拉格朗日乘數(shù)法（尋找多元函數(shù)的極值的方法）
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拉格朗日乘數(shù)法是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。 這種方法將一個(gè)有n個(gè)變量與k個(gè)約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)有n+k個(gè)變量的方程組的極值問(wèn)題，其變量不受任何約束。拉格朗日乘數(shù)法
本詞條是多義詞，共2個(gè)義項(xiàng)
尋找多元函數(shù)的極值的方法
拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。這種方法將一個(gè)有n個(gè)變量與k個(gè)約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)有n+k個(gè)變量的方程組的極值問(wèn)題，其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度（gradient）的線(xiàn)性組合里每個(gè)向量的系數(shù)。此方法的證明牽涉到偏微分，全微分或鏈法，從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。
條件極值是限制在一個(gè)子流形上的極值，條件極值存在時(shí)無(wú)條件極值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
基本信息
| 中文名 | 拉格朗日乘數(shù)法 |
| 外文名 | Lagrange Multiplier Method |
| 表達(dá)式 | L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z) |
| 提出者 | Joseph Lagrange |
| 提出時(shí)間 | 1791年 |
| 應(yīng)用學(xué)科 | 高等數(shù)學(xué) 微觀經(jīng)濟(jì)學(xué) |
| 適用領(lǐng)域 | 函數(shù)、多元函數(shù)極值 |
收起
基本內(nèi)容
定義介紹
，其中λ為參數(shù)。求L(x,y)對(duì)x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即
L'x(x,y)=?'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0，
L'y(x,y)=?'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0，
φ(x,y)=0
由上述方程組解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函數(shù)z=?(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點(diǎn)。
證明
以三元函數(shù)為例，即求目標(biāo)函數(shù)：u=f(x,y,z) 在限制條件：①G（x,y,z）=0 ② H（x,y,z）=0下的極值。
假定f,G,H具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且Jacobi矩陣：
在滿(mǎn)足約束條件的點(diǎn)處是行滿(mǎn)秩，即Rank(J)=2。
先考慮取到條件極值的必要條件，上述約束條件實(shí)際是空間曲線(xiàn)的方程。設(shè)曲線(xiàn)上一點(diǎn)(,,) 為條件極值點(diǎn)，由于在該點(diǎn)處rank(J)=0，不妨假設(shè)在(,,)點(diǎn)處，則由隱函數(shù)存在定理，在點(diǎn)（,,)附近由該方程可以確定 y=y(x),z=z(x)，其中=y(),=z()，它是這個(gè)曲線(xiàn)方程的參數(shù)形式。
的無(wú)條件極值問(wèn)題，是函數(shù)（x）的極值點(diǎn)，因此有'（x）=0。
也就是
這說(shuō)明向量gradf(,,)與向量正交，即與曲線(xiàn)在點(diǎn)(,,)的切向量正交，因此這點(diǎn)的梯度grad f(,,)可以看做是曲線(xiàn)在點(diǎn) (,,) 處的法平面上的向量。在根據(jù)平面上任意一個(gè)向量都可以有一對(duì)不共線(xiàn)的向量線(xiàn)性表示，又由于這個(gè)法平面是由grad G(x0,y0,z0)與gradH(,,)張成的，因此，存在常數(shù)a,b使得gradf(,,)=a*grad G(x0,y0,z0)+b*gradH(x0,y0,z0)。
這就是點(diǎn)(,,)為條件極值點(diǎn)的必要條件。
將上述方程寫(xiě)成分量的形式，就可以得到。
求極值
求函數(shù)f(x,y,z)在條件φ(x,y,z)=0下的極值
方法（步驟）是：
1.做拉格朗日函數(shù)L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ稱(chēng)拉格朗日乘數(shù)
2.求L分別對(duì)x,y,z,λ求偏導(dǎo)，得方程組，求出駐點(diǎn)P(x,y,z)
如果這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的最大或最小值存在，一般說(shuō)來(lái)駐點(diǎn)唯一，于是最值 可求.
條件極值問(wèn)題也可以化為無(wú)條件極值求解，但有些條件關(guān)系比較復(fù)雜，代換和運(yùn)算很繁，而相對(duì)來(lái)說(shuō),“拉格朗日乘數(shù)法”不需代換，運(yùn)算簡(jiǎn)單一點(diǎn)。這就是優(yōu)勢(shì).
條件φ(x,y,z)一定是個(gè)等式，不妨設(shè)為φ(x,y,z)=m
則再建一個(gè)函數(shù)g(x,y,z)=φ(x,y,z)-m
g(x,y,z)=0,以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)
在許多極值問(wèn)題中，函數(shù)的自變量往往要受到一些條件的限制，比如，要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為 V的長(zhǎng)方體形開(kāi)口水箱，確定長(zhǎng)、寬和高, 使水箱的表面積最小. 設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為 x,y,z，則水箱容積V=xyz
焊制水箱用去的鋼板面積為 S=2xz+2yz+xy
這實(shí)際上是求函數(shù) S 在 V 限制下的最小值問(wèn)題。
這類(lèi)附有條件限制的極值問(wèn)題稱(chēng)為條件極值問(wèn)題，其一般形式是在條件
限制下，求函數(shù)F的極值
條件極值與無(wú)條件極值的區(qū)別
條件極值是限制在一個(gè)子流形上的極值，條件極值存在時(shí)無(wú)條件極值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
從其幾何圖形可以看出整個(gè)馬鞍面沒(méi)有極值點(diǎn)，但限制在馬鞍面被平面 平面所截的曲線(xiàn)上，有極小值 1，這個(gè)極小值就稱(chēng)為條件極值。
必要條件
設(shè)在約束條件之下求函數(shù)的極值。滿(mǎn)足約束條件的點(diǎn) 是函數(shù)的條件極值點(diǎn), 且在該點(diǎn)函數(shù)滿(mǎn)足隱函數(shù)存在條件時(shí), 由方程定隱函數(shù) , 于是點(diǎn)就是一元函數(shù)的極限點(diǎn), 有
代入 , 就有
( 以下 均表示相應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) 的值 . )
Lagrange乘數(shù)法 :
由上述討論可見(jiàn) , 函數(shù) 在約束條件之下的條件極值點(diǎn)應(yīng)是方程組
的解.
引進(jìn)所謂Lagrange函數(shù)
( 稱(chēng)其中的實(shí)數(shù) 為L(zhǎng)agrange乘數(shù) )
則上述方程組即為方程組
因此，解決條件極值通常有兩種方法
1）直接的方法是從方程組（1）中解出 并將其表示為 代入 消去 成為變量為 的函數(shù)將問(wèn)題化為函數(shù)無(wú)條件極值問(wèn)題；
2）在一般情形下，要從方程組（1）中解出 來(lái)是困難的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘數(shù)法，是免去解方程組（1）的困難，將求 的條件極值問(wèn)題化為求下面拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)問(wèn)題，然后根據(jù)所討論的實(shí)際問(wèn)題的特性判斷出哪些穩(wěn)定點(diǎn)是所求的極值的。
3）在給定的條件下，若是可以將未知數(shù)代換或是解出，則可以將條件極值轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值，從而避免引入拉格朗日乘數(shù)的麻煩。
注意：▽?duì)?x,y,z)=0 且 φ(x,y,z)=0的點(diǎn)不會(huì)被該方法計(jì)算到，因此，若求最大值或最小值時(shí)，應(yīng)把這些點(diǎn)列出來(lái)并單獨(dú)計(jì)算。
解題思路
我們知道, 對(duì)于"限制條件為等式,x值均為正值"的最大化問(wèn)題, 滿(mǎn)足最大化的x組合一定滿(mǎn)足:F(i)(x*)-Σλj Gj(i)(x*)=0, i=1,2,3,.....n, j=1,2,...m. 從這里我們看到，如果限制條件 Gj(x*)=cj 中的 cj 變化 dcj , 如果全部作用于x(i),那么引起的dx(i)=dcj/Gj(i)(x*),從而導(dǎo)致目標(biāo)方程取值變化dF=F(i)(x*)dcj/Gj(i)(x*)=λj*dcj [注意：對(duì)于同一個(gè)限制條件j,我們由上一節(jié)已經(jīng)知道必然有: F(i)(x*)/Gj(i)(x*)=F(i')(x*)/Gj(i')(x*)=λj (i不等于i')]. 那么我們得到:λj=dF/dcj.也就是說(shuō)，拉格朗日乘數(shù)其實(shí)代表的是cj對(duì)最大化目標(biāo)函數(shù)F的邊際影響. 雖然這里考慮的是僅僅cj發(fā)生變化，我們可以對(duì)此加以推廣，比如整體的c向量發(fā)生變化到 c+dc, dc是一個(gè)m-維向量, 那么F的總變化量dF就是Σλj dCj, j=1,2,...m.
舉一個(gè)具體的實(shí)例: 假如一個(gè)計(jì)劃經(jīng)濟(jì)體系下，政府實(shí)施如前所述的最大化問(wèn)題(在有限資源如勞動(dòng)力，自然礦產(chǎn)，人力資本等的限制下使社會(huì)整體效用/福利最大化),并已經(jīng)找到了滿(mǎn)足最大化條件的x組合. 假設(shè)萬(wàn)能的上帝允許該國(guó)的勞動(dòng)力資源可以額外增加dc1, 那么根據(jù)拉格朗日乘數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義我們知道給整個(gè)社會(huì)帶來(lái)的福利將是λ1*dc1. 但是上帝說(shuō)：要獲得這個(gè)額外的勞動(dòng)力資源，你們必須以一定數(shù)量的其他資源比如土地來(lái)跟我交換，以示公平。那么我們?nèi)祟?lèi)政府該拿多少土地來(lái)跟上帝換呢？指定該土地?cái)?shù)量為dx2,那么由此減少的社會(huì)福利是λ2*dc2. 如果λ1*dc1>λ2*dc2,上帝不會(huì)答應(yīng)，如果反之我們不會(huì)答應(yīng)。所以必然有λ1*dc1=λ2*dc2,也就是dc2=(λ1/λ2)dc1. 學(xué)過(guò)初級(jí)微觀的朋友馬上可以看出，這跟微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中相對(duì)價(jià)格的概念十分相似。相對(duì)價(jià)格反映物與物之間的交換價(jià)值，即人們?cè)敢庠趺礃舆M(jìn)行物與物的交換。不同的是，這里的價(jià)格不是以錢(qián)來(lái)計(jì)算，而是以社會(huì)福利來(lái)衡量；這里的相對(duì)價(jià)格λ1/λ2中的λ1和λ2是基于解決社會(huì)福利最大化問(wèn)題而計(jì)算出來(lái)的，不同于市場(chǎng)中的價(jià)格P1,P2. 由于這個(gè)原因，我們把λ叫做"影子價(jià)格"(shadow price). 如果我們偶爾發(fā)現(xiàn)某個(gè)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下市場(chǎng)價(jià)格之比恰恰等于影子價(jià)格之比，我們稱(chēng)這個(gè)市場(chǎng)被一雙看不見(jiàn)的手所指引，因?yàn)樵撌袌?chǎng)居然可以自發(fā)調(diào)整解決社會(huì)福利的最大化問(wèn)題.
再來(lái)考慮"限制條件為非等式"的情況. 我們知道市場(chǎng)價(jià)格通常都不可能為零或負(fù)數(shù)。但是影子價(jià)格確不同，它描述的是限制方程右方cj對(duì)整體目標(biāo)函數(shù)值的邊際影響。在限制條件Gj為非等式的情況下，增加額外的cj不一定就意味著目標(biāo)函數(shù)值的增加。比如, 限制條件為"社會(huì)某消費(fèi)產(chǎn)品不得高于cj",目標(biāo)函數(shù)為投資量。如果cj提高，那么消費(fèi)該產(chǎn)品增加，導(dǎo)致投資量減少，目標(biāo)函數(shù)值減少。這時(shí)影子價(jià)格就是一個(gè)負(fù)值。再比如，目標(biāo)函數(shù)為產(chǎn)量，限制條件為"同時(shí)參加勞動(dòng)的工人數(shù)量不得高于cj".如果cj增加，那么同時(shí)勞動(dòng)的工人數(shù)量增加，可能導(dǎo)致勞動(dòng)力邊際產(chǎn)量遞減效應(yīng)的發(fā)生，這時(shí)總產(chǎn)量可能不增反降。這時(shí)我們情愿不增加工人；換句話(huà)說(shuō)，我們情愿把一些資源放在一旁不予利用(free dsiposal).這時(shí)候再增加這些勞動(dòng)力資源，對(duì)總產(chǎn)量已經(jīng)沒(méi)有作用了，所以影子價(jià)格為零. 事實(shí)上，根據(jù)前一節(jié)所述的庫(kù)恩-塔克定理，這一點(diǎn)是很明顯的。庫(kù)恩-塔克定理說(shuō)，滿(mǎn)足最大化問(wèn)題解的x一定使得下面的條件滿(mǎn)足:
Lλ(x, λ)>=0, λ>=0, 互補(bǔ)松散
就是說(shuō)，如果Lλ(x, λ)=c-G(x*)>0, 那么說(shuō)明有資源余缺閑置，這時(shí)λ=0.如果Lλ(x, λ)=c-G(x*)=0,那么說(shuō)明資源全部被使用，其邊際效用λ>0.
注意：這里我們通過(guò)對(duì)拉格朗日乘數(shù)的解釋考查了cj的微小變動(dòng)dcj對(duì)目標(biāo)函數(shù)最大值的變化的影響，這就是開(kāi)篇所說(shuō)的比較靜態(tài)研究--研究參數(shù)θ的變化對(duì)最大值的影響。所以我們?cè)谶M(jìn)行比較靜態(tài)研究的時(shí)候必須把目標(biāo)函數(shù)看成是同時(shí)關(guān)于x和參數(shù)θ的函數(shù). 基于這一點(diǎn)，我們從另一個(gè)角度來(lái)看λ的確定. 考察參數(shù)cj,如果cj變化一點(diǎn)點(diǎn)到cj+dcj,那么相應(yīng)地最佳組合x(chóng)*變動(dòng)到x*+dx*,最大目標(biāo)值也由F(x*)變化為F(x*+dx*).由泰勒一階展開(kāi)我們得到: dF=F(x*+dx*)-F(x*)=Fx(x*)dx*+Fcj(x*)dcj.根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法一階必要條件，我們有:Fx(x*)=λj Gx(x*),所以dF=λj Gx(x*)dx*+Fcj(x*)dcj=λj Gx(x*)dx*,我們又知道根據(jù)限制條件方程G(x*)=cj,在cj變化到cj+dcj的過(guò)程中,Gx(x*)dx*=dcj,所以dF=λj dcj.同樣推導(dǎo)出了λ的定義式. 更一般地，如果F和G都是關(guān)于x和參數(shù)θ的函數(shù)，如果參數(shù)θ變動(dòng)到θ+dθ,x隨之變動(dòng)到x+dx,那么:
dF=F(x+dx,θ+dθ)-F(x,θ)=Fx(x,θ)dx+Fθ(x,θ)dθ=λGx(x,θ)dx+Fθ(x,θ)dθ...(1)
由于G是關(guān)于x和θ的函數(shù)G(x,θ)=c,所以在θ變化的過(guò)程中始終有
Gx(x,θ)dx+Gθ(x,θ)dθ=dc...................................................(2)
拉格朗日乘數(shù)法
代入(1)式，我們得到:
dF=λdc -λGθ(x,θ)dθ+Fθ(x,θ)dθ=Lθ(x,λ,θ)dθ+λdc....................(3)
這就是最一般化的比較靜態(tài)公式。我們?cè)谘芯坑白觾r(jià)格λ的時(shí)候，沒(méi)有考慮任何參數(shù)θ的變化，所以公式(3)的第一項(xiàng)為零，這樣dF=λdc.反之，我們?cè)谀承┣闆r下不考慮c的變化，而側(cè)重于參數(shù)θ的變化，這時(shí)公式(3)變化為: dF=Lθ(x,λ,θ)dθ.如果只有函數(shù)F跟θ有關(guān)，而G跟θ無(wú)關(guān)，那么公式(3)簡(jiǎn)化為dF=Fθ(x,θ)dθ. 注意:1. 在參數(shù)θ變化的過(guò)程中,θ-->θ+dθ,x-->x+dx,但是對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響卻只要考慮拉格朗日函數(shù)對(duì)θ的偏微分，而且該偏微分在原來(lái)最優(yōu)點(diǎn)x處取值。這是我們用泰勒一階展開(kāi)應(yīng)該得到的結(jié)論. 2.這里的x雖然沒(méi)有標(biāo)上星號(hào)*,但不言自明的是它們都應(yīng)該是最優(yōu)組合，而且它們也都是關(guān)于參數(shù)θ的函數(shù)x(θ). 如果我們把最大化了的F定義成一個(gè)新函數(shù)最優(yōu)目標(biāo)方程V(θ),那么由剛剛推導(dǎo)出來(lái)的公式(3): dF=Fθ(x,θ)dθ 我們有 Vθ(θ)=Fθ(x(θ),θ). 再次提醒注意，這里的x(θ)是滿(mǎn)足最大化條件的最優(yōu)點(diǎn)。如果我們?cè)俣x一個(gè)普通目標(biāo)函數(shù)F(x',θ),但是這里的x'是任意值，不一定是最優(yōu)點(diǎn)x(θ).假設(shè)對(duì)應(yīng)這個(gè)x'的能使 F 函數(shù)值最大的θ是θ'.那么V(θ)在θ'點(diǎn)處的斜率為:Vθ(θ')=Fθ(x(θ'),θ'). 但我們知道,x(θ')=x'.所以Fθ(x(θ'),θ')=Fθ(x',θ').而后者就是函數(shù)F(x',θ)在點(diǎn)θ'的斜率。這就是說(shuō)，函數(shù)V(θ)和函數(shù)F(x',θ)在點(diǎn)(x',θ')處的斜率相等. 這個(gè)結(jié)論對(duì)于x'取任意一個(gè)固定值都是成立的，所以從幾何圖形上來(lái)看，見(jiàn)圖示，最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)V(θ)把普通目標(biāo)函數(shù)曲線(xiàn)族緊緊包圍住。因此,dF=Fθ(x,θ)dθ 往往又稱(chēng)為"包絡(luò)定理"(envelope theorem). 微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)里面的短期成本和長(zhǎng)期成本之間的關(guān)系就是符合信封定理的，因?yàn)檫@里的成本都是滿(mǎn)足了成本最小化之后的成本。
均衡原則
微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)研究消費(fèi)者行為時(shí)，所要闡述的核心問(wèn)題是消費(fèi)者均衡的原則。所謂消費(fèi)者均衡指的是一個(gè)有理性的消費(fèi)者所采取的均衡購(gòu)買(mǎi)行為。進(jìn)一步說(shuō)，它是指保證消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)效用最大化的均衡購(gòu)買(mǎi)行為。
但人的需要或欲望是無(wú)限的，而滿(mǎn)足需要的手段是有限的。所以微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)所說(shuō)的效用最大化只能是一種有限制的效用最大化。而這種限制的因素就是各種商品的價(jià)格和消費(fèi)者的貨幣收入水平。
首先，我們先引入一些名詞解釋:
總效用(TU):消費(fèi)者在一定時(shí)間內(nèi)消費(fèi)一定數(shù)量某種商品或商品組合所得到的總的滿(mǎn)足。
邊際效用(MU):消費(fèi)者在所有其它商品的消費(fèi)水平保持不變時(shí)，增加消費(fèi)一單位某種商品所帶來(lái)的滿(mǎn)足程度的增加，也就是說(shuō)指增加一單位某種商品所引起的總效用的增加。
商品數(shù)量(Q)，商品價(jià)格(P), 收入(I)
邊際效用的公式表達(dá)為:MU=?TU/?Q
那么如何才能實(shí)現(xiàn)在制約條件下效用最大化的商品組合呢？
就是當(dāng)消費(fèi)者把全部收入用于購(gòu)買(mǎi)各種商品時(shí)，他從所購(gòu)買(mǎi)的每一種商品所得到的邊際效用與其價(jià)格的比例都相同，這樣的商品組合就是最佳的或均衡的商品組合。
假設(shè)當(dāng)消費(fèi)者選擇兩種商品x,y時(shí)，消費(fèi)者均衡原則的公式表達(dá)為:
MUx/Px = MUy/Py("/"為分?jǐn)?shù)線(xiàn)）
制約條件的公式表達(dá)式為:I=Px?Qx+Py?Qy。那么這一結(jié)論是如何推導(dǎo)出來(lái)的呢？解決這一問(wèn)題最直接的方法就是拉格朗日乘數(shù)法。
上面說(shuō)到：在利用偏導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)的極值時(shí)，若函數(shù)的自變量有附加條件，則稱(chēng)之為條件極值。
套用到微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)里面：設(shè)效用函數(shù)U(Qx,Qy),為使它在制約條件下取得極值，首先建立拉格朗日函數(shù):L=U(Qx,Qy)+λ( I-Px?Qx-Py?Qy)，λ為參數(shù)。求L(x,y)對(duì)x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件連立。
即
?L/?Qx=?U/?Qx-λPx=0 ⑴
?L/?Qy=?U/?Qy-λPy=0 ⑵
I-Px?Qx-Py?Qy=0 ⑶
將方程⑴除以方程⑵，得:
?U/?Qx ? Px 即 MUx ? MUy
?U/?Qy Py PX Py
所以，消費(fèi)者要實(shí)現(xiàn)兩種商品的效用最大化，邊際效用的比率應(yīng)該等于價(jià)格比率。
以上是關(guān)于x和y兩種商品所說(shuō)的，是否同樣適用于多種商品呢？答案是肯定的。如果消費(fèi)者在n種商品中做出選擇，則消費(fèi)者均衡的原則可表達(dá)為:
MU1 ? MU2 ? MU3 ? … ? MUn
P1 P2 P3 Pn
這一結(jié)論同樣可用拉格朗日乘數(shù)法證明。
拉格朗日乘數(shù)法可推廣到求n元函數(shù)?(x1,x2,…,xn)在m個(gè)附加條件φ(x1,x2,…,xn)下的條件極值。
方法如下:
m
⑴做拉格朗日函數(shù)L(x1,x2,…,xn)=?(x1,x2,…,xn)+ ∑λiφi(x1,…x2);
i=1
⑵求L(x1,…xn)關(guān)于x1,…xn的偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即
m
L'xi==?'xi+ ∑λiφ'i=0 ,i=1,2,…,n
i=1
φk(x1,x2,…,xn)=0 ,k=1,2,…,n
求解此方程組，可得到極值點(diǎn)。
回到我們的問(wèn)題中，設(shè)效用函數(shù)U(Qx1,Qx2,…Qxn),為使它在制約條件下取得極值，首先建立拉格朗日函數(shù):
L=U(Qx1,Qx2,…Qxn )+λ(I-Px1?Qx1-P2?Qy2-…-Pxn?Qxn)，λ為參數(shù)。求L(x1,x2,…xn)對(duì)x1,…,xn的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立。
即
?L/?Qx1=?U/?Qx1-λPx1=0 （1）
?L/?Qx2=?U/?Qx2-λPx2=0 （2）
…… …
?L/?Qxn=?U/?Qxn-λPxn=0 （n）
I-Px1?Qx1-P2?Qy2-…-Pxn?Qxn
將方程⑴到(n)相除，即得，
MUx1 ? MUx2 ? … ? MUxn
Px1 Px2 Pn
所以，消費(fèi)者要實(shí)現(xiàn)n種商品的效用最大化，邊際效用的比率應(yīng)該等于價(jià)格比率。
應(yīng)用舉例
例題一
拋物面被平面 截成一個(gè)橢圓. 求該橢圓到坐標(biāo)
原點(diǎn)的最長(zhǎng)和最短距離.
例3求函數(shù) 在條件
下的極小值. 并證明不等式 , 其中 為任意正常數(shù) .
以上面水箱設(shè)計(jì)為例，看一看拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值的過(guò)程
解：這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)
在條件下的最小值問(wèn)題，應(yīng)用拉格朗日乘法，令
L='2*(x*z+y*z)+x*y+v*(x*y*z-V)';
dLdx=diff(L,'x')
dLdy=diff(L,'y')
dLdz=diff(L,'z')
dLdv=diff(L,'v')
dLdx =2*z+y+v*y*z
dLdy =2*z+x+v*x*z
dLdz =2*x+2*y+v*x*y
dLdv =x*y*z-V
令 L 的各偏導(dǎo)等零，解方程組求穩(wěn)定點(diǎn)
s1='2*z+y+v*y*z';
s2='2*z+x+v*x*z';
s3='2*x+2*y+v*x*y';
s4='x*y*z-V';
[v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4)
v =
[ -2*2^(2/3)/V^(1/3)]
[ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)+1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V]
[ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)-1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V]
x0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)]
y0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)]
z0 =[ 1/2*2^(1/3)*V^(1/3)]
這里顯然只有實(shí)數(shù)解才有意義，所以 L 的穩(wěn)定點(diǎn)只有下面一個(gè)
又已知所求的問(wèn)題確實(shí)存在最小值，從而解出的穩(wěn)定點(diǎn)就是最小值點(diǎn)，即水箱長(zhǎng)寬與為高的2倍時(shí)用鋼板最省。
例題二
再看一個(gè)條件極值求解問(wèn)題
拋物面 被平面 截成一個(gè)橢圓，求這個(gè)橢圓到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)最短距離。(x73)
解 這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)
在條件 與 下的最大、最小值問(wèn)題，應(yīng)用拉格朗日乘法，令
L='x^2+y^2+z^2+v*(x^2+y^2-z)+h*(x+y+z-1)';
dLdx=diff(L,'x')
dLdy=diff(L,'y')
dLdz=diff(L,'z')
dLdv=diff(L,'v')
dLdh=diff(L,'h')
dLdx =2*x+2*v*x+h
dLdy =2*y+2*v*y+h
dLdz =2*z-v+h
dLdv =x^2+y^2-z
dLdh =x+y+z-1
s1='2*x+2*v*x+h';
s2='2*y+2*v*y+h';
s3='2*z-v+h';
s4='x^2+y^2-z';
s5='x+y+z-1';
[h,v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4,s5);
x0,y0,z0
x0 =
[ 3/4-1/4*i*13^(1/2)]
[ 3/4+1/4*i*13^(1/2)]
[ -1/2+1/2*3^(1/2)]
[ -1/2-1/2*3^(1/2)]
y0 =
[ 3/4+1/4*i*13^(1/2)]
[ 3/4-1/4*i*13^(1/2)]
[ -1/2+1/2*3^(1/2)]
[ -1/2-1/2*3^(1/2)]
z0 = -1/2， -1/2， 2-3^(1/2)， 2+3^(1/2)
即 的穩(wěn)定點(diǎn)有兩個(gè)
因?yàn)楹瘮?shù) 在有界閉集 上連續(xù)，必有最大值和最小值，而求得的穩(wěn)定點(diǎn)又恰是兩個(gè)，所以它們一個(gè)是最大點(diǎn)，另一個(gè)是最小，其最大
最小值為。(x73)
x1=-1/2+1/2*3^(1/2);
x2=-1/2-1/2*3^(1/2);
y1=-1/2+1/2*3^(1/2);
y2=-1/2-1/2*3^(1/2);
z1=2-3^(1/2);
z2=2+3^(1/2);
f1=(x1^2+y1^2+z1^2)^(1/2)
f2=(x2^2+y2^2+z2^2)^(1/2)
f1 = 0.5829 ; f2 = 4.2024
例題三
求此方程的最大值：
同時(shí)未知數(shù)滿(mǎn)足：
因?yàn)橹挥幸粋€(gè)未知數(shù)的限制條件，我們只需要用一個(gè)乘數(shù)
.
將所有
方程的偏微分設(shè)為零，得到一個(gè)方程組，最大值是以下方程組的解中的一個(gè)：
貢獻(xiàn)人
約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1735~1813）
法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1736年1月25日生于意大利都靈，1813年4月10日卒于巴黎。他在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。
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