百科首頁(yè) > 正文

勒貝格測度（1902年勒貝格提出的標準方法）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-22

來(lái)源：網(wǎng)絡(luò )整理

精選百科

本文由作者推薦

勒貝格測度

1902年勒貝格提出的標準方法

勒貝格測度是賦予歐幾里得空間的子集一個(gè)長(cháng)度、面積、或者體積的標準方法。它廣泛應用于實(shí)分析，特別是用于定義勒貝格積分。可以賦予一個(gè)體積的集合被稱(chēng)為勒貝格可測；勒貝格可測集A的體積或者說(shuō)測度記作λ(A)。一個(gè)值為∞的勒貝格測度是可能的，但是即使如此，在假設選擇公理成立時(shí)，R的所有子集也不都是勒貝格可測的。不可測集的“奇特”行為導致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題，它是選擇公理的一個(gè)結果。

基本信息

中文名	勒貝格測度
外文名	Lebesgue measure
提出時(shí)間	1902年
領(lǐng)域	數理科學(xué)
所屬學(xué)科	測度論

歷史

勒貝格在1901年描述勒他的測度，隨后在第二年他描述了勒貝格積分。二者都是作為他在1902年的博士論文的一部分發(fā)表的。

例子

1.如果A是一個(gè)區間

，那么其勒貝格測度是區間長(cháng)度

。開(kāi)區間

的長(cháng)度與閉區間一樣，因為兩集合的差是零測集。

2. 如果A是區間

和

的笛卡爾積，則它是一個(gè)長(cháng)方形，測度為它的面積

。

3.康托爾集是一個(gè) 勒貝格測度為零的不可數集的例子。

性質(zhì)

上的勒貝格測度有如下的性質(zhì)：

1. 如果A是區間

的笛卡爾積，那么A是勒貝格可測的，并且

其中

表示區間I的長(cháng)度。

2. 如果A是有限個(gè)或可數個(gè)兩兩互不相交的勒貝格可測集的并，那么A也是勒貝格可測的，并且λ(A) 就是這些可測集的測度的和（或無(wú)窮級數的和）。

3. 如果A勒貝格可測的，那么它的補集（相對于 R）也是可測的。

4. 對于每個(gè)勒貝格可測集A，

。

5. 如果A與B是勒貝格可測的，且A是B的子集，那么

。 (由 2, 3 及 4可得。)

6. 可數多個(gè)是勒貝格可測集的交或者并仍然是勒貝格可測的。 (由2，3 可得)。

7. 如果A是一個(gè)開(kāi)集或閉集，且是 R(甚至Borel集，見(jiàn)度量空間，待補)的子集，那么A是勒貝格可測的。

8. 如果A是一個(gè)勒貝格可測集，并有

(零測集)，則A的任何一個(gè)子集也是零測集。

9. 如果A是勒貝格可測的，x是 R中的一個(gè)元素，A關(guān)于x的平移（定義為

）也是勒貝格可測的，并且測度等于A.

10. 如果A是勒貝格可測的，

，則

關(guān)于

的擴張（定義為

）也是勒貝格可測的，其測度為

。

11. 更廣泛地說(shuō)，設T是一個(gè)線(xiàn)性變換，A是一個(gè) R的勒貝格可測子集，則T(A)也是勒貝格可測的，其測度為

。

12. 如果A是R的勒貝格可測子集，f是一個(gè)A到R上的連續單射函數，則f(A)也是勒貝格可測的。

簡(jiǎn)要地說(shuō)，

的勒貝格可測子集組成一個(gè)含所有區間及其笛卡爾積的σ代數，且λ是其上唯一的完備的、平移不變的、滿(mǎn)足

的測度。

勒貝格測度是 σ-有限測度。

零測集

的子集是零測集，如果對于每一個(gè)

，它都可以用可數個(gè)n個(gè)區間的乘積來(lái)覆蓋，其總體積最多為ε。所有可數集都是零測集。

如果

的子集的豪斯多夫維數小于n，那么它就是關(guān)于n維勒貝格測度的零測集。在這里，豪斯多夫維數是相對于

上的歐幾里得度量（或任何與其等價(jià)的利普希茨度量）。另一方面，一個(gè)集合可能拓撲維數小于n，但具有正的n維勒貝格測度。一個(gè)例子是史密斯-沃爾泰拉-康托爾集，它的拓撲維數為0，但1維勒貝格測度為正數。

為了證明某個(gè)給定的集合A是勒貝格可測的，我們通常嘗試尋找一個(gè)“較好”的集合B，與A只相差一個(gè)零測集，然后證明B可以用開(kāi)集或閉集的可數交集和并集生成。

勒貝格測度的結構

勒貝格測度的現代結構，基于外測度，是卡拉特奧多里發(fā)明的。

固定

，

中的盒子是形如

的集合，其中

。這個(gè)盒子的體積

定義為

對于任何

的子集A，我們可以定義它的外測度

：

是可數個(gè)盒子的集合，它的并集覆蓋了

。然后定義集合A為勒貝格可測的，如果對于所有集合

，都有：

這些勒貝格可測的集合形成了一個(gè)σ代數。勒貝格測度定義為

對于任何勒貝格可測的集合A。

根據維塔利定理，存在實(shí)數

的一個(gè)勒貝格不可測的子集。如果A是

的任何測度為正數的子集，那么A便有勒貝格不可測的子集。

與其他測度的關(guān)系

在所定義的集合上，博雷爾測度與勒貝格測度是一致的；然而，仍然有更多勒貝格可測的集合不是博雷爾可測的。博雷爾測度是平移不變的，但不是完備的。

哈爾測度可以定義在任何局部緊群上，是勒貝格測度的一個(gè)推廣（帶有加法的

是一個(gè)局部緊群）。

豪斯多夫測度（參見(jiàn)豪斯多夫維數）是勒貝格測度的一個(gè)推廣，對于測量

的維數比n低的子集是很有用的，例如

內的曲線(xiàn)或曲面，以及分形集合。不能把豪斯多夫測度與豪斯多夫維數的概念混淆。

可以證明，在無(wú)窮維空間不存在勒貝格測度的類(lèi)似物。

勒貝格測度相關(guān)的文章

腦炎

腦炎是指腦實(shí)質(zhì)受病原體侵襲導致的炎癥性病變。絕大數的病因是病毒，也可由細菌、霉菌、螺旋體、立克次氏體、寄生蟲(chóng)等感染引起。腦炎的發(fā)病多因機體抵抗力下降，病原菌趁機通過(guò)呼吸道，消化道，性傳播和密切接觸等各種形式，經(jīng)過(guò)血循環(huán)，透過(guò)血-腦屏障進(jìn)入到大腦，或是腦組織鄰近部位感染直接侵犯腦組織，從而引起腦炎的發(fā)

梅尼埃病（一種特發(fā)性耳源性眩暈疾病）

梅尼埃病（英文：Ménière Disease，簡(jiǎn)稱(chēng)MD）又稱(chēng)美尼爾氏病、美尼爾綜合征等，簡(jiǎn)稱(chēng)MD，是一種特發(fā)性?xún)榷膊　Ｆ涮卣魇窃跁炑０l(fā)作前、發(fā)作期間或發(fā)作后，受累耳出現低頻至中頻傳導性聽(tīng)力下降，并伴有波動(dòng)性聽(tīng)覺(jué)癥狀（聽(tīng)力下降、耳鳴或耳部脹滿(mǎn)感）。

唐納德·特朗普（第45任美國總統）

唐納德·特朗普（Donald Trump），1946年6月出生于美國紐約州紐約市皇后區，祖籍德國巴伐利亞自由州卡爾斯塔特鎮，美國政治家、企業(yè)家、房地產(chǎn)商人、主持人、電影演員，美國第45任總統（2017.1.20-2021.1.20）。

阿布杜·卡迪爾·吉蘭尼

小編整理：阿卜杜·卡迪爾·吉蘭尼是伊斯蘭教神秘主義蘇菲派卡迪里教團創(chuàng )始人，他的思想使蘇菲派的神秘性和伊斯蘭教法的嚴格要求互相結合，他認為蘇菲主義就是為了戰勝唯我主義和世俗習氣并克制自己，以順從真主意志的圣戰。他生于波斯尼977年或978年，卒于1116年。阿布

立原透耶（作家）

立原透耶作家立原透耶，有作品約30部。其作品以“輕小說(shuō)”為主，著(zhù)有《冥界武俠談》系列和《CITY VICE》系列等，同時(shí)涉足奇幻、科幻、恐怖等領(lǐng)域。另著(zhù)有《苦思樂(lè )西游傳》、《迷鏡樓》等短篇。其作品《賣(mài)夢(mèng)的小孩子》獲得1991年集英社cobalt讀者大獎。其短篇小說(shuō)曾經(jīng)被翻譯成意大利語(yǔ)和英語(yǔ)等。