雅可比行列式通常稱(chēng)為雅可比式(Jacobian)它是以n個(gè)n元函數的偏導數為元素的行列式。事實(shí)上，在函數都連續可微（即偏導數都連續）的前提之下，它就是函數組的微分形式下的系數矩陣（即雅可比矩陣）的行列式。若因變量對自變量連續可微，而自變量對新變量連續可微,則因變量也對新變量連續可微。這可用行列式的乘法法則和偏導數的連鎖法則直接驗證。也類(lèi)似于導數的連鎖法則。偏導數的連鎖法則也有類(lèi)似的公式；這常用于重積分的計算中。如果在一個(gè)連通區域內雅可比行列式處處不為零，它就處處為正或者處處為負。如果雅可比行列式恒等于零，則函數組是函數相關(guān)的，其中至少有一個(gè)函數是其余函數的一個(gè)連續可微的函數。

中文名

雅可比行列式

外文名

Jacobian

應用學(xué)科

高等數學(xué)

提出者

雅可比

別名

雅可比式

驗證方式

若因變量

對自變量

連續可微，而自變量

對新變量

連續可微,則因變量(

)也對新變量(

)連續可微，并且

這可用行列式的乘法法則和偏導數的連鎖法則直接驗證。偏導數的連鎖法則也有類(lèi)似的公式；例如，當

對(

)連續可微，而(

)對(

)連續可微時(shí)，便有

如果(3)中的

能回到

，則

這時(shí)必須有

于是以此為系數行列式的聯(lián)立線(xiàn)性方程組(2)中能夠把(

)解出來(lái)。

由隱函數存在定理可知，在(

)?對連續可微的前提下,只須

便足以保證（

）對(

)連續可微。這樣,連續可微函數組便在雅可比行列式不等于零的條件之下,在每一對相應點(diǎn)u與x的鄰近范圍內建立起點(diǎn)與點(diǎn)之間的一個(gè)一對一的對應關(guān)系。

在

的情形，以

為鄰邊的矩形(

)對應到(

)平面上的一個(gè)曲邊四邊形(

),其面積

關(guān)于

的線(xiàn)性主要部分，即面積微分是

這常用于重積分的計算中。

如果在一個(gè)連通區域內雅可比行列式處處不為零，它就處處為正或者處處為負（其正負號標志著(zhù)u-坐標系的旋轉定向是否與

坐標系的一致）。如果雅可比行列式恒等于零,則函數組(

)是函數相關(guān)的,其中至少有一個(gè)函數是其余函數的一個(gè)連續可微的函數。