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非負(fù)整數(shù)集（全體自然數(shù)的集合）

次瀏覽 | 更新時間：2023-05-22

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非負(fù)整數(shù)集

全體自然數(shù)的集合

非負(fù)整數(shù)集是一種特定的集合，指全體自然數(shù)的集合，常用符號N表示。非負(fù)整數(shù)包括正整數(shù)和零。非負(fù)整數(shù)集是一個可列集。

基本信息

中文名	非負(fù)整數(shù)集
外文名	set of nonnegative integers
別名	非負(fù)整數(shù)集
應(yīng)用學(xué)科	數(shù)學(xué)

定義

全體非負(fù)整數(shù)的集合通常稱非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。非負(fù)整數(shù)集包含

等自然數(shù)。數(shù)學(xué)上用黑體大寫字母"N"表示非負(fù)整數(shù)集。非負(fù)整數(shù)包括正整數(shù)和零。非負(fù)整數(shù)集是一個可列集。

性質(zhì)

1、在非負(fù)整數(shù)集中，有一個最小的自然數(shù)0；在N中除去零之后，其余的自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)集稱為正整數(shù)集，常用符號

或N表示，1在

中是最小的元素；在N和

中都沒有最大的自然數(shù)；它們都是無限集。

2、自然數(shù)1通常稱為單位。

3、在N和

中，任取一數(shù)在它上面加單位1，所得的數(shù)稱為該數(shù)的后繼數(shù)，從最小元素開始逐個加1，這樣無限地進行下去，就可得到該數(shù)集中所有其他元素，最小元素不是任何元素的后繼數(shù)。

4、1可整除任何自然數(shù)，其商仍為原自然數(shù)，所以1是任何自然數(shù)的約數(shù)。

5、0加任何自然數(shù)，其和仍是原來那個自然數(shù)，1乘任何自然數(shù)，其積仍是原來那個自然數(shù)，所以自然數(shù)都是1的倍數(shù)。

6、1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

7、如果0具有性質(zhì)P，則任何具有性質(zhì)P的自然數(shù)的后繼數(shù)都具有性質(zhì)P。

8、在非負(fù)整數(shù)集中的數(shù)，可以按順序一個一個地數(shù)下去，所以自然數(shù)集是可數(shù)集。

9、在非負(fù)整數(shù)集中的任意兩個元素都可以比較大小，所以自然數(shù)集是有序集。

10、在非負(fù)整數(shù)集中，加法與乘法兩種運算，總可以實施，即非負(fù)整數(shù)的和與積仍是非負(fù)整數(shù)。

11、在非負(fù)整數(shù)集中的加法、乘法運算滿足交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律。

12、在非負(fù)整數(shù)集中的加法、乘法運算滿足消去律。

13、非負(fù)整數(shù)集的任一非空子集必存在一個最小的非負(fù)整數(shù)，此結(jié)論稱為最小數(shù)原理。

非負(fù)整數(shù)

自然數(shù)（naturalnumber），是非負(fù)（目前課本中未將0列為自然數(shù)）/正整數(shù)

。認(rèn)為自然數(shù)不包含零的其中一個理由是因為人們在開始學(xué)習(xí)數(shù)字的時候是由“一、二、三...”開始，而不是由“零、一、二、三...”開始，因為這樣是非常不自然的。

自然數(shù)通常有兩個作用：可以被用來計數(shù)（如“有七個蘋果”），參閱基數(shù)；也可用于排序（如“這是國內(nèi)第三大城市”），參閱序數(shù)。

自然數(shù)組成的集合是一個可數(shù)的，無上界的無窮集合。數(shù)學(xué)家一般以N來表示它。（以N*表示除0之外的自然數(shù)）自然數(shù)集上有加法和乘法運算，兩個自然數(shù)相加或相乘的結(jié)果仍為自然數(shù)。也可以作減法或除法，但相減和相除的結(jié)果未必都是自然數(shù)，所以減法和除法運算在自然數(shù)集中并不是總能成立的。

自然數(shù)是人們認(rèn)識的數(shù)系中最基本的一類。為了使數(shù)的系統(tǒng)有嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家建立了關(guān)于自然數(shù)的兩種理論：自然數(shù)的序數(shù)理論和基數(shù)理論，使自然數(shù)的概念、運算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴(yán)格的論述。自然數(shù)的加法、乘法運算可以在序數(shù)或基數(shù)理論中給出定義，并且兩種理論下的運算是一致的。

在全球范圍內(nèi)，目前針對0是否屬于自然數(shù)的爭論依舊存在。在中國大陸，2000年左右之前的中小學(xué)教材一般不將0列入自然數(shù)之內(nèi)，或稱其屬于“擴大的自然數(shù)列”。在2000年左右之后的新版中小學(xué)教材中，普遍將0列入自然數(shù)。

等勢集合

和非負(fù)整數(shù)集等勢的集合有：

1、由自然數(shù)的有限序列組成的集合

2、整數(shù)集

3、有理數(shù)集

4、代數(shù)數(shù)集

5、可數(shù)個可數(shù)集合的并集

非負(fù)整數(shù)集的勢嚴(yán)格小于實數(shù)集的勢，即兩者間不能建立一一對應(yīng)（詳見對角論證法）。事實上，實數(shù)集的勢是2，即自然數(shù)集的冪集的勢。

參考資料

[1]

為什么非負(fù)整數(shù)集要叫自然數(shù)集?_知乎 · 知乎[引用日期2021-07-11]

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