水平集方法（Level Set Method）是一種用于界面追蹤和形狀建模的數值技術(shù)。水平集方法的優(yōu)點(diǎn)是可以在笛卡爾網(wǎng)格（Cartesian grid）上對演化中的曲線(xiàn)曲面進(jìn)行數值計算而不必對曲線(xiàn)曲面參數化（這是所謂的歐拉法（Eulerian approach））。水平集方法的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是可以方便的追蹤物體的拓撲結構改變。例如當物體的形狀一分為二，產(chǎn)生空洞，或者相反的這些操作。所有這些使得水平集方法成為隨時(shí)間變化的物體建模的有力工具，例如膨脹中的氣囊，掉落到水中的油滴。

方法

理解水平集方法的最簡(jiǎn)單有效的方式是先學(xué)習相應的例子，然后學(xué)習技術(shù)性很強的定義。右側的圖片示例了水平集的幾個(gè)重要思想。在左上角有一個(gè)形狀--由一個(gè)良性邊界包圍的有界區域。在它的下面，紅色的曲面是相應的水平集函數

的圖像，

的某個(gè)水平面決定了左上角的形狀，假設其中的藍色平面即為

平面，則形狀的邊界可以表示為

的零水平集，并且該形狀是平面上滿(mǎn)足

大于等于零的點(diǎn)的集合。

在上面的一行，形狀改變其拓撲結構，分裂為兩個(gè)形狀。如果用邊界曲線(xiàn)參數表示形狀，這一演化過(guò)程是很難表達的。這需要一個(gè)算法能夠檢測到形狀分裂的時(shí)刻，然后為分裂后的曲線(xiàn)構造新的參數。另一方面，從下面的一行可以看出水平集函數僅僅是向下方移動(dòng)了一點(diǎn)。由于在直接法中我們需要監視所有形狀可能發(fā)生的變化情況，水平集方法處理形狀曲線(xiàn)要比直接方法容易得多。

在二維情況下，水平集方法意味著(zhù)將平面上的閉曲線(xiàn)

(正如示例中的形狀)表示為二維輔助函數

的零水平集

然后通過(guò)函數

隱式的處理曲線(xiàn)

這一函數便被叫做水平集函數。假設

在曲線(xiàn)

的內部取正值，在曲線(xiàn)

的外部取負值。

水平集方程

如果零水平集以速度v沿著(zhù)其法線(xiàn)運動(dòng)，這一運動(dòng)可以表示為水平集函數的哈密頓-雅可比方程（Hamilton-Jacobi equation）：

這是一個(gè)偏微分方程，并且可以求得數值解，例如可以在笛卡爾網(wǎng)格上采用有限差分法。

然而，水平集方程的數值解需要復雜的技術(shù)。簡(jiǎn)單的有限差分法會(huì )很快導致不收斂。迎風(fēng)方法，諸如Godunov方法前進(jìn)緩慢；然而在水平對流場(chǎng)中，水平集方法不保持水平集的體積和形狀的守恒。

歷史

美國數學(xué)家Stanley Osher和James Sethian于20世紀80年代開(kāi)發(fā)出了水平集方法。這一方法在許多學(xué)科廣泛使用，例如圖像處理，計算幾何，最優(yōu)化和計算流體力學(xué)。

大量的有關(guān)水平集數據結構被開(kāi)發(fā)出來(lái)，使得水平集方法在計算中的應用變得更加方便。

參閱

??流體體積法