開(kāi)普勒第三定律（行星運(yùn)動(dòng)三定律之一）
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開(kāi)普勒第三定律也叫行星運(yùn)動(dòng)定律。開(kāi)普勒第三定律的常見(jiàn)表述是：繞以太陽(yáng)為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的所有行星，其各自橢圓軌道半長(zhǎng)軸的立方與周期的平方之比是一個(gè)常量。
德國(guó)天文學(xué)家約翰尼斯·開(kāi)普勒根據(jù)丹麥天文學(xué)家第谷·布拉赫等人的觀測(cè)資料和星表，通過(guò)開(kāi)普勒本人的觀測(cè)和分析后，于1609年在他出版的《新天文學(xué)》上發(fā)表了關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的前兩條定律，又于1618年，在《宇宙諧和論》提出了第三條定律。
基本信息
| 中文名 | 開(kāi)普勒第三定律 |
| 外文名 | Keplers third law of planetary motion |
| 別名 | 周期定律、調(diào)和定律 |
| 作用 | 用于橢圓軌道的計(jì)算 |
| 應(yīng)用學(xué)科 |
展開(kāi)
定律定義
開(kāi)普勒在《宇宙諧和論》上的原始表述：繞以太陽(yáng)為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的所有行星，其各自橢圓軌道半長(zhǎng)軸的立方與周期的平方之比是一個(gè)常量。
常見(jiàn)表述：繞同一中心天體的所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方
跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方
的比值都相等，即
,
（其中M為中心天體質(zhì)量，k為開(kāi)普勒常數(shù)，這是一個(gè)只與被繞星體有關(guān)的常量，G為引力常量，其2006年國(guó)際推薦數(shù)值為
不確定度為
。
推導(dǎo)過(guò)程
萬(wàn)有引力定律是用開(kāi)普勒第三定律導(dǎo)出的，因此不能再用萬(wàn)有引力定律來(lái)推導(dǎo)開(kāi)普勒第三定律，循環(huán)論證是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹ｉ_(kāi)普勒第三定律是開(kāi)普勒根據(jù)第谷的觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算出來(lái)的，沒(méi)有見(jiàn)過(guò)推導(dǎo)，推導(dǎo)過(guò)程只能是與萬(wàn)有引力定律的聯(lián)系，不能叫推導(dǎo)。
觀測(cè)數(shù)據(jù)
開(kāi)普勒的原始數(shù)據(jù)
開(kāi)普勒整理數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，右圖下方的坐標(biāo)中各點(diǎn)大致連成一條直線，因此他認(rèn)為行星的運(yùn)行周期T和
成正比（其中R為軌道半徑），并計(jì)算出該直線的斜率為
，即
。
常規(guī)方法
方法一：
現(xiàn)實(shí)中的星體運(yùn)動(dòng)的軌道大多數(shù)是橢圓，于是便有以下推導(dǎo)：
R為半長(zhǎng)軸
面積速度為
選近日點(diǎn)A和遠(yuǎn)日點(diǎn)B來(lái)研究，由ΔS相等可得
得 ：
由幾何關(guān)系得：
， 
，
所以
整理得
。
方法二：
行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)橢圓軌道的面積，根據(jù)橢圓的性質(zhì)則橢圓的面積
（a為長(zhǎng)軸，b為短軸）由于單位時(shí)間內(nèi)極徑所掃過(guò)的面積
則周期
（1）
（2）式得
（2）式代入（1）式得 
（3）
根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓的半短軸
，則
（4）
式（4）代入（3）式得 ，由此式可知繞同一中心天體運(yùn)行的人造星體軌道半長(zhǎng)軸的三次方跟它們的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值由中心天體的質(zhì)量所決定。
軌道能量推導(dǎo)
由運(yùn)動(dòng)總能量
，得
，則運(yùn)動(dòng)周期為
即
適用范圍
成立條件
開(kāi)普勒定律是一個(gè)普適定律，適用于一切二體問(wèn)題。開(kāi)普勒定律不僅適用于太陽(yáng)系，他對(duì)具有中心天體的引力系統(tǒng)（如行星-衛(wèi)星系統(tǒng)）和雙星系統(tǒng)都成立。圍繞同一個(gè)中心天體運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)天體，它們軌道半徑三次方與周期的平方的比值（ 
)都相等，為
，M為中心天體質(zhì)量。這個(gè)比值是一個(gè)與行星無(wú)關(guān)的常量，只與中心體質(zhì)量有關(guān)，那么M相同是這個(gè)比值相同。
用開(kāi)普勒第三定律解決二體問(wèn)題時(shí)，可將兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在相互作用下的運(yùn)動(dòng)，可約化為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量需改用約化質(zhì)量
，即
，其中
，為兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。
拓廣形式
開(kāi)普勒第三定律也可以表示為：
其中
，為兩個(gè)相應(yīng)的行星質(zhì)量，
，
為兩個(gè)相應(yīng)行星圍繞同一恒星運(yùn)動(dòng)的周期，
，
為兩個(gè)行星圍繞同一恒星運(yùn)動(dòng)的平均軌道半徑。通過(guò)拓展形式，可以根據(jù)繞同一行星的兩星體軌道半徑估測(cè)星體質(zhì)量，或根據(jù)星體質(zhì)量估測(cè)運(yùn)行軌道。
應(yīng)用實(shí)例
天體
實(shí)際星體問(wèn)題大多數(shù)為二體問(wèn)題，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，人們把開(kāi)普勒定律看成是牛頓定律和萬(wàn)有引力定律的表現(xiàn)形式。(M為中心天體質(zhì)量，m為行星質(zhì)量)
在
時(shí)，可以認(rèn)為
，這就是開(kāi)普勒定律的第三表達(dá)式，其中 為開(kāi)普勒常數(shù)。
由此可見(jiàn)，開(kāi)普勒定律只是一個(gè)近似定律。
通過(guò)開(kāi)普勒第三定律，在天體運(yùn)行中有以下應(yīng)用：
2.通過(guò)兩繞同一中心天體運(yùn)動(dòng)的行星的公轉(zhuǎn)周期，算出這兩行星分別到中心天體的平均距離。（因?qū)嶋H軌道為橢圓形，故采用平均距離）。
3.在星—箭分離問(wèn)題中，通過(guò)星箭橢圓運(yùn)動(dòng)周期之比，計(jì)算星箭運(yùn)動(dòng)軌跡半長(zhǎng)軸之比。
二體問(wèn)題是天體力學(xué)中的一個(gè)基本問(wèn)題，它是指可視為質(zhì)點(diǎn)的兩個(gè)天體在相互間唯一的萬(wàn)有引力作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律問(wèn)題。二體問(wèn)題可以用牛頓萬(wàn)有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律來(lái)描述并得到完全解決。開(kāi)普勒三定律是二體問(wèn)題的解。
航天
開(kāi)普勒軌道這個(gè)名詞時(shí)開(kāi)普勒以后的人提出來(lái)的，并把開(kāi)普勒軌道擴(kuò)展到二體問(wèn)題的解。由于航天器的軌道運(yùn)動(dòng)也符合開(kāi)普勒三定律，因此開(kāi)普勒軌道同樣適用于航天器。
開(kāi)普勒軌道的定義：
1.符合開(kāi)普勒三定律的天體或航天器的運(yùn)行軌道；
2.由二體問(wèn)題的解的道德天體或航天器的運(yùn)行軌道。
由定義可知，開(kāi)普勒的軌道也稱(chēng)為二體問(wèn)題軌道，符合上述定義的開(kāi)普勒軌道也稱(chēng)為理想的開(kāi)普勒軌道。航天器的開(kāi)普勒軌道可由如下二體問(wèn)題的基本方程解得：
上述方程描述在慣性坐標(biāo)系中航天器相對(duì)于天體的軌道運(yùn)動(dòng)，式中的
是從天體（質(zhì)量記為
）到航天器（ 
）的位置矢量 ，
是二體系統(tǒng)的引力常數(shù)，G是萬(wàn)有引力常數(shù)。由于
，可以只考慮 對(duì) 的引力，這種情況可把航天器開(kāi)普勒軌道看成是限制性二體問(wèn)題的解，即看成是在慣性固體天體中心引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（有心力運(yùn)動(dòng)）軌跡。
電學(xué)
開(kāi)普勒第三定律也適用于部分電荷在點(diǎn)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的情況。因?yàn)?/span>庫(kù)侖力與萬(wàn)有引力均遵循“平方反比”規(guī)律，通過(guò)類(lèi)比可知，帶電粒子在電場(chǎng)中的橢圓運(yùn)動(dòng)也遵循開(kāi)普勒第三定律。
先構(gòu)造一個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的模型，根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律和庫(kù)侖定律計(jì)算圓周運(yùn)動(dòng)周期，再將粒子由靜止開(kāi)始的直線加速運(yùn)動(dòng)當(dāng)做一個(gè)無(wú)限“扁”的橢圓運(yùn)動(dòng)，用開(kāi)普勒第三定律計(jì)算粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間。
發(fā)展簡(jiǎn)史
約翰尼斯開(kāi)普勒
1600年，德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒應(yīng)丹麥天文學(xué)家第谷之邀，開(kāi)普勒前往布拉格做第谷的助手。次年，第谷去世，他將自己一生積累的觀測(cè)資料留給了開(kāi)普勒。
開(kāi)普勒分析第谷測(cè)量行星位置的多年記錄（特別是火星的橢圓形軌道），在1619年發(fā)表他的第三行星定律。
定律影響
開(kāi)普勒的定律給予亞里士多德派與托勒密派在天文學(xué)與物理學(xué)上極大的挑戰(zhàn)。他的論點(diǎn)，打破了亞里士多德留下的天文學(xué)與物理學(xué)中的陳舊觀念。
開(kāi)普勒定律的一個(gè)重要功績(jī)，就是后來(lái)在1684年牛頓根據(jù)開(kāi)普勒定律及自己研究的運(yùn)動(dòng)定律，破譯了天文運(yùn)動(dòng)的機(jī)密——萬(wàn)有引力定律。
相關(guān)合集
開(kāi)普勒三大定律
共3個(gè)詞條938閱讀
開(kāi)普勒第一定律
1618年開(kāi)普勒提出的定律
開(kāi)普勒第二定律
三條開(kāi)普勒定律之一
開(kāi)普勒第三定律
行星運(yùn)動(dòng)三定律之一
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