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連分數
數學(xué)中的概念
連分數叫做有限連分數。
基本信息
| 外文名 | continued fraction |
| 學(xué)科 | 數學(xué) |
| 分類(lèi)2 | 無(wú)限連分數 |
| 分類(lèi)1 | 有限連分數 |
正文
繁分數
叫做有限連分數。常簡(jiǎn)記為
。當
是整數、
是正整數時(shí)，則叫做有限簡(jiǎn)單連分數，當n無(wú)限時(shí),
稱(chēng)為無(wú)限簡(jiǎn)單連分數。通常連分數均指簡(jiǎn)單連分數。給定一有理數
，用熟知的輾轉相除法，可展成有限連分數即
，其中
是輾轉相除法中依次得到的不完全商，規定
，則表法惟一。如果α是一個(gè)無(wú)理數，那么α可展成無(wú)限連分數，且表法惟一。反之，一有限連分數表一有理數，一無(wú)限連分數表一無(wú)理數。
漸近分數和完全商 在連分數 中取
漸近分數有如下簡(jiǎn)單關(guān)系：
①
②
③
④
由此可得
存在；⑤設
，且
，則
,故在分母不大于
的諸分數中, 
與α最接近；⑥設
,則
；反之，若有一個(gè)有理數適合
，則
必為α的某個(gè)漸近分數。
完全商有如下簡(jiǎn)單性質(zhì)：①
,一般地,；②
由此可推出實(shí)數展成連分數時(shí)表法惟一。該實(shí)數為有理數時(shí)，規定最后一個(gè)
。
循環(huán)連分數 
設 ,如果
時(shí)，對某個(gè)固定的正整數k,有
,那么這樣的連分數叫做循環(huán)連分數，這種最小的 k叫做它的周期，記為
。例如 
等。運用漸近分數、完全商的性質(zhì)以及抽屜原理,J.-L.拉格朗日證明了有關(guān)循環(huán)連分數的一個(gè)重要定理：一個(gè)連分數為循環(huán)連分數，則此數是某個(gè)有理系數的二次不可約多項式的根；反之亦然。
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尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒(méi)寫(xiě)！
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