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等周問(wèn)題
1901年赫爾維茨提出的概念
基本信息
| 中文名 | 等周問(wèn)題 |
| 外文名 | isoperimetric problem |
| 提出者 | 赫爾維茨 |
| 應用學(xué)科 | 數學(xué) |
| 提出時(shí)間 | 1901 |
| 使用領(lǐng)域范圍 | 物理，數學(xué) |
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簡(jiǎn)介
等周定理說(shuō)明在周界長(cháng)度相等的封閉幾何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個(gè)說(shuō)法是面積相等的幾何形狀之中，以圓形的周界長(cháng)度最小。它可以以不等式表達：
P若為封閉曲線(xiàn)的周界長(cháng)，A為曲線(xiàn)所包圍的區域面積，
雖然等周定理的結論早已為人所知，但要嚴格的證明這一點(diǎn)并不容易。首個(gè)嚴謹的數學(xué)證明直到19世紀才出現。之后，數學(xué)家們陸續給出了不同的證明，其中有不少是非常簡(jiǎn)單的。等周問(wèn)題有許多不同的推廣，例如在各種曲面而不是平面上的等周問(wèn)題，以及在高維的空間中給定的“表面”或區域的最大“邊界長(cháng)度”問(wèn)題等。
在物理中，等周問(wèn)題和跟所謂的最小作用量原理有關(guān)。一個(gè)直觀(guān)的表現就是水珠的形狀。在沒(méi)有外力的情況下（例如失重的太空艙里），水珠的形狀是完全對稱(chēng)的球體。這是因為當水珠體積一定時(shí)，表面張力會(huì )迫使水珠的表面積達到最小值。根據等周定理，最小值是在水珠形狀為球狀時(shí)達到。
詳解
等周問(wèn)題
等周問(wèn)題
平面上的等周問(wèn)題是等周問(wèn)題最經(jīng)典的形式，它的出現可以追溯到很早以前。這個(gè)問(wèn)題可以被表述為：在平面上所有周長(cháng)一定的封閉曲線(xiàn)中，是否有一個(gè)圍成的面積最大？如果有的話(huà)，是什么形狀？另一種等價(jià)的表述是：當平面上的封閉曲線(xiàn)圍成的面積一定時(shí)，怎樣的曲線(xiàn)周長(cháng)最小？
雖然圓看似是問(wèn)題的表面答案，但證明此事實(shí)其實(shí)不易。首個(gè)接近答案的步驟出現在1838年——雅各·史坦納以幾何方法證明若答案存在，答案必然是圓形。不久之后他的證明被其他數學(xué)家完善。
其方法包括證明了不完全凸的封閉曲線(xiàn)的話(huà)，能以“翻折”凹的部分以成為凸的圖形，以增加面積；不完全對稱(chēng)的封閉曲線(xiàn)能以?xún)A斜來(lái)取得更多的面積。圓，是完全凸和對稱(chēng)的形狀。可是這些并不足以作為等周定理的嚴格證明。
2012年，潘憶思利用不等式給出了一個(gè)十分簡(jiǎn)單初等證明。論文名稱(chēng)《不等式與等周問(wèn)題》。
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尚可名片
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