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空間直角坐標系（數學(xué)概念之一）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-17

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空間直角坐標系

數學(xué)概念之一

與空間解析幾何相似，為了確定空間中任意一點(diǎn)的位置，需要在空間中引進(jìn)坐標系，最常用的坐標系是空間直角坐標系。

基本信息

中文名	空間直角坐標系
外文名	Space rectangular coordinate system
卦限	八個(gè)
適用范圍	數理科學(xué)
原點(diǎn)	（0，0，0）
坐標軸	x、y、z軸

收起

定義

空間任意選定一點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作三條互相垂直的數軸Ox，Oy，Oz，它們都以O為原點(diǎn)且具有相同的長(cháng)度單位。這三條軸分別稱(chēng)作x軸（橫軸），y軸（縱軸），z軸（豎軸），統稱(chēng)為坐標軸。它們的正方向符合右手規則，即以右手握住z軸，當右手的四個(gè)手指x軸的正向以角度轉向y軸正向時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向。這樣就構成了一個(gè)空間直角坐標系，稱(chēng)為空間直角坐標系O-xyz。定點(diǎn)O稱(chēng)為該坐標系的原點(diǎn)。與之相對應的是左手空間直角坐標系。一般在數學(xué)中更常用右手空間直角坐標系，在其他學(xué)科方面因應用方便而異。

任意兩條坐標軸確定一個(gè)平面，這樣可確定三個(gè)互相垂直的平面，統稱(chēng)為坐標面。其中x軸與y軸所確定的坐標面稱(chēng)為xOy面，類(lèi)似地有yOz面和zOx面。三個(gè)坐標面把空間分成八個(gè)部分，每一部分稱(chēng)為一個(gè)卦限。如右圖所示，八個(gè)卦限分別用字母Ⅰ、Ⅱ、...、Ⅷ表示，其中含x軸、y軸和z軸正半軸的是第Ⅰ卦限，在xOy面上的其他三個(gè)卦限按逆時(shí)針?lè )较蚺哦ǎ来螢榈冖颉ⅱ蟆ⅱ糌韵蓿辉趚Oy面下方與第Ⅰ卦限相鄰的為第Ⅴ卦限，然后也按逆時(shí)針?lè )较蚺哦ㄒ来螢榈冖觥ⅱ鳌ⅱ韵蕖?/span>

空間直角坐標系

空間點(diǎn)的直角坐標

取定空間直角坐標系O-xyz后，就可以建立空間的點(diǎn)與一個(gè)有序數組之間的一一對應關(guān)系。

設點(diǎn)M為空間的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面。設三個(gè)平面與x軸、y軸和z軸的交點(diǎn)依次為P、Q、R，點(diǎn)P、Q、R分別稱(chēng)為點(diǎn)M在x軸、y軸和z軸上的投影。又設點(diǎn)P、Q、R在x軸、y軸和z軸上的坐標依次為x、y、z，于是點(diǎn)M確定了一個(gè)有序數組x，y，z。反之，如果給定一個(gè)有序數組x，y，z，可以在x軸上取坐標為x的點(diǎn)P，在y軸上取坐標為y的點(diǎn)Q，在z軸上取坐標為z的點(diǎn)R，然后點(diǎn)P、Q、R分別作垂直于x軸、y軸和z軸的三個(gè)平面，它們相交于空間的一點(diǎn)M，點(diǎn)M就是由有序數組x，y，z所確定的點(diǎn)。這樣一來(lái)，空間的點(diǎn)M與有序數組x，y，z之間就建立了一一對應的關(guān)系。把有序數組x，y，z稱(chēng)為點(diǎn)M的坐標，記作M(x，y，z)，其中x稱(chēng)為橫坐標、y稱(chēng)為縱坐標、z稱(chēng)為豎坐標。

原點(diǎn)的坐標為（0，0，0）；若點(diǎn)M在x軸上，則其坐標為（x，0，0）；同樣對于y軸上的點(diǎn)，其坐標是（0，y，0）；對于z軸上的點(diǎn)，其坐標為（0，0，z）；同樣，位于xOy平面上的點(diǎn)，其坐標為（x，y，0）；位于yOz平面上的點(diǎn)，其坐標為（0，y，z）；位于xOz平面上的點(diǎn)，其坐標為（x，0，z）。可見(jiàn)，位于坐標軸上、坐標面上和各卦限內的點(diǎn)，其坐標各有特點(diǎn)。

空間兩點(diǎn)間的距離

利用點(diǎn)的坐標，可求出空間中兩點(diǎn)間的距離。

設A（x1,y1,z1）和B（x2,y2,z2）是空間兩點(diǎn)，過(guò)A和B各作三個(gè)分別垂直于坐標軸的平面，這六個(gè)平面圍成一個(gè)以AB為對角線(xiàn)的長(cháng)方體，它的三條棱長(cháng)分別是,由于A(yíng)和B之間的距離d就是該長(cháng)方體對角線(xiàn)AB的長(cháng)度，且和都是直角三角形，故由勾股定理得

空間直角坐標系

這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式。

特殊地，空間的點(diǎn)M（x，y，z）與原點(diǎn)O（x，y，z）之間的距離為

空間直角坐標系

參考資料

[1]

大地坐標系與空間直角坐標系的相互轉換_乘風(fēng)莫邪_新浪 · 新浪[引用日期2021-07-25]

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