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勒貝格測度（1902年勒貝格提出的標準方法）

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勒貝格測度

1902年勒貝格提出的標準方法

勒貝格測度是賦予歐幾里得空間的子集一個長度、面積、或者體積的標準方法。它廣泛應用于實分析，特別是用于定義勒貝格積分。可以賦予一個體積的集合被稱為勒貝格可測；勒貝格可測集A的體積或者說測度記作λ(A)。一個值為∞的勒貝格測度是可能的，但是即使如此，在假設選擇公理成立時，R的所有子集也不都是勒貝格可測的。不可測集的“奇特”行為導致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題，它是選擇公理的一個結果。

基本信息

中文名	勒貝格測度
外文名	Lebesgue measure
提出時間	1902年
領域	數理科學
所屬學科	測度論

歷史

勒貝格在1901年描述勒他的測度，隨后在第二年他描述了勒貝格積分。二者都是作為他在1902年的博士論文的一部分發(fā)表的。

例子

1.如果A是一個區(qū)間

，那么其勒貝格測度是區(qū)間長度

。開區(qū)間

的長度與閉區(qū)間一樣，因為兩集合的差是零測集。

2. 如果A是區(qū)間

和

的笛卡爾積，則它是一個長方形，測度為它的面積

。

3.康托爾集是一個勒貝格測度為零的不可數集的例子。

性質

上的勒貝格測度有如下的性質：

1. 如果A是區(qū)間

的笛卡爾積，那么A是勒貝格可測的，并且

其中

表示區(qū)間I的長度。

2. 如果A是有限個或可數個兩兩互不相交的勒貝格可測集的并，那么A也是勒貝格可測的，并且λ(A) 就是這些可測集的測度的和（或無窮級數的和）。

3. 如果A勒貝格可測的，那么它的補集（相對于 R）也是可測的。

4. 對于每個勒貝格可測集A，

。

5. 如果A與B是勒貝格可測的，且A是B的子集，那么

。 (由 2, 3 及 4可得。)

6. 可數多個是勒貝格可測集的交或者并仍然是勒貝格可測的。 (由2，3 可得)。

7. 如果A是一個開集或閉集，且是 R(甚至Borel集，見度量空間，待補)的子集，那么A是勒貝格可測的。

8. 如果A是一個勒貝格可測集，并有

(零測集)，則A的任何一個子集也是零測集。

9. 如果A是勒貝格可測的，x是 R中的一個元素，A關于x的平移（定義為

）也是勒貝格可測的，并且測度等于A.

10. 如果A是勒貝格可測的，

，則

關于

的擴張（定義為

）也是勒貝格可測的，其測度為

。

11. 更廣泛地說，設T是一個線性變換，A是一個 R的勒貝格可測子集，則T(A)也是勒貝格可測的，其測度為

。

12. 如果A是R的勒貝格可測子集，f是一個A到R上的連續(xù)單射函數，則f(A)也是勒貝格可測的。

簡要地說，

的勒貝格可測子集組成一個含所有區(qū)間及其笛卡爾積的σ代數，且λ是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足

的測度。

勒貝格測度是 σ-有限測度。

零測集

的子集是零測集，如果對于每一個

，它都可以用可數個n個區(qū)間的乘積來覆蓋，其總體積最多為ε。所有可數集都是零測集。

如果

的子集的豪斯多夫維數小于n，那么它就是關于n維勒貝格測度的零測集。在這里，豪斯多夫維數是相對于

上的歐幾里得度量（或任何與其等價的利普希茨度量）。另一方面，一個集合可能拓撲維數小于n，但具有正的n維勒貝格測度。一個例子是史密斯-沃爾泰拉-康托爾集，它的拓撲維數為0，但1維勒貝格測度為正數。

為了證明某個給定的集合A是勒貝格可測的，我們通常嘗試尋找一個“較好”的集合B，與A只相差一個零測集，然后證明B可以用開集或閉集的可數交集和并集生成。

勒貝格測度的結構

勒貝格測度的現代結構，基于外測度，是卡拉特奧多里發(fā)明的。

固定

，

中的盒子是形如

的集合，其中

。這個盒子的體積

定義為

對于任何

的子集A，我們可以定義它的外測度

：

是可數個盒子的集合，它的并集覆蓋了

。然后定義集合A為勒貝格可測的，如果對于所有集合

，都有：

這些勒貝格可測的集合形成了一個σ代數。勒貝格測度定義為

對于任何勒貝格可測的集合A。

根據維塔利定理，存在實數

的一個勒貝格不可測的子集。如果A是

的任何測度為正數的子集，那么A便有勒貝格不可測的子集。

與其他測度的關系

在所定義的集合上，博雷爾測度與勒貝格測度是一致的；然而，仍然有更多勒貝格可測的集合不是博雷爾可測的。博雷爾測度是平移不變的，但不是完備的。

哈爾測度可以定義在任何局部緊群上，是勒貝格測度的一個推廣（帶有加法的

是一個局部緊群）。

豪斯多夫測度（參見豪斯多夫維數）是勒貝格測度的一個推廣，對于測量

的維數比n低的子集是很有用的，例如

內的曲線或曲面，以及分形集合。不能把豪斯多夫測度與豪斯多夫維數的概念混淆。

可以證明，在無窮維空間不存在勒貝格測度的類似物。

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