隨機(jī)矩陣（描述馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)變的矩陣）
次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-22
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隨機(jī)矩陣
描述馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)變的矩陣
在數(shù)學(xué)中，隨機(jī)矩陣（也稱(chēng)為概率矩陣、轉(zhuǎn)移矩陣、替代矩陣、或馬爾可夫矩陣）是用來(lái)描述一個(gè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)變的矩陣。它的每一項(xiàng)都是一個(gè)表示概率的非負(fù)實(shí)數(shù)。它適用于概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)和線性代數(shù)，也在計(jì)算機(jī)科學(xué)和群體遺傳學(xué)中使用。
基本信息
| 中文名 | 隨機(jī)矩陣 |
| 外文名 | Stochastic Matrix |
| 別名 | 概率矩陣 轉(zhuǎn)移矩陣 替代矩陣 馬爾可夫矩陣 |
| 應(yīng)用學(xué)科 | 概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)和線性代數(shù) |
| 作用 | 用來(lái)描述馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)變的矩陣 |
| 所屬領(lǐng)域 | 計(jì)算機(jī)科學(xué)和群體遺傳學(xué) |
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定義
隨機(jī)矩陣描述了在一個(gè)有限狀態(tài)空間S上的馬爾可夫鏈。
隨機(jī)矩陣
由于從狀態(tài) i 到下一狀態(tài)的概率總和必須是 1，這個(gè)矩陣是一個(gè)右隨機(jī)矩陣，于是
從i 到 j分兩步轉(zhuǎn)變的概率由然后由給定的P的平方矩陣的(i,j)號(hào)元素給出：
隨機(jī)矩陣
一般地，在由矩陣P給出的有限馬爾可夫鏈上從任何狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)狀態(tài)的 步轉(zhuǎn)移概率為P。初始分布為一個(gè)行向量。平穩(wěn)概率向量 定義為不隨轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)用而變化的一個(gè)向量；也就是說(shuō)，它定義為概率矩陣的左特征向量，其特征值為1：
佩龍一弗羅賓尼斯定理保證了每個(gè)隨機(jī)矩陣都具有這樣的向量，而特征值的最大絕對(duì)值始終為1。在一般情況下，可能有多個(gè)這樣的向量。然而，對(duì)于具有嚴(yán)格正項(xiàng)的矩陣，該向量是唯一的，并可以觀察到對(duì)任意i我們都有以下極限而求出，
其中 是行向量 的第j 個(gè)元素。在其他方面，這表示處在狀態(tài) j下的長(zhǎng)期概率與初始狀態(tài) i是獨(dú)立的。這兩種計(jì)算得到相同的穩(wěn)定向量是遍歷定理的一種形式，在各種各樣的耗散動(dòng)力系統(tǒng)廣泛成立：該系統(tǒng)隨著時(shí)間演變到定態(tài)。
直觀地看，隨機(jī)矩陣表示一個(gè)馬爾可夫鏈；對(duì)概率分布應(yīng)用隨機(jī)矩陣，就是將原始分布的概率質(zhì)量進(jìn)行重新分布，同時(shí)保持其總質(zhì)量。如果反復(fù)應(yīng)用此過(guò)程，分布就會(huì)收斂為馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。
設(shè)A、B為二個(gè)n×n階轉(zhuǎn)移矩陣，則以下亦為轉(zhuǎn)移矩陣:AB、A、1/2(A+B)。
隨機(jī)矩陣
分類(lèi)
有幾種不同的定義和類(lèi)型隨機(jī)矩陣：
右隨機(jī)矩陣是實(shí)方陣，其中每一行求和為1。
左隨機(jī)矩陣是實(shí)方陣，其中每一列求和為1。
雙隨機(jī)矩陣是非負(fù)實(shí)數(shù)方陣，每個(gè)行和列求和均為1。
應(yīng)用
轉(zhuǎn)移矩陣可用以表示機(jī)率(或變化比率)，而矩陣相乘的結(jié)果可用以預(yù)測(cè)未來(lái)事件發(fā)生的機(jī)率。
范例
假設(shè)你有一個(gè)計(jì)時(shí)器和五個(gè)相鄰的格子排成一行，零時(shí)刻有一只貓?jiān)诘谝粋€(gè)格子中，而一只老鼠在第五個(gè)格子中。在計(jì)時(shí)器增加的時(shí)候貓和老鼠都會(huì)隨機(jī)跳到一個(gè)相鄰的格子中。例如，如果貓?jiān)诘诙€(gè)格子，老鼠在第四個(gè)，在計(jì)時(shí)器增加后，貓會(huì)出現(xiàn)在第一個(gè)格子 且老鼠會(huì)出現(xiàn)在第五個(gè)格子的概率為1/4。如果貓?jiān)诘谝粋€(gè)格子而老鼠在第五個(gè)，那么計(jì)時(shí)器增加后，貓會(huì)出現(xiàn)在第二個(gè)格子且老鼠會(huì)出現(xiàn)在第四個(gè)的概率為1。當(dāng)它們處于同一個(gè)格子的時(shí)候，貓會(huì)吃掉老鼠，游戲結(jié)束。隨機(jī)變量K給出了老鼠仍留在游戲中的時(shí)間步長(zhǎng)。
表示這個(gè)包含五種位置組合 (貓，鼠) 的狀態(tài)的游戲的馬爾可夫鏈為：
?狀態(tài) 1：(1,3)
?狀態(tài) 2：(1,5)
?狀態(tài) 3：(2,4)
?狀態(tài) 4：(3,5)
?狀態(tài) 5：游戲結(jié)束：(2,2), (3,3) & (4,4).
我們使用一個(gè)隨機(jī)矩陣來(lái)表示這個(gè)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率（這個(gè)矩陣中的行和列用上面提到的可能狀態(tài)來(lái)索引），
長(zhǎng)期平均
無(wú)論初始狀態(tài)是什么，貓最終都會(huì)抓到老鼠（概率為1），且極限為穩(wěn)態(tài) π= (0,0,0,0,1)。要計(jì)算隨機(jī)變量 Y 的長(zhǎng)期平均或期望值。對(duì)每種狀態(tài) S和時(shí)間 t，都有 Y·P(S=S,t=t) 的貢獻(xiàn)。生存與否可以視作一個(gè)二值變量，Y=1 代表生存狀態(tài)而 Y=0 代表終止?fàn)顟B(tài)。Y=0 的狀態(tài)不對(duì)長(zhǎng)期平均有貢獻(xiàn)。
位相型表示
由于狀態(tài) 5 是一個(gè)吸收態(tài)，吸收對(duì)時(shí)間的分布為離散位相型分布。假設(shè)系統(tǒng)從狀態(tài) 2 開(kāi)始，表示為向量[0,1,0,0,0]。老鼠死亡后的狀態(tài)不會(huì)對(duì)生存平均產(chǎn)生影響，所以狀態(tài)五可以忽略。初始狀態(tài)和轉(zhuǎn)移矩陣可以化簡(jiǎn)為，
以及，
；而 其中I為單位矩陣，表示全為1的列矩陣，進(jìn)行狀態(tài)的相加。由于每個(gè)狀態(tài)都占據(jù)一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)，老鼠生存時(shí)間的期望就是在所有生存狀態(tài)和時(shí)間步長(zhǎng)中占據(jù)的概率之和，
其高階矩為
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