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超球面
普通球面在任意維度的推廣
超球面，也稱n維球面，是普通的球面在任意維度的推廣。它是(n + 1)維空間內(nèi)的n維流形。特別地，0維球面就是直線上的兩個(gè)點(diǎn)，1維球面是平面上的圓，2維球面是三維空間內(nèi)的普通球面。高于2維的球面有時(shí)稱為超球面。
基本信息
| 中文名 | 超球面 |
| 別稱 | n維球面 |
| 領(lǐng)域 | 數(shù)理科學(xué) |
| 外文名 | Hypersphere |
| 別名 | n維球面 |
| 定義 | 高于2維的球面 |
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超球面介紹
1.定義
高于2維的球面稱為 超球面。中心位于原點(diǎn)且半徑為單位長(zhǎng)度的
維球面稱為單位 n維球面，記為
。用符號(hào)來表示，就是：
對(duì)于任何自然數(shù)，半徑為
的維球面定義為
維歐幾里得空間中到某個(gè)定點(diǎn)的距離等于常數(shù)的所有點(diǎn)的集合，其中可以是任何正的實(shí)數(shù)。它是維空間內(nèi)的維流形。特別地：
1) 0維球面是直線上的兩個(gè)點(diǎn)
；
2) 1維球面是平面上的圓；
3) 2維球面是三維空間內(nèi)的普通球面；
其中
是中心點(diǎn)，是半徑。
以上的維球面在維空間中存在，是維流形的一個(gè)例子。半徑為的維球面的體積形式
由下式給出：
其中*是霍奇星算子。因此，
。
3.超球體
由維球面所包圍的體積，稱為維球體。如果把球體的表面包括在內(nèi)，則維球體是封閉的，否則是開放的。
特別地：
1) 1維球體，是一個(gè)線段，是0維球面的內(nèi)部。
2) 2維球體，是一個(gè)圓盤，是圓（1維球面）的內(nèi)部。
3) 3維球體，是一個(gè)普通的球體，是球面（2維球面）的內(nèi)部。
4) 4維球體，是3維球面的內(nèi)部。
超球體體積
由此可以推出，對(duì)于給定的，常數(shù)
的值為：
1) 
（對(duì)于偶數(shù)
），
2) 
（對(duì)于奇數(shù)
）。
這個(gè)
維球面的表面積是：
n維球面的表面積和體積之間有以下的關(guān)系：
從此可以推導(dǎo)出遞推關(guān)系：
這些公式也可以直接從 n維球坐標(biāo)系中的積分推出。
例子
對(duì)于較小的，半徑為
維球體的的體積
為如下：
但當(dāng)趨于無窮大時(shí)，
趨于0。
如果維度不限于整數(shù)，那么維球面的體積就是的連續(xù)函數(shù)，它的極大值位于
，體積為
。當(dāng)
或
時(shí)，體積為1。
超球坐標(biāo)系
可以定義維空間內(nèi)的坐標(biāo)系統(tǒng)，與3維空間內(nèi)的球坐標(biāo)系類似，由徑向坐標(biāo) 和
個(gè)角度坐標(biāo)
組成。如果
是笛卡兒坐標(biāo)系，那么我們可以定義：
從中可以推出逆變換的公式：
以上n維球體的體積方程可以通過積分來重新得出：
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