一级特级全黄_指數映射（指數映射）

定義

定義一

由李群的李代數到李群的一種解析映射。若G為李群,e為單位元素,T(G)為G中點(diǎn)e的切空間，任取

,則惟一存在左不變向量場(chǎng)X,使得

.任給左不變向量場(chǎng)X,構作算子

任意取定單位坐標鄰域U,點(diǎn)

,記

當

為U中點(diǎn)。于是，在U中有一條單參數解析曲線(xiàn)

記

.它可開(kāi)拓到

,使得

且

為G之一維連通李子群。反之，任意一維連通李子群惟一決定左不變向量場(chǎng)X,使得此李子群為exp(tX).于是，有映射

,稱(chēng)為指數映射，這里J為李群G的李代數。指數映射是建立李群和它的李代數間的關(guān)系的重要工具，在李群理論中占有重要的地位.

且

為G之一維連通李子群。反之，任意一維連通李子群惟一決定左不變向量場(chǎng)X，使得此李子群為exp (tX ).于是，有映射

，稱(chēng)為指數映射，這里J為李群G的李代數。指數映射是建立李群和它的李代數間的關(guān)系的重要工具，在李群理論中占有重要的地位 ? .

定義二

切平面到曲面的一種映射。設T是曲面S在P點(diǎn)的切平面，指數映射是從切平面T到曲面S上的一個(gè)對應關(guān)系，記成

,定義如下：設v是曲面S在P點(diǎn)的一個(gè)切向量，過(guò)P作S上切于v的測地線(xiàn)，在此測地線(xiàn)上取一點(diǎn)M使得從P到M的弧長(cháng)正好等于v的長(cháng)度|v|,則定義

? .引理1 對于曲面M上的每點(diǎn)p0，存在包含p0的一個(gè)坐標鄰域U及常數

，使得對于每點(diǎn)

和p點(diǎn)切空間T(M)中每個(gè)長(cháng)度小于ε的切向量v，都有唯一的一條滿(mǎn)足初始條件

的測地線(xiàn):

設

，若存在測地線(xiàn)

滿(mǎn)足初始條件

那么點(diǎn)

叫做在q點(diǎn)切向量v的指數映像，用

表示γ(1)，而映射

稱(chēng)為在q點(diǎn)的指數映射．于是，滿(mǎn)足初始條件的唯一測地線(xiàn)可表達為

根據引理1 當||v|| 充分小時(shí)，

是確定的．一般地說(shuō)，對于長(cháng)度較長(cháng)的向量v，指數映像

未必能確定．然而如果能確定，則總是唯一的．

定義若對于任何點(diǎn)

和任何向量

，指數映像

總是確定的，則曲面M稱(chēng)為測地完備的．

顯然，測地完備性等價(jià)于下述要求：對于每段測地線(xiàn)段

，總能夠把

延拓成無(wú)限長(cháng)的測地線(xiàn)：

因此，我們也可把后者作為測地完備性的定義 ? ．

與李代數

研究李代數元素的另一種方法是把它看作群上的左不變向量場(chǎng)．迄今為止，我們只是討論單位元處的向量，對于向量場(chǎng)，需要涉及所有群元素的切線(xiàn)．將一個(gè)群元素在左側相乘。就定義了群流形的一個(gè)同構

，其中

，群在它的基礎流形上的這個(gè)作用誘導出在該流形向量場(chǎng)上的作用．左不變向量場(chǎng)關(guān)于這個(gè)作用是固定不變的．將任何左不變向量場(chǎng)限制到單位元上的切向量。即一個(gè)李代數元素．而給出一個(gè)單位元上的切向量。就能產(chǎn)生一個(gè)左不變向量場(chǎng)．我們需要做的就是左平移原始向量到流形上的每個(gè)點(diǎn)．如果X是一個(gè)矩陣。描述單位元處的切向量。則在群的點(diǎn)g處的切向量定義為gX．因此，單位元的切向量和左不變向量場(chǎng)之間是一一對應的．

這些左不變向量場(chǎng)的積分曲線(xiàn)在后面起重要的作用．向量場(chǎng)的積分曲線(xiàn)是在每一點(diǎn)都與該場(chǎng)相切的曲線(xiàn)．對于左不變向量場(chǎng)。這個(gè)曲線(xiàn)滿(mǎn)足如下微分方程：

這個(gè)方程有解析解，通過(guò)單位元素的解是

矩陣X的指數可以展開(kāi)成冪級數：

對于矩陣指數有如下關(guān)系：

當且僅當

．

這表示只有當指數是可交換時(shí)，指數積運算時(shí)指數才可以相加．當然，元素

和

是可交換的，這表示形如

的群元素構成子群：

它們是群的一維或單參數子群．用這種方法。每個(gè)李代數元素都產(chǎn)生一個(gè)單參數子群．

指數函數也可以被看作給出了從李代數到群的映射。這個(gè)映射通常既不是單射也不是滿(mǎn)射，但是在單位元附近它是同胚映射．即在李代數上存在0的鄰域同胚映射到群的單位元的鄰域．在這個(gè)鄰域存在一個(gè)逆映射。通常被稱(chēng)作對數，由眾所周知的Mercator級數定義。即

當g遠離單位元時(shí)，級數不收斂．

矩陣指數的行列式是矩陣跡的指數：

矩陣的跡Tr()是它的對角線(xiàn)元素之和．如果矩陣X的特征值都不相同。那么這個(gè)關(guān)系能夠通過(guò)對角化矩陣簡(jiǎn)單地證明．即使在一般情況下，這個(gè)關(guān)系也是正確的．由這個(gè)關(guān)系可以得到：矩陣指數的行列式為1當且僅當矩陣是跡為0的．這就是李代數so(n),su(n)和sl(n)由跡為0的矩陣構成的原因．

對于某些李代數，我們能夠更詳細地確定它的指數映射．例如。考慮su(2),典型的李代數元素m用伴隨表示可以描述成如下形式的矩陣：