的總電荷。更詳細地說(shuō)，這定律描述穿過(guò)任意閉曲面的電通量與這閉曲面內的電荷之間的關(guān)系。
- 高斯磁定律：該定律表明，磁單極子實(shí)際上并不存在。所以，沒(méi)有孤立磁荷，磁場(chǎng)線(xiàn)沒(méi)有初始點(diǎn)，也沒(méi)有終止點(diǎn)。磁場(chǎng)線(xiàn)會(huì )形成循環(huán)或延伸至無(wú)窮遠。換句話(huà)說(shuō)，進(jìn)入任何區域的磁場(chǎng)線(xiàn)，必需從那區域離開(kāi)。以術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，通過(guò)任意閉曲面的磁通量等于零，或者，磁場(chǎng)是一個(gè)無(wú)源場(chǎng)。
- 麥克斯韋-安培定律：該定律闡明，磁場(chǎng)可以用兩種方法生成：一種是靠傳導電流（原本的安培定律），另一種是靠時(shí)變電場(chǎng)，或稱(chēng)位移電流（麥克斯韋修正項）。
在電磁學(xué)里，麥克斯韋修正項意味著(zhù)時(shí)變電場(chǎng)可以生成磁場(chǎng)，而由于法拉第感應定律，時(shí)變磁場(chǎng)又可以生成電場(chǎng)。這樣，兩個(gè)方程在理論上允許自我維持的電磁波傳播于空間。
麥克斯韋電磁場(chǎng)理論的要點(diǎn)可以歸結為：
①幾分立的帶電體或電流，它們之間的一切電的及磁的作用都是通過(guò)它們之間的中間區域傳遞的，不論中間區域是真空還是實(shí)體物質(zhì)。
②電能或磁能不僅存在于帶電體、磁化體或帶電流物體中，其大部分分布在周?chē)碾姶艌?chǎng)中。
③導體構成的電路若有中斷處，電路中的傳導電流將由電介質(zhì)中的位移電流補償貫通，即全電流連續。且位移電流與其所產(chǎn)生的磁場(chǎng)的關(guān)系與傳導電流的相同。
④磁通量既無(wú)始點(diǎn)又無(wú)終點(diǎn)，即不存在磁荷。
⑤光波也是電磁波。
麥克斯韋方程組有兩種表達方式。
1. 積分形式的麥克斯韋方程組是描述電磁場(chǎng)在某一體積或某一面積內的數學(xué)模型。表達式為：
式①是由安培環(huán)路定律推廣而得的全電流定律，其含義是：磁場(chǎng)強度H沿任意閉合曲線(xiàn)的線(xiàn)積分，等于穿過(guò)此曲線(xiàn)限定面積的全電流。等號右邊第一項是傳導電流．第二項是位移電流。式②是法拉第電磁感應定律的表達式，它說(shuō)明電場(chǎng)強度E沿任意閉合曲線(xiàn)的線(xiàn)積分等于穿過(guò)由該曲線(xiàn)所限定面積的磁通對時(shí)間的變化率的負值。這里提到的閉合曲線(xiàn)，并不一定要由導體構成，它可以是介質(zhì)回路，甚至只是任意一個(gè)閉合輪廓。式③表示磁通連續性原理，說(shuō)明對于任意一個(gè)閉合曲面，有多少磁通進(jìn)入曲面就有同樣數量的磁通離開(kāi)。即B線(xiàn)是既無(wú)始端又無(wú)終端的；同時(shí)也說(shuō)明并不存在與電荷相對應的磁荷。式④是高斯定律的表達式，說(shuō)明在時(shí)變的條件下，從任意一個(gè)閉合曲面出來(lái)的D的凈通量，應等于該閉曲面所包圍的體積內全部自由電荷之總和。
麥克斯韋方程組
2. 微分形式的麥克斯韋方程組。微分形式的麥克斯韋方程是對場(chǎng)中每一點(diǎn)而言的。應用del算子，可以把它們寫(xiě)成
式⑤是全電流定律的微分形式，它說(shuō)明磁場(chǎng)強度H的旋度等于該點(diǎn)的全電流密度（傳導電流密度J與位移電流密度之和），即磁場(chǎng)的漩渦源是全電流密度，位移電流與傳導電流一樣都能產(chǎn)生磁場(chǎng)。式⑥是法拉第電磁感應定律的微分形式，說(shuō)明電場(chǎng)強度E的旋度等于該點(diǎn)磁通密度B的時(shí)間變化率的負值，即電場(chǎng)的渦旋源是磁通密度的時(shí)間變化率。式⑦是磁通連續性原理的微分形式，說(shuō)明磁通密度B的散度恒等于零，即B線(xiàn)是無(wú)始無(wú)終的。也就是說(shuō)不存在與電荷對應的磁荷。式⑧是靜電場(chǎng)高斯定律的推廣，即在時(shí)變條件下，電位移D的散度仍等于該點(diǎn)的自由電荷體密度。
除了上述四個(gè)方程外，還需要有媒質(zhì)的本構關(guān)系式
積分形式
一般形式
麥克斯韋方程組的積分形式如下：
這是1873年前后，麥克斯韋提出的表述電磁場(chǎng)普遍規律的四個(gè)方程。其中：
（1）描述了電場(chǎng)的性質(zhì)。在一般情況下，電場(chǎng)可以是自由電荷的電場(chǎng)也可以是變化磁場(chǎng)激發(fā)的感應電場(chǎng)，而感應電場(chǎng)是渦旋場(chǎng)，它的電位移線(xiàn)是閉合的，對封閉曲面的通量無(wú)貢獻。
（2）描述了磁場(chǎng)的性質(zhì)。磁場(chǎng)可以由傳導電流激發(fā)，也可以由變化電場(chǎng)的位移電流所激發(fā)，它們的磁場(chǎng)都是渦旋場(chǎng)，磁感應線(xiàn)都是閉合線(xiàn)，對封閉曲面的通量無(wú)貢獻。
（3）描述了變化的磁場(chǎng)激發(fā)電場(chǎng)的規律。
（4）描述了傳導電流和變化的電場(chǎng)激發(fā)磁場(chǎng)的規律。
穩恒場(chǎng)中的形式
當
時(shí)，方程組就還原為靜電場(chǎng)和穩恒磁場(chǎng)的方程：
無(wú)場(chǎng)源自由空間中的形式
當，方程組就成為如下形式：
麥克斯韋方程組的積分形式反映了空間某區域的電磁場(chǎng)量(D、E、B、H)和場(chǎng)源(電荷q、電流I)之間的關(guān)系。
微分形式
在電磁場(chǎng)的實(shí)際應用中，經(jīng)常要知道空間逐點(diǎn)的電磁場(chǎng)量和電荷、電流之間的關(guān)系。從數學(xué)形式上，就是將麥克斯韋方程組的積分形式化為微分形式。
國際單位制下的形式
注意：
(1)在不同的慣性參照系中，麥克斯韋方程組有同樣的形式。
(2)應用麥克斯韋方程組解決實(shí)際問(wèn)題，還要考慮介質(zhì)對電磁場(chǎng)的影響。例如在均勻各向同性介質(zhì)中，電磁場(chǎng)量與介質(zhì)特性量有下列關(guān)系：
在非均勻介質(zhì)中，還要考慮電磁場(chǎng)量在界面上的邊值關(guān)系。在利用t=0時(shí)場(chǎng)量的初值條件，原則上可以求出任一時(shí)刻空間任一點(diǎn)的電磁場(chǎng)，即
和
。
高斯單位制下的形式
復數形式
在復數形式的電磁場(chǎng)定律中，由于復數場(chǎng)量和源量都只是空間位置的函數，在求解時(shí)，不必再考慮它們與時(shí)間的依賴(lài)關(guān)系。因此，對討論正弦時(shí)變場(chǎng)來(lái)說(shuō)面采用復數形式的電磁場(chǎng)定律是較為方便的。
注記
采用不同的單位制，麥克斯韋方程組的形式會(huì )稍微有所改變，大致形式仍舊相同，只是不同的常數會(huì )出現在方程內部不同位置。
國際單位制是最常使用的單位制，整個(gè)工程學(xué)領(lǐng)域都采用這種單位制，大多數化學(xué)家也都使用這種單位制，大學(xué)物理教科書(shū)幾乎都采用這種單位制。其它常用的單位制有高斯單位制、洛倫茲-赫維賽德單位制（Lorentz-Heavisideunits）和普朗克單位制。由厘米-克-秒制衍生的高斯單位制，比較適合于教學(xué)用途，能夠使得方程看起來(lái)更簡(jiǎn)單、更易懂。洛倫茲-赫維賽德單位制也是衍生于厘米-克-秒制，主要用于粒子物理學(xué)；普朗克單位制是一種自然單位制，其單位都是根據自然的性質(zhì)定義，不是由人為設定。普朗克單位制是研究理論物理學(xué)非常有用的工具，能夠給出很大的啟示。在本頁(yè)里，除非特別說(shuō)明，所有方程都采用國際單位制。
這里展示出麥克斯韋方程組的兩種等價(jià)表述。第一種表述如下：
這種表述將自由電荷和束縛電荷總和為高斯定律所需要的總電荷，又將自由電流、束縛電流和電極化電流總合為麥克斯韋-安培定律內的總電流。這種表述采用比較基礎、微觀(guān)的觀(guān)點(diǎn)。這種表述可以應用于計算在真空里有限源電荷與源電流所產(chǎn)生的電場(chǎng)與磁場(chǎng)。但是，對于物質(zhì)內部超多的電子與原子核，實(shí)際而言，無(wú)法一一納入計算。事實(shí)上，經(jīng)典電磁學(xué)也不需要這么精確的答案。
第二種表述見(jiàn)前所述”積分形式“中的”一般形式“。它以自由電荷和自由電流為源頭，而不直接計算出現于電介質(zhì)的束縛電荷和出現于磁化物質(zhì)的束縛電流和電極化電流所給出的貢獻。由于在一般實(shí)際狀況，能夠直接控制的參數是自由電荷和自由電流，而束縛電荷、束縛電流和電極化電流是物質(zhì)經(jīng)過(guò)極化后產(chǎn)生的現象，采用這種表述會(huì )使得在介電質(zhì)或磁化物質(zhì)內各種物理計算更加簡(jiǎn)易。
表面上看，麥克斯韋方程組似乎是超定的（overdetermined）方程組，它只有六個(gè)未知量（矢量電場(chǎng)、磁場(chǎng)各擁有三個(gè)未知量，電流與電荷不是未知量，而是自由設定并符合電荷守恒的物理量），但卻有八個(gè)方程（兩個(gè)高斯定律共有兩個(gè)方程，法拉第定律與安培定律是矢量式，各含有三個(gè)方程）。這狀況與麥克斯韋方程組的某種有限重復性有關(guān)。從理論可以推導出，任何滿(mǎn)足法拉第定律與安培定律的系統必定滿(mǎn)足兩個(gè)高斯定律。
另一方面，麥克斯韋方程組又是不封閉的。只有給定了電磁介質(zhì)的特性，此方程組才能得到定解。
微觀(guān)與宏觀(guān)
麥克斯韋方程組通常應用于各種場(chǎng)的“宏觀(guān)平均場(chǎng)”。當尺度縮小至微觀(guān)（microscopicscale），以至于接近單獨原子大小的時(shí)侯，這些場(chǎng)的局部波動(dòng)差異將變得無(wú)法忽略，量子現象也會(huì )開(kāi)始出現。只有在宏觀(guān)平均的前提下，一些物理量如物質(zhì)的電容率和磁導率才會(huì )得到有意義的定義值。
最重的原子核的半徑大約為7飛米（）。所以，在經(jīng)典電磁學(xué)里，微觀(guān)尺度指的是尺寸的數量級大于。滿(mǎn)足微觀(guān)尺度，電子和原子核可以視為點(diǎn)電荷，微觀(guān)麥克斯韋方程組成立；否則，必需將原子核內部的電荷分布納入考量。在微觀(guān)尺度計算出來(lái)的電場(chǎng)與磁場(chǎng)仍舊變化相當劇烈，空間變化的距離數量級小于米，時(shí)間變化的周期數量級在10至10秒之間。因此，從微觀(guān)麥克斯韋方程組，必需經(jīng)過(guò)經(jīng)典平均運算，才能得到平滑、連續、緩慢變化的宏觀(guān)電場(chǎng)與宏觀(guān)磁場(chǎng)。宏觀(guān)尺度的最低極限為10米。這意味著(zhù)電磁波的反射與折射行為可以用宏觀(guān)麥克斯韋方程組來(lái)描述。以這最低極限為邊長(cháng)，體積為10立方米的立方體大約含有10個(gè)原子核和電子。這么多原子核和電子的物理行為，經(jīng)過(guò)經(jīng)典平均運算，足以平緩任何劇烈的漲落。根據可靠文獻記載，經(jīng)典平均運算只需要在空間作平均運算，不需要在時(shí)間作平均運算，也不需要考慮到原子的量子效應。[5]
8評價(jià)
編輯
方程組為核心的電磁理論，是經(jīng)典物理學(xué)最引以自豪的成就之一。它所揭示出的電磁相互作用的完美統一，為物理學(xué)家樹(shù)立了這樣一種信念：物質(zhì)的各種相互作用在更高層次上應該是統一的。這個(gè)理論被廣泛地應用到技術(shù)領(lǐng)域。
科學(xué)意義
麥克斯韋方程組
(一)經(jīng)典場(chǎng)論是19世紀后期麥克斯韋在總結電磁學(xué)三大實(shí)驗定律并把它與力學(xué)模型進(jìn)行類(lèi)比的基礎上創(chuàng )立起來(lái)的。但麥克斯韋的主要功績(jì)恰恰使他能夠跳出經(jīng)典力學(xué)框架的束縛：在物理上以"場(chǎng)"而不是以"力"作為基本的研究對象，在數學(xué)上引入了有別于經(jīng)典數學(xué)的矢量偏微分運算符。這兩條是發(fā)現電磁波方程的基礎。這就是說(shuō)，實(shí)際上麥克斯韋的工作已經(jīng)沖破經(jīng)典物理學(xué)和經(jīng)典數學(xué)的框架，只是由于當時(shí)的歷史條件，人們仍然只能從牛頓的經(jīng)典數學(xué)和力學(xué)的框架去理解電磁場(chǎng)理論。
現代數學(xué)，Hilbert空間中的數學(xué)分析是在19世紀與20世紀之交的時(shí)候才出現的。而量子力學(xué)的物質(zhì)波的概念則在更晚的時(shí)候才被發(fā)現，特別是對于現代數學(xué)與量子物理學(xué)之間的不可分割的數理邏輯聯(lián)系至今也還沒(méi)有完全被人們所理解和接受。從麥克斯韋建立電磁場(chǎng)理論到如今，人們一直以歐氏空間中的經(jīng)典數學(xué)作為求解麥克斯韋方程組的基本方法。
(二)我們從麥克斯韋方程組的產(chǎn)生，形式，內容和它的歷史過(guò)程中可以看到：第一，物理對象是在更深的層次上發(fā)展成為新的公理表達方式而被人類(lèi)所掌握，所以科學(xué)的進(jìn)步不會(huì )是在既定的前提下演進(jìn)的，一種新的具有認識意義的公理體系的建立才是科學(xué)理論進(jìn)步的標志。第二，物理對象與對它的表達方式雖然是不同的東西，但如果不依靠合適的表達方法就無(wú)法認識到這個(gè)對象的“存在”。第三，我們正在建立的理論將決定到我們在何種層次的意義上使我們的對象成為物理事實(shí),，這正是現代最前沿的物理學(xué)所給我們帶來(lái)的困惑。
(三)麥克斯韋方程組揭示了電場(chǎng)與磁場(chǎng)相互轉化中產(chǎn)生的對稱(chēng)性?xún)?yōu)美，這種優(yōu)美以現代數學(xué)形式得到充分的表達。但是，我們一方面應當承認，恰當的數學(xué)形式才能充分展示經(jīng)驗方法中看不到的整體性(電磁對稱(chēng)性)；另一方面，我們也不應當忘記，這種對稱(chēng)性的優(yōu)美是以數學(xué)形式反映出來(lái)的電磁場(chǎng)的統一本質(zhì)。因此，我們應當認識到應在數學(xué)的表達方式中"發(fā)現"或"看出"了這種對稱(chēng)性，而不是從物理數學(xué)公式中直接推演出這種本質(zhì)。
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