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螺旋運動(dòng)（旋轉R和平移T的合成運動(dòng)）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-17

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螺旋運動(dòng)

本詞條是多義詞，共2個(gè)義項

旋轉R和平移T的合成運動(dòng)

螺旋運動(dòng)(helicoidal motion)是一種空間變換，指空間中一個(gè)旋轉和一個(gè)移動(dòng)方向與旋轉軸平行的平移變換之積。旋轉的軸也稱(chēng)為螺旋運動(dòng)的軸，旋轉的角也稱(chēng)螺旋運動(dòng)的角。螺旋運動(dòng)是一種空間運動(dòng)，其逆變換仍是螺旋運動(dòng)。兩螺旋運動(dòng)的積是一個(gè)螺旋運動(dòng)。任意一個(gè)螺旋運動(dòng)可以分解為兩個(gè)軸反射之積，這兩個(gè)軸反射的反射軸是異面直線(xiàn)。空間的螺旋運動(dòng)分兩類(lèi)，若用彎曲的右手指表示構成螺旋運動(dòng)的“旋轉”方向時(shí)，伸直的拇指恰表示構成螺旋運動(dòng)的“移動(dòng)”方向，則稱(chēng)該螺旋運動(dòng)是右螺旋運動(dòng)，否則稱(chēng)為左螺旋運動(dòng)。平移是旋轉角為零的螺旋運動(dòng)，旋轉是平移距離為零的螺旋運動(dòng)。當螺旋運動(dòng)不是平移或旋轉時(shí)，沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，而軸是惟一的不動(dòng)線(xiàn)，又假如螺旋運動(dòng)的角不等于kπ(k∈Z)，則它也沒(méi)有不動(dòng)面。

基本信息

中文名	螺旋運動(dòng)
外文名	helicoidal motion
拼音	luó xuán yùn dòng
術(shù)語(yǔ)類(lèi)別	數學(xué)術(shù)語(yǔ)
所屬學(xué)科	數學(xué)

展開(kāi)

基本概念

定義一

所謂螺旋運動(dòng)，是指一個(gè)旋轉R和一個(gè)平移T的合成運動(dòng)，平移沿著(zhù)旋轉的軸。這兩個(gè)過(guò)程的順序無(wú)關(guān)重要(如果平移不是沿著(zhù)旋轉的軸，情況就不同了)，換言之，設M為一點(diǎn)(如下圖)，沿軸D旋轉一個(gè)給定的角度至

(這旋轉記作R)，再將

平行于D作一確定的平移T到達新位置

；如果先將M用平移T到達

，再將

繞軸D作旋轉R，那么依然來(lái)到同樣的位置

。

事實(shí)上，設m為兩點(diǎn)

在軸上的公共射影，而

為

之射影，則圖形

顯然可由圖形

利用平移

得出。那么前者就和后者一樣是一個(gè)等腰三角形，它的平面垂直于D而頂角等于R的轉幅，這就證明了斷言的正確性。

螺旋運動(dòng)顯然包括旋轉(當平移T為零時(shí))和平移(當旋轉R為零時(shí))作為特殊情況。

備注：當我們已知一個(gè)螺旋運動(dòng)時(shí)，在軸上就確定了一個(gè)正向，即平移的指向。因此，我們說(shuō)一個(gè)螺旋運動(dòng)是正的(或右手的)，或者反過(guò)來(lái)說(shuō)是逆的(或左手的)，就看沿著(zhù)平移的正向所作的旋轉是正的還是逆的。

定義二

由繞軸

的旋轉和沿著(zhù)

方向與旋轉角成比例的移動(dòng)而合成的運動(dòng)，稱(chēng)為螺旋運動(dòng)(圖1)。軸

稱(chēng)為螺旋軸。

若

是旋轉角(螺旋角)而

是進(jìn)給(平移距離)，則有：

。

比例因子

，稱(chēng)為螺旋參數。若順著(zhù)移動(dòng)方向觀(guān)察一個(gè)螺旋，當旋轉為順時(shí)針?lè )较驎r(shí)，這個(gè)螺旋為右螺旋，當旋轉為逆時(shí)針?lè )较驎r(shí)，這個(gè)螺旋為左螺旋。

可以用p的正負號來(lái)確定螺旋的方向：

：右螺旋，

：左螺旋。

定理1 螺旋運動(dòng)由繞一條軸的旋轉和沿軸向與旋轉角成比例的移動(dòng)而形成，它是由螺旋軸，螺旋參數和螺旋方向，(右螺旋或左螺旋)所確定的。

基本作圖

已知點(diǎn)

和垂直于

的螺旋軸

的水平投影和正面投影，螺旋參數p和螺旋角

。

求作從

轉過(guò)螺旋角

至P的這段螺旋軌跡的水平投影和正面投影。

在水平投影中，螺旋運動(dòng)投影為繞

旋轉

角的轉動(dòng)：

。

在過(guò)

的連系線(xiàn)上。并比

高出進(jìn)給

的距離。這段距離

可以往參數圓(圓心為

，半徑為p)上取對應于圓心角

的弧而作出。最好用盡可能短的弦求出這段弧長(cháng)。 ·

轉過(guò)一個(gè)整圈

的平移距離

，稱(chēng)為螺旋的導程。由它可以按照

計算出螺旋參數。p也稱(chēng)為轉換導程。

螺旋體

幾何形體通過(guò)螺旋運動(dòng)形成螺旋體。

點(diǎn)通過(guò)螺旋運動(dòng)形成作為軌跡曲線(xiàn)的螺旋線(xiàn)(軌跡螺旋線(xiàn))；

曲線(xiàn)通過(guò)螺旋運動(dòng)形成為運動(dòng)曲面的螺旋面；

曲面通過(guò)螺旋運動(dòng)形成為包絡(luò )面的螺旋面。

一切螺旋體都可自相旋合。由于這個(gè)緣故，它們在工程中得到應用。

螺旋線(xiàn)

1. 以p為螺旋參數，當P點(diǎn)繞軸

作螺旋運動(dòng)時(shí)，其軌跡螺旋線(xiàn)b位于螺旋柱面

(以

為軸、半徑

的回轉柱面)上。

由于

，所以在

展開(kāi)后，b成為一條直線(xiàn)。因此，螺旋線(xiàn)b與

的各條素線(xiàn)e相交成定角，對此有

于是b的切線(xiàn)對的每個(gè)法面成定坡度。螺旋線(xiàn)b是同坡線(xiàn)(對的每個(gè)法面而言)。

2. 若將b的切線(xiàn)平移到

上一點(diǎn)R處，則它們形成b的準錐面

(頂點(diǎn)為R、軸線(xiàn)為

和半張角為

的回轉錐面，圖2)。螺旋運動(dòng)的兩個(gè)導圓中的“第一個(gè)導圓”，稱(chēng)為螺旋線(xiàn)b的準圓

。準圓平面在R“之下”的距離為p。

任一螺旋切線(xiàn)

，都垂直于通過(guò)其切點(diǎn)P的螺旋柱面半徑。由此得出：

螺旋切線(xiàn)

平行于通過(guò)準點(diǎn)P*的準錐面素線(xiàn)

，

在準圓上，與交點(diǎn)

相差

角(圖3)

定理2 每條螺旋線(xiàn)都是螺旋軸的各個(gè)法面的同坡線(xiàn)，也是常曲率空間曲線(xiàn)。它的密切平面和切線(xiàn)，都與螺旋軸構成相同的

角。

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